Name: 滑らかな関数とは何か？ (What is a smooth function?)
Uploaded: 2025-11-10T15:16:46.000Z
Duration: 2 min 12 s
Description: VoiceTubeの動画で発音を聞きながら英語表現を覚えよう！学べる英語：

to 不定詞

Today we're going to be talking about what does it mean for a function to be smooth?

今日は、関数が滑らかであるとはどういうことかについてお話しします。

動名詞

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Now, with that very smooth transition out of the way, let's talk about what it means for a function to be smooth.

それでは、とても滑らかな導入はこのくらいにして、関数が滑らかであることの意味について話しましょう。

Well, a function is smooth if it has derivatives of every possible order.

関数が滑らかであるとは、あらゆる可能な階数の微分を持つことです。

So a function is of order k is if the k th derivative of f exists and is continuous.

関数がk階であるとは、fのk階微分が存在し、連続であることを意味します。

So a function is smooth if it is infinitely differentiable.

つまり、関数が滑らかであるとは、無限回微分可能であるということです。

We can also say that a function f is of order k by saying that F is in C to the k.

関数fがk階であるということは、fがCのk乗であると言うこともできます。

This is just a common notation that you might see if you are trying to talk about a whole bunch of different orders at once.

これは、さまざまな階数を一度に話そうとするときに見かける可能性のある一般的な表記法です。

So by convention, C0 denotes all continuous function, C1 is all functions whose derivative is continuous, C2 is all function whose second derivative is continuous, and

慣例として、C0はすべての連続関数を表し、C1は微分が連続であるすべての関数、C2は2階微分が連続であるすべての関数を表します。

So a function is smooth if it is in c infinity.

したがって、関数が滑らかであるとは、その関数がC∞に属することです。

So if a function is in ck, then we can also say it's in CJ if j is less than k.

関数がCkに属する場合、jがkより小さいならば、それはCJにも属すると言うことができます。

Some common smooth functions are polynomials e to the x cosine of x sine of x1 over x squared plus 1.

一般的な滑らかな関数としては、多項式、e^x、cos(x)、sin(x)、1/(x^2 + 1)などがあります。

これらはすべて滑らかな関数です。

これは網羅的なリストではありません。

There's a whole bunch of other ones, but these are some common ones.

他にもたくさんの関数がありますが、これらは一般的なものです。

You might see the function absolute value of x that's c0, but

絶対値関数のような関数はC0ですが、

it's not c1 since the derivative does not exist at x equals 0.

x=0で微分が存在しないため、C1ではありません。

So there's an example to show that c0 is not the same thing as c1.

これはC0とC1が同じものではないことを示す例です。

And then the function x squared sine of 1 over x that turns out to be c1 but not c2.

そして、x^2 sin(1/x) という関数は、C1 ですが C2 ではありません。

And you can find examples of all sorts of different functions that do similar things with the other different orders.

他の階数で同様のことを行う様々な関数の例を見つけることができます。

I hope this video was helpful in understanding both the order of derivatives and also what it means for a function to be smooth.

この動画が、微分の階数と、関数が滑らかであることの意味の理解に役立ったことを願っています。

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