Name: どんな平方根でも計算する方法：現代のコンピューターを支える古代の計算方法 (How To Calculate Any Square Root. An Ancient Method That Powers Modern Computers)
Uploaded: 2026-01-06T04:47:05.000Z
Duration: 13 min 33 s
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プレッシュ・タルワーカーです。

Thousands of years before computers or calculators, ancient civilizations were computing square roots by hand.

コンピューターや電卓が生まれる何千年もの前、古代文明は手計算で平方根を求めていました。

This Babylonian clay tablet represents one of the most important mathematical texts of the ancient Mesopotamian civilization.

このバビロニアの粘土板は、古代メソポタミア文明の最も重要な数学の文献の一つです。

The Babylonians used a base 60 number system which has enduring legacy.

バビロニア人は60進法を使用していましたが、これは永続的な遺産となっています。

In the 60 minutes we have in an hour, they represented numbers by cuneiform numerals.

1時間の60分に、彼らはくさび形文字の数字で数を表していました。

If you study the tablet closely, you may be able to make out some of the numerals that are carved in and you can convert them into the numbers that we use in our everyday life.

粘土板をよく見ると、刻まれた数字の一部を識別し、それを私たちが日常生活で使う数字に変換できるかもしれません。

What did these particular numbers represent?

では、これらの特定の数字は何を表していたのでしょうか？

Studying other clues in the tablet, the archaeologists were able to convert these numbers from the base 60 that the Babylonians used into the regular numbers that we use.

粘土板の他の手がかりを研究することで、考古学者はバビロニア人が使用していた60進法から、私たちが使う通常の数字にこれらの数字を変換することができました。

In particular, these numbers were coefficients of a mixed number where we had a whole part and then fractions of powers of 60.

特に、これらの数字は、整数部分と60のべき乗の分数を持つ混合数の係数でした。

So these particular numbers all represented one number that was equal to one plus 24 over 60, plus 51 over 60 squared, plus plus 10 over 60 cubed.

そのため、これらの特定の数字はすべて、1 + 60分の24 + 60の2乗分の51 + 60の3乗分の10に等しい一つの数を表していました。

Notice that these numbers are written along the diagonal of a square.

これらの数字が正方形の対角線に沿って書かれていることに注目してください。

Think about a square which has a side length that's equal to 1.

一辺の長さが1の正方形を考えてみましょう。

対角線の長さは何でしょうか？

Even the Babylonians knew this was equal to the square root of 2.

バビロニア人でさえ、これが平方根の2に等しいことを知っていました。

So this particular number was an approximation for the square root of 2.

そのため、この特定の数字は平方根の2の近似値でした。

Converting the Babylonian numbers into into a modern decimal number, we end up with the approximation that square root of 2 is equal to 1.41421.

バビロニアの数字を現代の10進数に変換すると、平方根の2は1.41421に等しいという近似値になります。

These are all accurate digits of the square root of 2.

これらはすべて平方根の2の正確な桁です。

So the Babylonians were correct to five decimal places.

ですから、バビロニア人は小数点以下5桁まで正しかったのです。

Their technique for computing square roots is so efficient that essentially modern computers use the same algorithm.

彼らの平方根を計算するテクニックは非常に効率的で、基本的に現代のコンピューターも同じアルゴリズムを使用しています。

What's even more remarkable is the technique is pretty simple to learn.

さらに驚くべきは、そのテクニックは学ぶのがかなり簡単だということです。

In this video, I'm going to teach you how to do square roots like the Babylonians did.

この動画では、バビロニア人が行っていたような平方根の計算方法を教えます。

And it's so easy, you might even be able to compute these in your head.

とても簡単なので、暗算でもできるようになるかもしれませんよ。

So let's get started with an example of the square root of 17.

それでは、平方根の17の例から始めましょう。

We get started by referring to a table of squares of whole numbers.

まず、整数の二乗の表を参照します。

Even Babylonians started out with such tables.

バビロニア人もこのような表から始めていました。

17の平方根を求めたいのです。

We look for the square number that's closest to 17.

17に最も近い平方数を探します。

This will be the number 16, which is equal to 4 squared.

それは16、つまり4の二乗になります。

So imagine we were taking the square root of 16.

もし16の平方根を求めていたと想像してみてください。

So the square root of 17 must be a little bit larger than 4.

なので、17の平方根は4より少し大きい値になるはずです。

それが最初の出発点になります。

So the square root of 17 is approximately equal to 4.

ということで、17の平方根はおよそ4に等しいということですね。

But we know that 4 squared is equal to 16.

でも、4の二乗は16になるということを私たちは知っています。

And we want the square root of 17, which is a larger number.

そして、私たちはもっと大きな数である17の平方根を求めているのです。

So we know we're going to need to add a little bit to get to the square root of 17.

ですから、17の平方根にたどり着くためには、少しだけ足す必要があることがわかります。

So we will add some fraction to make an adjustment.

そこで、調整するためにいくらかの分数を足すことにしましょう。

The numerator will be calculated as the difference between between 17 and 16.

分子は、17と16の差として計算されます。

17 minus 16 is equal to 1, and that's the number in the numerator.

17から16を引くと1になり、これが分子の数です。

For the denominator, we take this number 4 and all we do is we multiply it by 2.

分母については、この数4を取り、それに2を掛けるだけです。

We double this number 4 times 2 is equal to 8.

この数4を2倍すると、8になります。

これで近似値が求まりました。

The square root of 17 is approximately equal to 4 plus 1 over 8.

17の平方根は、およそ4と8分の1です。

This works out to the decimal number 4.125.

これは小数で表すと4.125になります。

この推定値はどれくらい正確でしょうか？

The actual value of the square root of 17 begins 4.123.

17の平方根の実際の値は4.123から始まります。

So this estimate is accurate to two decimal places.

ですので、この推定値は小数点以下2桁まで正確です。

そして、これは非常に簡単な計算です。

では、別の例をやってみましょう。

まず、平方数の表から始めます。

69に最も近い平方数はどれでしょう？

これは8の2乗、つまり64になります。

So we start out that the square root of 69 is approximately equal to 8.

ですので、69の平方根はおよそ8と推定できます。

ここで調整値を加える必要があります。

The numerator will be the difference of 69 and 64 and that is equal to 5.

分子は69と64の差、つまり5になります。

For the denominator, we just take this value 8 and we multiply it by 2 to to get 16.

分母は、この値8を2倍して16とします。

So we have the square root of 69 is approximately equal to 8 plus 5 over 16, which equals 8.312.

したがって、69の平方根はおよそ8に5/16を加えた値、つまり8.312となります。

So again we have a very accurate approximation.

ここでも、非常に正確な近似値が得られました。

Let's do another example of the square root of 111.

では、111の平方根の別の例を見てみましょう。

111 is closest to 100, which equals 10 squared.

111は100に最も近く、これは10の2乗に等しくなります。

So the square root of 111 is approximately equal to 10 plus some adjustment.

したがって、111の平方根はおよそ10に何らかの調整を加えた値になります。

The numerator will be 111 minus 100, which equals 11.

分子は111から100を引いた値、つまり11になります。

And the denominator will be double 10, which is equal to 20.

分母は10の2倍、つまり20になります。

So the square root of 111 Is approximately equal to to 10 plus 11 over 20, which equals 10.55.

したがって、111の平方根はおよそ10に20分の11を加えた値、つまり10.55になります。

実際の値は10.536から始まります。

Now let's do a slightly different example.

では、少し違う例をやってみましょう。

In the square root of 23, what square number is closest to 23?

23の平方根で、23に最も近い平方数は何でしょうか？

これは25、つまり5の2乗になります。

So the square root of 23 is approximately equal to 5.

ですから、23の平方根はおよそ5に等しくなります。

But unlike the previous examples, we know that this is too large of an estimate because phi squared is equal to 25 will this method still work.

しかし、これまでの例とは異なり、これは大きすぎる推定値であることがわかっています。なぜなら、φの2乗は25に等しくなるからです。この方法でうまくいきますか？

そこで調整を加える必要があります。

The numerator in this case will be 23 minus 25 and that will be equal to to negative 2.

この場合、分子は23から25を引いた値、つまりマイナス2になります。

マイナスの調整値があるということですね。

Then the denominator will be equal to 5 times 2 and that will be equal to 10.

次に、分母は5かける2、つまり10になります。

So we have the square root of 23 is approximately equal to 5 plus negative 2 over 10.

したがって、23の平方根はおよそ5プラスマイナス2割る10となります。

The actual value of the square root of 23 starts out as 4.796.

23の平方根の実際の値は、4.796から始まります。

So the technique works and is accurate even if the adjustment is a negative number.

このように、調整値がマイナスの数であっても、この手法は機能し、正確であることがわかります。

Let us now return to a final example of estimating the square root of 2 using the Babylonian method.

さて、バビロニア法を使って2の平方根を推定する最後の例に戻りましょう。

We start up by asking which square number is closest to 2.

まず、2に最も近い平方数を見つけることから始めます。

The best we can do is 1, which is equal to 1 squared.

できる最善は1で、これは1の2乗に等しくなります。

So the square root of 2 is approximately equal to 1.

したがって、2の平方根はおよそ1に等しくなります。

The numerator will be equal to 2 minus 1, which is equal to 1.

分子は2から1を引いた値、つまり1になります。

And the denominator will be equal to 1 times 2, which is equal to 2.

そして分母は1かける2、つまり2になります。

では、この方法では何が得られるでしょうか？

It gives us an estimate that the square root of 2 is approximately equal to 1/1, which equals 1.5.

これにより、2の平方根はおよそ1.5に等しいという見積もりが得られます。

But the actual value of the square root of 2 starts out as 1.414.

しかし、2の平方根の実際の値は1.414から始まります。

So this is not a very impressive approximation.

ですから、これはあまり印象的な近似ではありません。

It is not accurate to five decimal places, as we saw in the very first clay tablet.

最初の粘土板で見たように、小数点以下5桁まで正確ではありません。

So how did the Babylonians actually get very accurate values of the square root of 2?

では、バビロニア人は実際に2の平方根の非常に正確な値をどのようにして得たのでしょうか？

この方法には別のトリックがあります。

We have come up with an estimate of 1.5 for the square root of 2.

2の平方根の近似値として1.5を算出しました。

But there's no reason we have to stop at this point.

しかし、ここで止まらなければならない理由はありません。

We can take this result and repeat the whole process with this as our initial guess.

この結果を取り、これを初期推測値として全体のプロセスを繰り返すことができます。

では、それがどのように機能するか見てみましょう。

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