Name: 微分方程式の概要 (Overview of Differential Equations)
Uploaded: 2026-02-16T04:24:56.000Z
Duration: 14 min 4 s
Description: VoiceTubeの動画で発音を聞きながら英語表現を覚えよう！学べる英語：

Okay, well the idea of this first video is to tell you what's coming to give a kind of outline of what is reasonable to learn about ordinary differential equations.

さて、この最初のビデオでは、常微分方程式について学ぶべきことの概要を説明します。

And a big part of the series will be videos on first order equations and videos on second order equations.

そして、このシリーズの大きな部分を占めるのは、一階微分方程式と二階微分方程式のビデオです。

Those are the ones you see most in applications and those are the ones you can understand and solve when you're fortunate.

これらは応用で最もよく見られ、幸運にも理解して解くことができるものです。

So first order equations means first derivatives come into the equation.

つまり、一階微分方程式とは、方程式に一階微分が現れるということです。

That's a nice equation that we will solve.

これは私たちが解くことになる nice な方程式です。

We'll spend a lot of time on the derivative is that's the rate of change of Y.

微分、つまり Y の変化率については多くの時間を費やします。

The changes in the unknown Y as time goes forward are partly from depending on the solution itself.

時間が進むにつれて未知数 Y の変化は、部分的には解自体に依存します。

That's the idea of a differential equation, that it connects the changes with the function Y as it is, and

それが微分方程式の考え方で、変化と関数 Y そのものを結びつけ、

then you have it inputs called Q of T which produce their own change, they go into the system, they become part of Y and they grow, decay, oscillate, whatever Y of T does.

そして Q(T) という入力があり、それらはそれ自身の変化を生み出し、システムに入り、Y の一部となり、Y(T) が何をするにしても増加、減衰、振動します。

So that is a linear equation with a right hand side with an input, a forcing term.

これは、入力、外力項を持つ右辺を持つ線形方程式です。

そして、ここに非線形方程式があります。

The derivative of Y, the slope depends on Y.

Y の微分、つまり傾きは Y に依存します。

ですから、これは微分方程式です。

But F of Y could be Y squared or Y cubed or the sine of Y or the exponential of Y.

しかし、F(Y) は Y の 2 乗や Y の 3 乗、あるいは Y のサインや Y の指数関数である可能性があります。

つまり、線形ではないということです。

線形とは、Y が単独で現れる場合を指します。

ここではそうではありません。

Well, we'll come pretty close to getting a solution because it's a first order equation and the most general first order equation, the function would depend on T and Y.

さて、これは一階微分方程式であり、最も一般的な一階微分方程式では、関数は T と Y に依存するため、解を得るのにかなり近いところまでいきます。

入力は時間とともに変化します。

Here the input depends only on the current value of Y.

ここでは、入力は Y の現在の値にのみ依存します。

I might think of Y as money in a bank, growing, decaying, oscillating.

Y を銀行預金と考えて、増加したり、減衰したり、振動したりする様子を想像できます。

Or I might think of Y as a distance on a spring.

あるいは、Y をバネにかかった距離と考えることもできます。

たくさんの応用例が出てきますよ。

Ok, so those are first order equations and second order have second derivatives.

さて、これらは一階微分方程式で、二階微分方程式には二階微分が含まれます。

The second derivative is the acceleration.

It tells you about the bending of the curve.

曲線の曲がり具合を示してくれます。

If I have a graph, the first derivative we know gives the slope of the graph.

グラフがあるとして、一階微分はグラフの傾きを与えることを私たちは知っています。

Is it going up, is it going down, is it a maximum?

上がっているのか、下がっているのか、極大値なのか？

The second derivative tells you the bending of the graph, how it goes away from a straight line and that's acceleration.

二階微分はグラフの曲がり具合、直線からどれだけ離れていくかを示しており、それが加速度です。

So Newton's law, the physics we all live with would be acceleration is some force and there is a force that depends again linearly.

ですから、ニュートンの法則、私たち全員が経験している物理学では、加速度は力であり、再び線形に依存する力があります。

That's a key word on Y, just Y to the first power.

Y の一次の項、つまり Y だけということですね。

And here is a little bit more general equation.

そして、もう少し一般的な方程式を見てみましょう。

In Newton's law, the acceleration is multiplied by the mass.

ニュートンの法則では、加速度に質量が掛けられます。

So this includes a physical constant here, the mass Then there could be some damping.

ここには物理定数である質量が含まれ、さらに減衰があるかもしれません。

If I have motion, there may be friction slowing it down.

運動がある場合、それを遅くする摩擦があるかもしれません。

That depends on the first derivative, the velocity.

これは一階微分、つまり速度に依存します。

And then there could be the same kind of force term that depends on Y itself.

そして、Y 自体に依存する同じような力項があるかもしれません。

And there could be some outside force, some person or machine that's make force creating movement, an external forcing term.

そして、外部からの力、つまり動きを作り出す力、外力項があるかもしれません。

And let me just say at this point we let things be nonlinear and we had a pretty good chance if we get these to be nonlinear, the chance at second order has dropped.

そして、ここで非線形にしても良いとしましょう。非線形にした場合、二階微分になる確率はかなり下がります。

And the further we go, the more we need linearity and maybe even constant coefficients M, B and K.

そして、さらに進むと、線形性、さらには定数係数 M、B、K がさらに必要になります。

So that's really the problem that we can solve as we get good at it is a linear equation, second order, let's say with constant coefficients.

ですから、私たちが得意になるにつれて解決できる問題は、線形方程式、二階微分方程式、定数係数としましょう。

That's pretty much pushing what we can hope to do explicitly and really understand the solution.

これは、明示的に行えること、そして解を本当に理解できることの限界にかなり近づいています。

したがって、定数係数を持つ線形です。

That's the good equations and I think of solutions in two ways.

それらは良い方程式であり、私は解を 2 つの方法で考えます。

If I have a really nice function like an exponential.

指数関数のような非常に良い関数がある場合。

Exponentials are the great functions of differential equations, the great functions in this series.

指数関数は微分方程式における優れた関数であり、このシリーズにおける優れた関数です。

それらは何度も目にすることになるでしょう。

Say F of T equals E to the T or E to the Omega T or E to the I omega T that I is the square root of minus 1.

F(T) を E の T 乗、または E のオメガ T 乗、あるいは虚数単位 i を持つ E の i オメガ T 乗とします。

In those cases we will get a similarly nice function for the solution.

その場合、解も同様に良い関数になります。

We get a function that we know, like exponentials, and we get solutions that we know.

指数関数のような、私たちが知っている関数と、私たちが知っている解が得られます。

Second best are we get some function who we don't specially know.

次に良いのは、特別に知らない関数が得られる場合です。

In that case, the solution probably involves an integral F or 2 integrals of F.

その場合、解はおそらく F の積分、または F の 2 回の積分を含むでしょう。

That formula includes an integration that we would have to do.

その公式には、実行する必要のある積分が含まれています。

調べたり、数値的に実行したりします。

And then when we get to completely nonlinear functions, or we have varying coefficients, then we're going to go numerically.

そして、完全に非線形な関数になったり、係数が変化したりすると、数値的に処理することになります。

So really the wide, wide part of the subject ends up as numerical solutions.

つまり、この分野の広範囲な部分は数値解に行き着くわけです。

But you've got a whole bunch of videos coming that have nice functions and nice solutions.

しかし、素敵な関数と素敵な解が登場する動画がたくさんあります。

Ok, so that's first order and second order.

さて、これが一階と二階ですね。

Because a system doesn't usually consist of just a single resistor, a single spring.

なぜなら、システムは通常、単一の抵抗器や単一のバネで構成されているわけではないからです。

In reality we have many equations and we need to deal with those.

実際には多くの微分方程式があり、それらを扱う必要があります。

So Y is Now a vector y1, y2 to yn n different unknowns, N different equations.

ですから、Y は未知数 Y1、Y2 から Yn までの n 個の異なる未知数、n 個の異なる微分方程式になります。

それは n 個の微分方程式です。

ここで、これは n × n の行列です。

So it's first order constant coefficients.

つまり、一階定数係数ということになります。

これでどこかにたどり着けるでしょう。

But it's a system of N Coupled equations.

しかし、それはN個の連立方程式のシステムです。

And so is this one with the second derivative, second derivative of the solution, but

そして、この2階微分方程式も同様ですが、解の2階微分です。

And we have a matrix, usually a symmetric matrix.

そして、通常は対称行列である行列があります。

そこで、Yに掛けることを期待します。

So again, linear constant coefficients, but several equations at once.

つまり、再び線形定数係数ですが、複数の連立方程式を一度に扱います。

And that will bring in the idea of eigenvalues and eigenvectors.

そして、それが固有値と固有ベクトルの考え方をもたらします。

Eigenvalues and eigenvectors is a key bit of linear algebra that makes these problems simple because it turns this coupled problem into N uncoupled problems, N first order equations that we can solve separately or n second order equations that we can solve separately.

固有値と固有ベクトルは、これらの問題を単純にする線形代数の重要な部分です。なぜなら、この連立問題を、個別に解くことができるN個の一階方程式、または個別に解くことができるn個の二階方程式に変換するからです。

That's the goal with matrices, is to uncouple them.

行列の目標は、それらを分離することです。

And then really the big reality of this subject is that solutions are found numerically and very efficiently.

そして、この分野の大きな現実は、解が数値的かつ非常に効率的に見つかるということです。

And there's a lot to learn about that, a lot to learn.

そして、それについて学ぶことはたくさんあります。

And Matlab is a first class package that gives you numerical solutions with many options.

そして、Matlabは数値解を多くのオプションで提供する一流のパッケージです。

One of the options may be the favorite ODE for ordinary differential equations.

オプションの1つは、常微分方程式のお気に入りのODEかもしれません。

Well, Cleave Molar, who first wrote the package MATLAB is going to create a series of parallel videos explaining the steps toward numerical solution.

さて、MATLABパッケージを最初に書いたCleve Molerは、数値解へのステップを説明する一連の並列ビデオを作成する予定です。

Those steps begin with a very simple method.

そのステップは、非常に単純な方法から始まります。

Maybe I'll put the creator's name down Euler.

オイラーという名前を載せましょうか。

So you can know that because Euler was centuries ago, he didn't have a computer, but

オイラーは何世紀も前にコンピューターを持っていなかったということがわかりますね。

しかし、彼は近似のための簡単な方法を持っていました。

オイラーは常微分方程式の最初のものかもしれません。

そして今、私たちはオイラーを後にしました。

Euler is fine, but not sufficiently accurate.

オイラーは良いですが、十分な精度ではありません。

That 4 and 5 indicate a much higher accuracy, much more flexibility in that package.

その4と5は、そのパッケージにおけるはるかに高い精度と柔軟性を示しています。

So starting with Euler, Cleve Moller will explain several steps that reach a really workhorse package.

オイラーから始めて、Cleve Molerは本当に主力となるパッケージに到達するいくつかのステップを説明します。

So that's a parallel series where you'll see the codes.

コードが見られる並列シリーズです。