Name: 単振動：クラッシュコース物理学 #16 (Simple Harmonic Motion: Crash Course Physics #16)
Uploaded: 2026-01-10T02:47:24.000Z
Duration: 9 min 11 s
Description: VoiceTubeの動画で発音を聞きながら英語表現を覚えよう！学べる英語：

In June 2001, officials in London unveiled a striking new feat of engineering.

2001年6月、ロンドンで、印象的な新しい工学の偉業がお披露目されました。

The Millennium Bridge, a pedestrian bridge spanning the River Thames.

ミレニアムブリッジ、テムズ川にかかる歩行者橋です。

It promised to be very useful, and it was cool to look at.

とても便利で、見た目もかっこいいはずでした。

But it had to be closed almost immediately, because when people used the bridge, it swayed back and forth noticeably due to the force of their footsteps.

しかし、人々が橋を使うと、足音の力で顕著に揺れたため、すぐに閉鎖しなければなりませんでした。

Undeterred, people kept using the bridge, but

諦めずに、人々は橋を使い続けましたが、

as they walked, they began to lean into the swaying to keep themselves from falling over.

歩いているうちに、倒れないように揺れに寄りかかるようになりました。

そして、それは事態を悪化させるだけでした。

Eventually, the motion of the bridge became so severe that the bridge took on the shape of a giant S, essentially a horizontal wave.

最終的に、橋の運動は非常に深刻になり、橋は巨大なS字型、つまり水平波の形になりました。

The bridge had to be closed, and the engineers took nearly two years to fix the problem.

橋は閉鎖され、技術者は問題を解決するのに2年近くかかりました。

So what was wrong with the Millennium Bridge?

では、ミレニアムブリッジは何が悪かったのでしょうか？

And why didn't the engineers foresee the problem?

そして、なぜ技術者はこの問題を予見できなかったのでしょうか？

その答えは、オシレーションにあります。

The physics that caused the swaying of the Millennium Bridge has to do with oscillations, or back and forth motion.

ミレニアムブリッジの揺れを引き起こした物理学は、振動、つまり行き来する動きに関係しています。

Or more specifically, it has to do with simple harmonic motion, where oscillations follow a particular consistent pattern.

より具体的には、振動が一貫したパターンに従う単振動に関係しています。

But before we had the Millennium Bridge as a real life example, physicists often described simple harmonic motion in terms of a ball attached to a horizontal spring lying on a table.

しかし、ミレニアムブリッジが実例となる前に、物理学者はしばしば単振動を、テーブルの上に置かれた水平ばねに取り付けられたボールで説明していました。

While it's lying there at rest, it's in equilibrium.

静止して横たわっている間、それは平衡状態にあります。

And when you move the ball so that it stretches the spring, then let go, the ball keeps moving back and forth forever.

そして、ボールを動かしてばねを伸ばし、手を離すと、ボールは永遠に行き来し続けます。

So in a frictionless world, that back and forth motion caused by the force of the spring is simple harmonic motion.

したがって、摩擦のない世界では、ばねの力によって引き起こされるその行き来する動きは単振動です。

Now, we want to know two things about this oscillating ball.

さて、この振動するボールについて2つのことを知りたいと思います。

What kinds of energy does it have, and what's its maximum velocity?

どのようなエネルギーを持っていて、最大速度はどのくらいでしょうか？

To better understand what's happening to the ball, let's start with its energy.

ボールに何が起こっているのかをよりよく理解するために、まずはエネルギーから始めましょう。

As the ball compresses and stretches the spring, both kinetic energy and potential energy come into play.

ボールがばねを圧縮したり伸ばしたりするにつれて、運動エネルギーと位置エネルギーの両方が関わってきます。

運動エネルギーとは、運動に伴うエネルギーのことです。

And as the ball moves, there are two points, the turning points, where it's not moving.

そして、ボールが動いているとき、動いていない2つの点、すなわち転換点があります。

One point is where the spring is compressed all the way, and

一つの点は、ばねが完全に圧縮されたところで、

the other is where it's stretched all the way.

もう一つの点は、ばねが完全に引き伸ばされたところです。

And the distance between either of these two points and the equilibrium point is called the amplitude.

そして、これらの2つの点のどちらかと平衡点との間の距離を振幅と呼びます。

At those two turning points, the ball won't have any kinetic energy since it isn't moving.

その2つの転換点では、ボールは動いていないため、運動エネルギーは全くありません。

Instead, all of the ball's energy will be potential energy from the spring, half of the spring constant times the amplitude squared.

その代わりに、ボールのエネルギーはすべて、ばね定数の半分に振幅の2乗をかけたものによる位置エネルギーになります。

Now, as the ball moves towards the middle, its kinetic energy starts to increase because it's moving faster and faster.

さて、ボールが中央に向かって動くにつれて、速く動くようになるため、運動エネルギーは増え始めます。

And at the same time, its potential energy decreases, keeping its total energy the same and exactly in the middle of the ball's motion at the equilibrium point, its potential energy goes down to zero.

そして同時に、位置エネルギーは減少し、その全エネルギーは同じままです。ボールの運動のちょうど真ん中、平衡点では、位置エネルギーはゼロになります。

The ball is back where it started, so the spring is no longer pulling on it.

ボールは元の場所に戻ったので、ばねはもうボールを引っ張っていません。

Its kinetic energy, on the other hand, has reached its maximum, which means that at that point, the total energy of the ball will be equal to half of its mass times its maximum velocity squared.

一方、運動エネルギーは最大に達しており、その時点でボールの全エネルギーは、質量の半分に最大速度の2乗をかけたものに等しくなります。

Now, we have two equations for the total energy in this oscillating spring, which we can combine into one equation.

さて、この振動するばねの全エネルギーについて2つの式が得られました。これを1つの式にまとめることができます。

And if we use algebra to move around its variables, we can start to answer the second question we had about the ball.

そして、代数を使って変数を移動させると、ボールについて持っていた2番目の質問に答え始めることができます。

We wanted to know the ball's maximum velocity, and

ボールの最大速度を知りたかったのですが、

this equation tells us that it's equal to the amplitude times the square root of the spring constant divided by its mass.

この式は、それが振幅に、ばね定数を質量で割ったものの平方根を掛けたものに等しいことを示しています。

So we've answered our two questions about the ball on the spring.

これで、ばねの上のボールに関する2つの質問に答えられました。

We know about its energy, and we have an equation for its maximum velocity.

エネルギーと最大速度の式がわかりました。

But there's a lot more going on with this ball than just its energy and velocity.

しかし、このボールには、エネルギーと速度以上のことがたくさん起こっています。

It also has properties like period, a frequency, and an angular velocity.

それには周期、周波数、角速度といった性質もあります。

さらに、その位置は時間とともに変化します。

You might recognize those terms because we already talked about them in our episode on uniform circular motion.

これらの用語は、等速円運動のエピソードで既に話したので、聞き覚えがあるかもしれませんね。

そして、それは偶然ではありません。

Simple harmonic motion is actually a lot like uniform circular motion, mathematically speaking.

単振動は、数学的に言えば、等速円運動と非常に似ています。

You can see this for yourself if you compare the ball's motion on the spring to an object in uniform circular motion, say a marble moving along a ring at a constant speed.

これは、ばねの上のボールの運動と、例えば一定の速さでリングに沿って動くビー玉のような、等速円運動をしている物体を比較すれば、ご自身で確認できます。

Okay, I admit it might seem like kind of a weird comparison at first.

はい、最初は少し奇妙な比較に思えるかもしれませんが、認めます。

For one thing, the ball on the spring is moving in one dimension, while a marble moving along a circular path is in two dimensions.

まず、ばねの上のボールは一次元で動くのに対し、円形の経路に沿って動くビー玉は二次元で動きます。

But what if you take that ring and look at it from the side?

では、そのリングを横から見たらどうなるでしょうか？

The marble keeps moving along its circular path, but

ビー玉は円形の経路に沿って動き続けますが、

to you, it looks like it's just moving back and forth along a straight line.

あなたから見ると、それはただ直線を行ったり来たりしているように見えます。

it looks like this marble is stopping momentarily as it changes direction and moving faster as it gets closer to the middle, which is exactly the same way the ball was moving on the spring.

そのビー玉は方向を変えるときに一瞬止まり、中心に近づくにつれて速くなるように見えます。これは、ばねの上のボールの動きと全く同じです。

Now, let's take this comparison one step further.

さて、この比較をさらに一歩進めてみましょう。

Let's assume that the radius of the ring is the same as the amplitude of the ball's motion on the spring, and

リングの半径がばねの上のボールの運動の振幅と同じであり、

that the marble's constant speed along the ring is equal to the maximum speed of the ball on the spring.

リングに沿ったビー玉の一定の速度が、ばねの上のボールの最大速度と等しいと仮定します。

In that case, if you did the math, you'd find that the equation for the marble's velocity, when you look at it edge on, is exactly the same as the equation that described the velocity of the ball on the spring.

その場合、計算をすれば、リングを横から見たときのビー玉の速度の式が、ばねの上のボールの速度を表していた式と全く同じであることがわかるでしょう。

So let's recall what we know about uniform circular motion to see what it can tell us about simple harmonic motion.

では、単振動について何がわかるかを見るために、等速円運動について知っていることを思い出しましょう。

We know that the time it takes for the marble to move around the ring once is called the period.

ビー玉がリングを一周するのにかかる時間を周期と呼びます。

We also know that the period will be equal to the circumference of the ring divided by the marble's speed.

また、周期はリングの円周をビー玉の速度で割ったものと等しくなることもわかっています。

And the radius of the circle is the same as the ball's amplitude on the spring.

そして、円の半径は、ばねの上のボールの振幅と同じです。

So its circumference will be equal to 2 times PI times the amplitude.

したがって、その円周は、振幅の2倍のPIに等しくなります。

This means that the period will be equal to 2 times PI times the amplitude divided by the marble speed, which again, is the same as the ball's maximum speed as it moves on the spring.

これは、周期が、ばねの上を移動するボールの最大速度と同じであるビー玉の速度で割った振幅の2倍のPIに等しくなることを意味します。

And we can simplify that equation, since we know that the maximum speed of the ball is equal to the amplitude times the square root of the spring constant divided by the mass.

そして、ボールの最大速度が、ばね定数割る質量、の平方根に振幅を掛けたものに等しいことを知っているので、その方程式を単純化できます。

So the period of the marble's motion around the ring is equal to 2 PI times the square root of m over k.

したがって、リングの周りのビー玉の運動の周期は、m割るk、の平方根に2 PIを掛けたものに等しくなります。

Now, we've also talked about the frequency of uniform circular motion.

さて、等速円運動の周波数についても話しました。

It's the number of revolutions the marble makes around the ring every second.

それは、ビー玉が毎秒リングの周りを何周するかということです。

And it's equal to one divided by the period.

そして、それは周期の逆数に等しくなります。

In this case, the frequency will also be equal to 1 over 2 PI times the square root of k over m.

この場合、周波数は、k割るm、の平方根の逆数に2 PIを掛けたものにも等しくなります。

And that'll apply to the ball on the spring too, because the rules are the same.

そしてそれは、ルールが同じなので、ばねの上のボールにも当てはまります。

Finally, there's angular velocity to consider in uniform circular motion.

最後に、等速円運動で考慮すべき角速度があります。

We've described it as the number of radians per second that the marble covers as it moves around the ring.

これは、ビー玉がリングの周りを移動する際の1秒あたりのラジアン数として説明しました。

An angular velocity is just equal to the frequency times 2pi, which means that in the case of the ball on the spring, it's equal to the square root of k over m.

角速度は周波数に2パイを掛けたものと等しくなります。これは、ばねの上のボールの場合、kをmで割ったものの平方根に等しくなることを意味します。

So now, with the help of our knowledge about circular motion, we can understand the period, frequency and angular velocity of the ball's simple harmonic motion as it oscillates on the spring.

ですから今、円運動に関する知識を借りて、ばねの上で振動するボールの周期、周波数、角速度を理解することができます。

しかし、もう一つ質問があります。

How does the ball's position change over time?

ボールの位置は時間とともにどのように変化するのでしょうか？

それを知るために、分析する必要があります。

Analyze the marble's motion along the ring again.

再びリングに沿ったビー玉の動きを分析します。

And the answer will involve some trigonometry.

そして、その答えは三角法を含むことになります。

But it's not particularly complicated trig.

しかし、それは特に複雑な三角法ではありません。

At any given point along its path, the marble will be at a certain angle to the right hand side of the ring.

その軌跡上のどの時点でも、ビー玉はリングの右側に対してある角度に位置します。

And the cosine of that angle will be equal to its horizontal distance from the center of the ring divided by the ring's radius.

そして、その角度のコサインは、リングの中心からの水平距離をリングの半径で割ったものと等しくなります。

We already know that the radius of the ring is the same as the amplitude of the ball's motion along the spring.

リングの半径は、バネに沿ったボールの運動の振幅と同じであることをすでに知っています。

And if you turn the ring so it looks like a line again, you can see that the marble's horizontal distance from the center of the ring is the same as the ball's distance from the equilibrium point.

そして、リングを線のように見えるように回転させると、リングの中心からのビー玉の水平距離が、平衡点からのボールの距離と同じであることがわかります。

So the cosine of theta is equal to the ball's position divided by its amplitude.

したがって、θのコサインはボールの位置を振幅で割ったものと等しくなります。

In other words, the ball's position is equal to the amplitude times the cosine of the angle.

言い換えれば、ボールの位置は振幅に角度のコサインを掛けたものと等しくなります。

この方程式も単純化できます。

In the same way that distance is equal to velocity multiplied by time, the angle is equal to the angular velocity multiplied by time.

距離が速度に時間を掛けたものと等しいのと同じように、角度は角速度に時間を掛けたものと等しくなります。

So we can write the equation for the position of the ball as x equals a cosine omega t.

したがって、ボールの位置の方程式は、xイコールaコサインオメガtと書くことができます。

And when you graph this equation, something interesting happens.

そして、この方程式をグラフにすると、興味深いことが起こります。

We'll be talking a lot more about waves in our next three episodes, but

次の3つのエピソードでは、波についてもっと詳しくお話ししますが、

for now, it's helpful just to see the connection here.

今のところは、このつながりを見るだけでも役立ちます。

For an object in simple harmonic motion, the graph of its position versus time is a wave, which is why the swaying of the Millennium Bridge looked like a wave.

単振動する物体の位置と時間のグラフは波になり、だからこそミレニアムブリッジの揺れは波のように見えたのです。

Speaking of the bridge, we can now better understand what happened to it.

ちなみに、橋の話に戻ると、何が起こったのかをよりよく理解できるようになります。

The bridge's shimmy was the result of oscillation, but it was made worse by another resonance.

橋のぐらつきは振動の結果でしたが、別の共振によって悪化しました。

Resonance can increase the amplitude of an oscillation by applying force at just the right frequency, Kind of like how you can get a kid on a swing set to swing higher by pushing at just the right moment.

共振は、ちょうど良い周波数で力を加えることで振動の振幅を増幅させることができます。ブランコに乗っている子供を、ちょうど良いタイミングで押すことで、より高く揺らすことができるようなものです。

The engineers of the Millennium Bridge were reminded of that the hard way.

ミレニアムブリッジの技術者たちは、そのことを痛いほど思い知らされました。

When pedestrians on the bridge started to lean into its swaying, they created resonance.

橋の上の歩行者が揺れに寄りかかり始めると、共振を引き起こしました。