Name: Why Penrose Tiles Never Repeat
Uploaded: 2026-04-01T17:45:57.000Z
Duration: 6 min 37 s
Description: VoiceTubeの動画で発音を聞きながら英語表現を覚えよう！

These incredibly pretty geometric patterns are Penrose tilings,

とてもきれいなこれらの幾何学模様はペンローズタイリングで、

and if you've heard anything about them, it's probably that they never repeat themselves.

もし何か聞いたことがあるなら、それはおそらく繰り返されないということでしょう。

I mean, they look pretty similar all over,

つまり、全体的にとても似て見えますが、

and there are patches that are perfect matches,

完全に一致する部分もありますが、

but if you slide the whole thing over and around it will never completely line up with itself again.

全体をスライドさせても、決して完全に元通りにはなりません。

Patterns like this—that go on forever and feel like they should repeat, but don't—are called quasi-periodic.

このような、永遠に続き、繰り返されるべきだと感じるのにそうならない模様は、準周期的と呼ばれます。

But I never really felt like I understood these patterns—like, how do you make them?

でも、これらの模様がどうやって作られるのか、本当に理解できている気がしませんでした。

どうして繰り返されないとわかるのでしょうか？

I just had to take somebody's word for it that they worked the way people say they do.

人々が言う通りに機能すると、誰かの言葉を信じるしかありませんでした。

Until recently, when I learned there's a hidden pattern inside Penrose tilings—a pentagrid—and it's quite possibly the best way to understand Penrose tilings;

最近まで、ペンローズタイリングの中に隠されたパターン、ペンタグリッドがあることを知るまでは。そしてそれはペンローズタイリングを理解する最良の方法かもしれません。

at least, it's what finally helped me feel like I understood them.

少なくとも、これでようやく理解できたような気がしました。

Here's how you find the pentagrid: start with a single tile and highlight neighboring tiles whose edges are parallel—and their neighbors—and you end up with a wobbly ribbon of tiles that snakes around a bit but overall follows a straight path.

ペンタグリッドの見つけ方はこうです。まず1つのタイルから始めて、平行な辺を持つ隣接するタイルとその隣のタイルをハイライトしていくと、少し蛇行しながらも全体としてはまっすぐな道筋をたどる、ぐにゃぐにゃしたタイルのリボンができあがります。

And if you pick another tile with the same orientation, you can make a ribbon that's parallel to the first,

そして、同じ向きの別のタイルを選べば、最初のリボンと平行なリボンを作ることができます。

and you can keep going—here's a whole set of parallel ribbons.

そして、これを続けることができます。ここに平行なリボンのセットがすべてあります。

Of course, we could have started with the other edges of our original tile and ended up with a different ribbon of tiles.

もちろん、最初のリボンの別の辺から始めて、異なるタイルのリボンを作ることもできました。

And there's a whole parallel set of these ribbons, too.

そして、これらのリボンにも、平行なセットがすべてあります。

In fact, jumping ahead a little bit—if we make a slightly more complicated version of the Penrose tiling and color the tiles based on how they're oriented, you see a whole mess of ribbons jump out at you.

実は、少し先の話になりますが、ペンローズタイリングの少し複雑なバージョンを作り、タイルの向きに基づいて色を付けると、たくさんのリボンが浮かび上がってくるのがわかります。

These ribbons are the key to understanding Penrose tilings—because the ribbons form a pentagrid.

これらのリボンがペンローズタイリングを理解する鍵となります。なぜなら、リボンがペンタグリッドを形成するからです。

では、ペンタグリッドとは一体何でしょうか？

If you take a regular array of parallel lines, you can copy and rotate it so it forms a grid.

平行な線の正規配列を取り、それをコピーして回転させると、グリッドを形成できます。

You're probably most familiar with a square grid where two sets of lines have been evenly rotated from one another and intersect at 90 degrees.

おそらく、皆さんが一番よく知っているのは、2つの線が互いに均等に回転し、90度で交差する正方形グリッドでしょう。

You might also have seen a triangular grid where three sets of lines have been evenly rotated and intersect at 60 degrees.

3つの線が互いに均等に回転し、60度で交差する三角形グリッドを見たことがあるかもしれません。

And if you create a grid with five sets of lines evenly rotated from each other and intersecting at either 36 or 72 degrees, you get a pentagrid.

そして、5つの線が互いに均等に回転し、36度または72度で交差するグリッドを作成すると、ペンタグリッドが得られます。

Pentagrids are made up of five sets of parallel lines,

ペンタグリッドは5組の平行線で構成されており、

and Penrose tilings are made up of five sets of parallel ribbons of tiles—because they're actually the same.

ペンローズタイリングは5組の平行なタイルのリボンで構成されています。なぜなら、それらは実際には同じだからです。

To make a Penrose tiling, all you have to do is start with a pentagrid,

ペンローズタイリングを作成するには、ペンタグリッドから始めるだけで、

and then at every point where two lines intersect, you draw a tile—oriented so the sides of the tiles are perpendicular to the two lines.

2本の線が交差するすべての点で、タイルの辺が2本の線に対して垂直になるように向きを揃えてタイルを描きます。

This way, at the next intersection along the line, the sides of that tile will be parallel to the sides of the first tile, and

このように、線に沿った次の交差点では、そのタイルの辺は最初のタイルの辺と平行になり、

the same at the next intersection, and so on,

次の交差点でも同様に、そしてその先もずっと続きます。

and you can slide them all together into a ribbon.

そして、それらをすべて一緒にリボン状にスライドさせることができます。

And if you do the same for the next line up in the pentagrid, you get another ribbon, and

そして、ペンタグリッドの次の線でも同じようにすると、別のリボンができ、

さらに別のリボンもできます。

And if you also do it for all the other lines in the other directions, all of the ribbons combined together make a Penrose tiling.

そして、他の方向のすべての線でも同様に行うと、すべてが組み合わさったリボンがペンローズタイリングになります。

You can also just add a tile to every intersection and slide them all together along the grid lines—either way, you get a Penrose tiling.

ペンタグリッドのすべての交点にタイルを追加して、グリッド線に沿ってすべて一緒にスライドさせるだけでも、どちらの方法でもペンローズタイリングが得られます。

Every Penrose tiling is made out of five infinite sets of parallel, infinitely long ribbons—because every Penrose tiling is a pentagrid in disguise.

すべてのペンローズタイリングは、5つの無限の平行な無限長リボンのセットで構成されています。なぜなら、すべてのペンローズタイリングは、変装したペンタグリッドだからです。

Of course, you don't have to use this particular pentagrid—we can also shift the various different sets of lines by random amounts,

もちろん、この特定のペンタグリッドを使用する必要はありません。さまざまな異なる線セットをランダムな量だけシフトすることもできます。

and get a beautiful new tiling that's slightly different from Penrose tilings.

そして、ペンローズタイリングとは少し異なる、美しい新しいタイリングが得られます。

And we're not limited to a pentagrid—here's a heptagrid and its corresponding Penrose-like tiling.

そして、ペンタグリッドに限定されるわけではありません。ここにヘプタグリッドとその対応するペンローズ風タイリングがあります。

And here's an octagrid, a nanogrid, a decagrid, and so on.

そしてここにオクタグリッド、ナノグリッド、デカグリッドなどがあります。

And that beautiful ribbony pattern we showed before was from a grid with 17 different sets of lines.

そして、先ほどお見せした美しいリボンのようなパターンは、17本の異なる線セットを持つグリッドからのものでした。

My friend Atish made an interactive website where you can play around with all of this and make your own Penrose-like patterns.

私の友人のアティッシュが、これらすべてを試して、あなた自身のペンローズ風パターンを作成できるインタラクティブなウェブサイトを作りました。

You can highlight the grid lines and see their counterpart tiles,

グリッド線をハイライトして、対応するタイルを見ることができます。

and vice versa—you can change the colorings to bring out different aspects of the patterns, you can use it to generate a bunch of other famous patterns, you can save them for a phone or computer background or to print on a shirt, or whatever.

その逆も同様です。色を変えてパターンのさまざまな側面を強調したり、他の有名なパターンをたくさん生成したり、携帯電話やコンピューターの壁紙用に保存したり、シャツに印刷したりできます。

It's really great, and as you've probably noticed, it's where all the visuals in this video are from.

本当に素晴らしいです。おそらくお気づきでしょうが、このビデオのすべてのビジュアルはそこから来ています。

But there's one more thing—remember how I said that pentagrids helped me see why these patterns never repeat themselves?

でも、もう一つあります。ペンタグリッドが、これらのパターンが決して繰り返されない理由を理解するのに役立ったと言ったのを覚えていますか？

This isn't a proof, but it at least gives you a flavor of the non-repetition.

これは証明ではありませんが、少なくとも非反復性の感覚を掴むことができます。

まず、単一のリボンから始めましょう。

If the ribbon ever did repeat itself, then after a certain point in time you'd have the same pattern of thin and wide tiles over again.

もしリボンが繰り返されるとしたら、ある時点の後で、細いタイルと太いタイルの同じパターンが再び現れるでしょう。

So the ratio of thin to wide tiles would be a rational number—the number of thin tiles in a given chunk divided by the number of wide tiles.

したがって、細いタイルと太いタイルの比率は有理数になります。つまり、特定のチャンク内の細いタイルの数と太いタイルの数を割ったものです。

In this example, there are 6 wide tiles for every 4 thin ones.

この例では、細いタイル4つに対して太いタイルが6つあります。

In an actual Penrose tiling, we can directly calculate the ratio of thin tiles to wide tiles since the ribbons of tiles correspond to the intersections along a line of the pentagrid—the wide tiles are from the intersections with the 72-degree lines, and

実際のペンローズタイリングでは、タイルのリボンがペンタグリッドの線に沿った交点に対応するため、細いタイルと太いタイルの比率を直接計算できます。太いタイルは72度の線との交点から、

細いタイルは36度の線からのものです。

Some basic trigonometry shows that the spacing between 36-degree lines is 1/sin of 36 degrees,

基本的な三角法によると、36度の線間の間隔は36度のサインの逆数であり、

and the spacing between 72-degree lines is 1/sin of 72 degrees, so the ratio of wide tiles to thin tiles is the ratio of these—which happens to be the golden ratio—which is irrational.

72度の線間の間隔は72度のサインの逆数です。したがって、太いタイルと細いタイルの比率はこれらの比率になります。これは黄金比であり、無理数です。

So there's no way the pattern could ever repeat—if it did, the golden ratio would have to be rational.

したがって、パターンが繰り返される可能性はありません。もし繰り返されるなら、黄金比は有理数でなければなりません。

Remember, if the pattern did repeat, the ratio of wide to thin tiles would have to be rational, which the golden ratio isn't.

パターンが繰り返される場合、太いタイルと細いタイルの比率は有理数でなければならないことを思い出してください。黄金比はそうではありません。

Of course, this just proves the tiling can't repeat in one direction—the whole proof is a little bit more than we want to get into here.

もちろん、これはタイリングが一方向に繰り返されないことを証明するだけです。証明全体は、ここで説明するには少し複雑すぎます。

The pentagrid allows us to directly calculate that as you go out along any ribbon in a Penrose tiling, for every 10 thin tiles you see, there are on average 16.18 wide tiles—a golden ratio worth.

ペンタグリッドにより、ペンローズタイリングのリボンに沿って進むと、細いタイル10枚ごとに平均16.18枚の太いタイルが見つかることを直接計算できます。これは黄金比に相当します。

And because the golden ratio is irrational, sometimes there are slightly more wide tiles for every 10 thin ones,

そして、黄金比は無理数であるため、細いタイル10枚ごとに太いタイルがわずかに多くなることがあります。

and sometimes there are slightly fewer—in a way that is perfectly predicted by the value of the golden ratio,

そして、その数は黄金比の値によって完全に予測される方法で、時にはわずかに少なくなります。

the more tiles you look at, the more closely their ratio matches the golden ratio.

タイルを多く見れば見るほど、その比率は黄金比に近づきます。

Of course, there's nothing special about the golden ratio here—it happens to show up a lot when you have five-sided things.

もちろん、ここでの黄金比には特別なことは何もありません。5つの側面を持つものには、よく現れるだけです。

For the heptagrid, or decagrid, or whatever, the ribbons still don't repeat because the ratio of the spacings with the grids—and the ratios of the numbers of types of tiles—is some other irrational number.

ヘプタグリッドやデカグリッドなどでは、グリッドとの間隔の比率や、タイルの種類の数の比率が別の無理数であるため、リボンはやはり繰り返されません。

All these patterns are quasi-periodic—they may never repeat, but they also aren't just a random jumble of tiles.

これらのパターンはすべて準周期的です。決して繰り返されないかもしれませんが、単なるランダムなタイルの寄せ集めでもありません。

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