We're going to start at the bottom of the staircase, which is basic examples of spinors in physics.

階段の一番下から始めよう。物理学におけるスピナーの基本的な例だ。

In the next four or five videos, I'm going to talk about two examples of how spinors come up in physics, the polarization of light waves and quantum spin states.

次の4、5本のビデオでは、物理学でスピノールがどのように登場するのか、2つの例、光波の偏光と量子スピン状態についてお話しします。

We're going to find that both of these phenomena can be described by spinors, in the form of two-by-one columns with complex number entries.

これらの現象は両方とも、複素数エントリーを持つ2×1列のスピナーによって記述できることがわかるだろう。

Afterward, we'll see how we can visualize these spinors as flagpoles on a sphere, called the Poincaré sphere or Bloch sphere.

その後、これらのスピノールを、ポアンカレ球またはブロッホ球と呼ばれる球面上の旗竿として、どのように視覚化できるかを見ていく。

In this video, we're going to discuss all the different polarizations of light waves and their corresponding spinors, which are called Jones vectors in this specific case.

このビデオでは、光波のすべての異なる偏光と、それに対応するスピノア（この特定のケースではジョーンズ・ベクトルと呼ばれる）について説明します。

And in the next video, we will discuss how to rotate between these polarizations using SU2 matrices.

次のビデオでは、SU2行列を使ってこれらの偏波を回転させる方法について説明する。

So I'm hoping you're familiar with electric and magnetic fields.

だから、電界と磁界についてはよくご存知だと思う。

The electric field is a set of vectors everywhere in space that point in the direction that a positive charge will be pulled in due to electric forces.

電場とは、正電荷が電気力によって引っ張られる方向を指す、空間上のあらゆる場所にあるベクトルの集合である。

The magnetic field is another set of vectors everywhere in space that tell us which direction a compass will point due to magnetic forces.

磁場もまた、磁力によってコンパスがどの方向を向くかを示す、空間上のあらゆる場所に存在するベクトルの集合である。

According to the laws of electricity and magnetism, it's possible for electric and magnetic field vectors to vibrate back and forth together in a wave, called an electromagnetic wave.

電気と磁気の法則によれば、電界と磁界のベクトルが電磁波と呼ばれる波の中で前後に振動することは可能である。

The light we see is an example of electromagnetic waves.

私たちが見ている光は電磁波の一例である。

Usually, electromagnetic waves are traveling waves, meaning they travel through space over time.

通常、電磁波は進行波であり、時間をかけて空間を伝わる。

The image you're seeing here is a snapshot of an electromagnetic wave at a single instant in time.

あなたが見ている画像は、ある瞬間の電磁波のスナップショットです。

But as time passes by, the wave will travel forward.

しかし、時間が経つにつれ、波は前進する。

Electromagnetic waves are transverse waves.

電磁波は横波である。

This means the direction of the wave oscillations is always perpendicular to the direction of travel.

これは、波の振動方向が常に進行方向に対して垂直であることを意味する。

So if an electromagnetic wave is traveling in the z direction, the wave can oscillate in the x-y plane perpendicular to the direction of travel, but the wave cannot oscillate in the z direction, parallel to the direction of travel.

つまり、電磁波がz方向に進行している場合、波は進行方向に垂直なx-y平面内では振動できるが、進行方向に平行なz方向には振動できない。

The polarization of a given electromagnetic wave is the geometric orientation of the wave.

ある電磁波の偏波とは、波の幾何学的な向きのことである。

We only use the electric field E to define the polarization of an electromagnetic wave, so we ignore the magnetic field when talking about polarization.

電磁波の偏波を定義するには電場Eしか使わないので、偏波について話すときは磁場を無視する。

Let's look at an electromagnetic wave propagating in the z direction.

Z方向に伝播する電磁波を見てみよう。

Again, here we're looking at a snapshot of a traveling wave at one instant in time.

ここでも、ある瞬間の進行波のスナップショットを見ている。

When the electric field oscillates up and down along the y-axis, we call this vertical polarization.

電場がy軸に沿って上下に振動する場合、これを垂直偏光と呼ぶ。

If we rotate this wave by a quarter turn, it is now oscillating left and right along the x-axis, and we call this horizontal polarization.

この波を1/4回転させると、x軸に沿って左右に振動するようになり、これを水平偏波と呼ぶ。

If we rotate the wave by another quarter turn, we end up with vertical polarization again, although with the wave shifted by a half cycle compared to the original wave.

さらに波を1/4回転させると、元の波より半周期ずれたものの、再び垂直偏波となる。

Let's look more closely at a vertically polarized wave.

垂直偏波を詳しく見てみよう。

Remember, the electric field is a vector field, meaning it is represented as an arrow at every point in space and time.

電場はベクトル場であり、空間と時間の各点で矢印として表されることを忘れないでほしい。

The arrow has components in the x, y, and z directions, which we can write like this, using a linear combination of the x, y, z basis vectors.

矢印はx、y、z方向の成分を持ち、x、y、zの基底ベクトルの線形結合を使ってこのように書くことができる。

We can also write this as a three-component column like this.

また、これを3つの要素からなる列として次のように書くこともできる。

For a vertically polarized wave, the electric field only exists along the y-axis, so the x and z components of the electric field go to zero.

垂直偏波の場合、電場はy軸に沿ってのみ存在するので、電場のx成分とz成分はゼロになる。

If we were to write out the y-component of the electric field for this traveling wave, it would be an amplitude A times a cosine wave.

この進行波の電界のy成分を書き出すとすると、振幅Aの余弦波となる。

That depends on both time and space.

それは時間と空間の両方に左右される。

Here, t is time, and z is the location along the z-axis.

ここで、tは時間、zはz軸に沿った位置である。

Omega is the angular frequency, and k is the angular wave number.

ωは角周波数、kは角波数である。

I find traveling waves are easiest to visualize on a spacetime diagram, with time moving into the future as we move upward.

進行波は、時空図上で視覚化するのが最も簡単で、時間が上方に向かうにつれて未来に移動していく。

Let's say that we have a wave that travels in the positive z direction over time.

例えば、時間と共に正のZ方向に進む波があるとしよう。

We could draw out this traveling wave as a surface in our spacetime diagram.

この進行波を時空図に面として描くことができる。

The density of the waves in the spatial direction is given by the wave number, and the density of the waves in time is given by the frequency.

空間方向の波の密度は波数で与えられ、時間方向の波の密度は振動数で与えられる。

One thing we can do to modify our traveling wave is to add an extra phi value inside the sinusoid function.

進行波を修正するためにできることの1つは、正弦波関数の中にファイの値を追加することです。

You can think of this as indicating the wave's starting value at the origin z equals zero when time t equals zero.

これは、時間tがゼロに等しいとき、原点zにおける波の開始値がゼロに等しくなることを示していると考えることができる。

This starting value is called a phase, and changing the phase value will shift the wave back and forth along the axis of travel.

この開始値は位相と呼ばれ、位相値を変えると、波は進行軸に沿って前後にシフトする。

Applying a phase shift of negative pi over two to a cosine will shift the wave ahead a quarter cycle, which is equivalent to a sine wave.

コサインに負の円周率を2倍した位相シフトを加えると、波は1/4周期前にシフトし、これは正弦波と等価である。

Now something that can help us represent waves is remembering Euler's formula, which tells us that we can write e to the power of the imaginary i times theta as cosine theta plus i times sine theta.

オイラーの公式を思い出せば、eの虚数i乗シータをコサインシータ＋i乗サインシータと書くことができる。

This is a useful property, because if we have e to the i theta and we want to add some angle phi to it, all we do is just multiply by e to the i times phi, and use the standard exponent rules to rewrite this as a single exponential with the exponents added.

これは便利な性質で、eをiのθとし、これに角度のφを加えたい場合、eをiのφ倍し、標準的な指数ルールを使ってこれを指数を加えた1つの指数として書き換えるだけだからだ。

If we then use Euler's formula to convert back to sine and cosine, we see that a phase phi has been added inside the sinusoid functions.

オイラーの公式を使って正弦波と余弦波に変換し直すと、正弦波関数の内部に位相ファイが追加されていることがわかる。

Now electromagnetic waves are described by real numbers.

さて、電磁波は実数で記述される。

But for convenience, we can pretend that our Ey component is actually a complex number, where the real part of this complex number is the actual electric field we observe in real life, with the imaginary part being ignored.

しかし便宜上、Ey成分は実際には複素数であり、この複素数の実数部が実際に観測される電界であり、虚数部は無視される、ということにしておこう。

This means the full Ey component would have a real part with a cosine wave, and we can invent the fake imaginary part to be a sine wave, since we ignore it anyway.

つまり、完全なEy成分はコサイン波の実数部を持ち、偽の虚数部はどうせ無視するのだから、正弦波になるように工夫すればいいのだ。

Using Euler's formula, we can write this more compactly as a complex exponential.

オイラーの公式を使えば、これを複素指数としてよりコンパクトに書くことができる。

This also means we can pull the phase phi out using exponent rules, and write it as a multiplicative factor, e to the i phi.

これはまた、指数規則を用いて位相ファイを引き出し、iファイに対するeという乗法として書くことができることを意味する。

This allows us to write travelling waves as three separate multiplicative factors, the amplitude, times the phase, times the actual travelling wave.

これにより、進行波を3つの別々の乗法要素、すなわち振幅×位相×実際の進行波として書くことができる。

So while the true electric field here is just the real part of this complex wave, we can write the electric field using complex exponentials for mathematical convenience.

つまり、ここでの真の電場はこの複素波の実数部に過ぎないが、数学的な便宜のために複素数指数を使って電場を書くことができる。

As I said before, if we take this vertically polarized wave and rotate it a quarter turn, we get a horizontally polarized wave.

前にも言ったように、この垂直偏波の波を1/4回転させると、水平偏波になる。

In this case, the wave only oscillates in the x direction, and so the y and z components of the field are zero.

この場合、波はx方向にのみ振動するので、場のy成分とz成分はゼロとなる。

Once again, the true electric field is given by a cosine, but for convenience, we can write it as a complex exponential, with the amplitude and phase written separately in front.

繰り返しますが、真の電場は余弦で与えられますが、便宜上、振幅と位相を前に分けて書いた複素指数として書くことができます。

So to review, with the vertically polarized waves, the y component of the electric field is a travelling wave, and the x and z components are zero.

復習すると、垂直偏波の場合、電界のy成分は進行波で、x成分とz成分はゼロである。

And with a horizontally polarized wave, the x component of the electric field is a travelling wave, and the y and z components are zero.

また、水平偏波の場合、電界のx成分は進行波であり、y成分とz成分はゼロである。

Now, we know from physical experiments that electromagnetic waves can be superimposed on top of each other.

さて、私たちは物理的な実験から、電磁波は互いに重ね合わせることができることを知っている。

So it's possible to add horizontally and vertically polarized waves together like this.

つまり、水平偏波と垂直偏波をこのように足し合わせることは可能なのだ。

Now notice that the two polarizations each have their own amplitude and their own phase.

ここで、2つの偏光がそれぞれ振幅と位相を持っていることに注目してほしい。

But the actual travelling wave portion is identical in both, so we can factor it out and write it outside the column like this.

しかし、実際の進行波部分はどちらも同じなので、因数分解して欄外にこのように書くことができる。

Now here I want to state the main idea of this video.

さて、ここでこのビデオの主旨を述べたい。

When it comes to studying the polarizations of waves, all the information we need to look at is contained inside this column, the amplitudes and the phases.

波の偏波を研究する場合、私たちが見る必要のあるすべての情報は、振幅と位相というこの列の中に含まれている。

The actual travelling wave portion of the formula can be ignored, since it's the same for all components.

式の実際の進行波の部分は、すべてのコンポーネントで同じなので無視できる。

We can even go one step further and ignore the z component altogether, since we can always choose coordinates where the z direction is the direction of wave propagation.

さらに一歩進んで、z成分を完全に無視することもできる。z方向が波の伝播方向である座標を常に選択できるからだ。

And therefore the z component of the electric field will always be zero.

したがって、電場のz成分は常にゼロとなる。

The resulting two-by-one column of complex numbers is called a Jones vector, and it tells us everything we need to know about the polarization of a given wave.

結果として得られる2×1列の複素数はジョーンズ・ベクトルと呼ばれ、ある波の偏波について知る必要のあるすべてを教えてくれる。

Any light wave polarization can be written as a linear combination of a horizontally polarized wave and a vertically polarized wave, each with complex numbers in front denoting their respective amplitudes and phases.

どのような光波の偏光も、水平偏光波と垂直偏光波の線形結合として書くことができ、それぞれの振幅と位相を示す複素数を前に置く。

Moving forward, I'm going to write this horizontally polarized wave of amplitude 1 using the vector capital H, and I'll write this vertically polarized wave with amplitude 1 using the vector capital V.

この振幅1の水平偏波をベクトル大文字のHで書き、振幅1の垂直偏波をベクトル大文字のVで書くことにする。

So using the idea of Jones vectors, we can create new polarizations by selecting different values for the amplitude and phase parameters.

つまり、ジョーンズ・ベクトルの考え方を使えば、振幅と位相のパラメータに異なる値を選択することで、新しい偏波を作り出すことができるのだ。

For example, we can set both phases to zero, so that the horizontal and vertical polarizations are in phase with each other, and then set both amplitudes to one.

例えば、水平偏波と垂直偏波が互いに同位相になるように、両方の位相をゼロに設定し、両方の振幅を1に設定することができる。

If we think of H as a vector along the x-axis and V as a vector along the y-axis, this new Jones vector points diagonally to the upper right.

Hをx軸に沿ったベクトル、Vをy軸に沿ったベクトルと考えると、この新しいジョーンズ・ベクトルは斜め右上を指す。

This is called diagonal polarization, denoted with a capital D.

これは対角偏光と呼ばれ、大文字のDで表記される。

This is what we would get if we took a horizontally polarized wave and rotated it counterclockwise by 45 degrees.

水平に偏光した波を反時計回りに45度回転させるとこうなる。

Although, according to Pythagoras, the Jones vector H plus V has an amplitude of the square root of 2, so we usually divide the components by the square root of 2 to force the amplitude of D to be 1.

ただし、ピタゴラスによれば、ジョーンズ・ベクトルH＋Vは2の平方根の振幅を持つので、通常はDの振幅を1にするために成分を2の平方根で割る。

It's also possible to set the amplitude to plus 1 for H and negative 1 for V, and this We call this anti-diagonal polarization A.

振幅をHにプラス1、Vにマイナス1に設定することも可能で、これを反対角偏波Aと呼ぶ。

This is what we would get if we took a horizontally polarized wave and rotated it clockwise by 45 degrees.

水平に偏光した波を時計回りに45度回転させるとこうなる。

Once again, we normalize this by dividing by the square root of 2.

もう一度、2の平方根で割って正規化する。

So we can get the D and A polarizations by adding H and V together in the right amounts.

つまり、HとVを適切な量だけ足すことで、DとAの偏光を得ることができる。

In fact, we can make the wave's polarization have any angle on this circle, if we set the coefficients in front of H and V properly.

実際、HとVの前の係数を適切に設定すれば、波の偏波をこの円上で任意の角度にすることができる。

But there are actually more polarizations that we still haven't seen yet.

しかし、実はまだ見ていない二極化がもっとある。

Let's again set both amplitudes to 1, and set the horizontal phase to be 0, and set the vertical phase to be pi over 2, which is a phase of a quarter wave cycle.

もう一度、両方の振幅を1に設定し、水平位相を0に設定し、垂直位相をπオーバー2（1/4波周期の位相）に設定しよう。

This polarization is more difficult to visualize, so let's bring back our column notation with the traveling wave to understand it better.

この偏波を視覚化するのはより難しいので、進行波と一緒に列記法を復活させて理解を深めよう。

Let's pretend we're stuck at the position z equals 0, and the angular frequency of the wave is 1, and we're watching the wave travel around the xy plane over time.

zが0に等しい位置で止まっていて、波の角周波数が1で、波がxy平面の周りを時間と共に移動するのを見ているとしよう。

What would this look like?

これはどのようなものだろうか？

We can combine the exponentials, then use Euler's formula, and then take the real part to see that the electric field is given by a cosine, and a cosine with a phase factor of a quarter cycle, which is really the same thing as a negative sign.

指数関数を組み合わせ、オイラーの公式を使い、実数部を取れば、電場は余弦と、位相係数が1/4周期の余弦で与えられることがわかる。

At time equals 0, this gives the coordinates 1, 0.

時間が0に等しいとき、これは座標1, 0を与える。

Then at t equals pi over 2, we get the coordinates 0, negative 1.

そして、tがπに等しいとき、座標0、マイナス1が得られる。

Then at t equals pi, we get negative 1, 0.

すると、tがπに等しいとき、負の1、0が得られる。

At t equals 3 pi over 2, we get 0, 1.

tが3πで2以上であれば、0, 1となる。

And at t equals 2 pi, we get 1, 0 again.

そしてtが2πに等しいとき、再び1、0が得られる。

So in this wave, the electric field vector travels around in a circle in a clockwise direction over time.

つまりこの波では、電場ベクトルは時間と共に時計回りに円を描くように移動する。

Bringing back the z-axis, if we take our left hand and point our thumb in the direction of wave travel along the z-axis, the electric field vector at the origin z equals 0 will follow the direction of our curled fingers.

z軸に話を戻すと、左手で親指をz軸に沿った波の進行方向に向けると、原点zが0に等しいときの電場ベクトルは、指を丸めた方向に沿うことになる。

Since the wave follows a circle according to our left hand, we call it left circular polarized.

波が左手の円に沿っているので、左円偏光と呼ぶ。

This wave would have a helix shape in three dimensions.

この波は3次元的にらせん状になる。

Wikipedia user Dave3457 has made a great animation of this that he's put into the public domain.

ウィキペディアのユーザーであるDave3457は、この素晴らしいアニメーションを作成し、パブリックドメインとして公開している。

We denote left circular polarized waves as capital L.

左円偏波を大文字のLと表記する。

It's also more common to write e to the i pi over 2 as just i, which is a quarter turn in the complex plane.

また、eをiの円周率を2倍したものをiと書くのが一般的で、これは複素数平面上で1/4回転したものである。

And once again, we normalize by dividing by the square root of 2.

そしてもう一度、2の平方根で割って正規化する。

If we repeat this process from the start, but instead giving the vertical polarization a phase of negative pi over 2, we get a helix wave that corkscrews in the opposite direction, matching our right hand when the right thumb points in the direction of wave travel.

このプロセスを最初から繰り返すが、その代わりに垂直偏波に2以上の負のπの位相を与えると、右手の親指が波の進行方向を向いたときに右手と一致する、反対方向にコークスクリューするらせん波が得られる。

So we call this right circular polarized, denoted by capital R.

そこで私たちはこれを右旋円偏光と呼び、大文字のRで表す。

Now you'll notice in this video, I've written my traveling waves with a positive time term and a negative z term.

このビデオで、私は進行波を正の時間項と負のz項を使って書いていることにお気づきだろう。

Some textbooks use the opposite sign convention, with a positive z term and a negative time term.

教科書によっては、Z項を正、時間項を負とし、逆の符号を用いるものもある。

And as a result, the Jones vectors for circularly polarized waves have opposite signs on the So make sure you know which sign convention you're using when talking about circularly polarized waves.

その結果、円偏波のジョーンズ・ベクトルは、円偏波と円偏波で符号が逆になる。

So to summarize this video, we initially discovered the Jones vectors h and v, which represent horizontally and vertically polarized traveling waves.

このビデオを要約すると、私たちは最初にジョーンズベクトルhとvを発見した。

We then found that writing them in different linear combinations could give us new polarizations of light.

そして、それらを異なる線形組み合わせで書くと、新しい光の偏光が得られることを発見した。

Like diagonal and anti-diagonal polarizations, and the left and right circular polarizations.

対角偏光と反対角偏光、左右の円偏光などだ。

We're going to see in the next video that these Jones vectors that represent wave polarizations are actually spinors.

次のビデオでは、波の偏光を表すジョーンズ・ベクトルが実はスピノアであることを説明する。

At this point, there's no particular reason why we would decide these pairs of complex numbers are special objects that deserve the special name of spinner.

この時点では、これらの複素数の組をスピナーという特別な名称に値する特別な対象だと判断する理由は特にない。

But in the next video, we're going to see how we can rotate these various polarizations into each other using special matrices called SU2 matrices.

しかし次のビデオでは、SU2行列と呼ばれる特別な行列を使って、これらの様々な偏光を互いに回転させる方法を見ていく。

And this will reveal a special angle doubling relationship between physical space and the space of wave polarizations.

そしてこれによって、物理的な空間と波の偏光の空間との間にある特別な角度の倍増関係が明らかになるだろう。

We'll see that one rotation in physical space corresponds to two full rotations in the polarization space.

物理空間での1回転は、偏光空間での2回転に相当することがわかるだろう。

The Jones vectors that live in polarization space require two full rotations to get back to the starting point.

偏光空間に存在するジョーンズ・ベクトルは、原点に戻るために2回転する必要がある。

And this is exactly what we would expect from spinors.

そして、これこそがスピノアに期待されることなのだ。

In the meantime, before the next video, I'd suggest trying to draw out the shapes of various polarizations for the Jones vectors shown on the screen here.

とりあえず、次のビデオの前に、ここでスクリーンに映し出されたジョーンズ・ベクトルについて、いろいろな偏光の形を描いてみることをお勧めする。

If you feel confused, just use the strategy I showed earlier of taking z equals zero and omega equals one, and plugging in different time values to see how the wave moves around in the xy plane.

混乱しそうになったら、先に示したzをゼロに、ωを1に等しくして、xy平面上で波がどのように動くかを見るために異なる時間値を差し込むという戦略を使えばいい。

The answers are linked in the description.

答えは説明文にリンクされている。