Name: フーリエ変換に関するより一般的な不確定性原理 (The more general uncertainty principle, regarding Fourier transforms)
Uploaded: 2025-05-09T10:48:41.000Z
Duration: 19 min 21 s
Description: VoiceTubeの動画で発音を聞きながら英語表現を覚えよう！学べる英語：

様態の副詞

You've probably heard of the Heisenberg Uncertainty Principle from quantum mechanics, that the more you know about a particle's position, the less certain you can be of its momentum and vice versa.

量子力学のハイゼンベルグの不確定性原理を聞いたことがあるだろう。粒子の位置が分かれば分かるほど、その運動量については確信が持てなくなる。

程度の副詞

My goal here is for you to come away from this video feeling like this is utterly reasonable.

私のゴールは、このビデオを見て、これはまったく合理的だと感じてもらうことだ。

It'll take some time, but I think you'll agree that digging deep is well worth it.

時間はかかるだろうが、深く掘り下げる価値は十分にあることに同意してもらえると思う。

You see, the Uncertainty Principle is actually one specific example of a much more general trade-off that shows up in a lot of everyday, totally non-quantum circumstances involving waves.

つまり、「不確定性原理」は、波動に関わる日常的な、まったく量子的でない状況の多くで現れる、より一般的なトレードオフの具体例のひとつなのだ。

The plan here is to see what this means in the context of sound waves, which should feel reasonable, and then Doppler radar, which should again feel reasonable and a little bit closer to the quantum case, and then for particles, which if you're willing to accept one or two premises of quantum mechanics, hopefully feels just as reasonable as the first two.

ドップラーレーダーは、これまた合理的で、量子のケースに少し近いと感じられるはずだ。そして粒子については、量子力学の前提を1つか2つ受け入れる気になれば、うまくいけば、最初の2つと同じくらい合理的に感じられるはずだ。

The core idea here has to do with the interplay between frequency and duration.

ここでの核となる考え方は、周波数と持続時間の相互作用に関係している。

And I bet you already have an intuitive idea of this principle before we even get into the math or the quantum.

そして、数学や量子の話に入る前に、すでにこの原理を直感的に理解しているに違いない。

If you were to pull up behind a car at a red light, and your turn signals were flashing together for a few seconds, you might kind of think they have the same frequency, but at that point, for all you know, they could fall out of sync as more time passes, revealing that they actually had different frequencies.

赤信号で車の後ろに停車し、ウインカーが数秒間一緒に点滅していたら、同じ周波数だと思うかもしれないが、その時点では、時間が経つにつれて同期が取れなくなり、実際には異なる周波数であることがわかるかもしれない。

So an observation over a short period of time gave you low confidence over what their frequencies are.

つまり、短期間の観察では、彼らの周波数がどの程度なのか、確信が持てないということだ。

But if you were to sit at that red light for a full minute, and the signals continued to click in sync, you would be a lot more confident that the frequencies are actually the same.

しかし、もしあなたがその赤信号に1分間座っていて、信号が同期してクリックし続けたとしたら、周波数が実際に同じであることをもっと確信できるだろう。

So that certainty about the frequency information required an observation spread out over time.

つまり、周波数情報の確実性を高めるには、時間をかけて観測する必要があったのだ。

And this trade-off right here, between how short your observation can be, and how confident you can feel about the frequency, is an example of the general uncertainty principle.

このトレードオフは、観測時間をどれだけ短くできるかということと、周波数についてどれだけ確信が持てるかということのトレードオフであり、一般的な不確定性原理の一例である。

同様に、音符を思い浮かべてほしい。

The shorter it lasts in time, the less certain you can be about what its exact frequency is.

持続時間が短ければ短いほど、正確な周波数はわからない。

In the extreme, I could ask you what the pitch of a clap or a shockwave is, and even someone with perfect pitch would be unable to answer.

極端な話、拍手や衝撃波のピッチはどれくらいかと聞けば、完璧なピッチを持つ人でも答えられないだろう。

And on the flip side, a more definite frequency requires a longer duration signal.

また逆に、より明確な周波数は、より長い持続時間の信号を必要とする。

Or rather than talking about definiteness or certainty, it would be a little more accurate here to say that the short signal correlates highly with a wider range of frequency, and that the signal correlating strongly with only a narrow range of frequencies must last for a longer time.

あるいは、明確性や確実性を語るよりも、ここでは、短い信号はより広い周波数範囲と高い相関を示し、狭い周波数範囲とだけ強い相関を示す信号はより長い時間持続しなければならない、と言った方がもう少し正確だろう。

Here, that's the kind of phrase that's made a little clearer when we bring in the actual math.

ここで、実際の計算を持ち込むと、このような表現が少し明確になる。

So let's turn now to talking about the Fourier transform, which is the relevant construct for analyzing frequencies.

では次に、周波数を分析するために必要なフーリエ変換について説明しよう。

The last video I put out was a visual intuition for this transform, and yes, it probably would be helpful if you've seen it, but I'm going to go ahead and give a quick recap here just to remind ourselves of how it went.

最後に出したビデオは、このトランスフォームのための視覚的な直感だった。そう、それを見てもらえればおそらく役に立つだろうが、ここで先に、それがどのようなものだったかを思い出すために簡単に振り返っておこうと思う。

Let's say you have a signal, and it plays 5 beats per second over the course of 2 seconds.

例えば、ある信号があり、それが2秒間に1秒間に5ビートを奏でるとしよう。

The Fourier transform gives a way to view any signal not in terms of the intensity at each point in time, but instead in terms of the strength of various frequencies within it.

フーリエ変換は、あらゆる信号を各時点での強度ではなく、その中の様々な周波数の強さで見る方法を提供する。

The main idea was to take this signal and to kind of wind it around a circle.

主なアイデアは、この信号を円形に巻きつけることだった。

As in, imagine some rotating vector whose length is determined by the height of the graph at each point in time.

各時点でのグラフの高さによって長さが決まる回転ベクトルを想像してみてほしい。

Right now, this little vector is rotating at 0.3 cycles per second, that's the frequency with which we're winding the graph around the circle.

今、この小さなベクトルは1秒間に0.3サイクルで回転している。

And for most frequencies, the signal is kind of just averaged out over the circle.

そして、ほとんどの周波数に対して、信号は円の中で平均化される。

This was the fun part of last video, don't you think?

これが前回のビデオの面白いところだったと思わない？

Just seeing the different patterns that come up as you wind a pure cosine around a circle like this.

純粋なコサインをこのように円に巻きつけると、さまざまなパターンが出てくる。

But the key point is what happens when that winding frequency matches the signal frequency, in this case 5 cycles per second.

しかし、重要なポイントは、巻線の周波数が信号の周波数（この場合は毎秒5サイクル）と一致したときに何が起こるかである。

As our little vector is rotating around and it draws, all of the peaks line up on one side and all of the valleys on another side, so the whole weight of the graph is kind of off-center, so to speak.

小さなベクトルが回転しながら描画されるとき、すべての山が片側に並び、すべての谷がもう片側に並ぶので、いわばグラフ全体の重みが中心からずれることになる。

The idea behind the Fourier transform is that if you follow the center of mass of the wound up graph with frequency f, the position of that center of mass encodes the strength of that frequency in the original signal.

フーリエ変換の背景にある考え方は、巻き上げたグラフの重心を周波数fでたどると、その重心の位置が元の信号におけるその周波数の強さを符号化するというものだ。

The distance between that center of mass and the origin captures the strength of that frequency, and this is something I didn't really talk about in the main video, but the angle of horizontal corresponds to the phase of the given frequency.

その重心と原点との距離は、その周波数の強さをとらえます。これはメインビデオではあまり話しませんでしたが、水平の角度は、与えられた周波数の位相に対応します。

One way to think of this whole winding mechanism is that it's a way to measure how well your signal correlates with a given pure frequency.

この巻線メカニズム全体を考える1つの方法は、自分の信号が与えられた純粋な周波数とどれだけ相関しているかを測定する方法だということだ。

So remember, when we say the Fourier transform, we're referring to this new function whose input is that winding frequency, and whose output is the center of mass, thought of as a complex number.

つまり、フーリエ変換とは、入力が巻線の周波数で、出力が複素数として考えられる重心であるこの新しい関数を指しているのだ。

Or more technically, it's a certain multiple of that center of mass, but whatever, the overall shape remains the same.

より厳密には、その重心のある倍数だが、いずれにせよ、全体的な形状は変わらない。

And the graph I'm drawing is just going to be the x-coordinate of that center of mass, the real part of its output.

そして、私が描くグラフは、その重心のX座標、つまり出力の実数部分になる。

If you wanted, you could also plot the distance between the center of mass and the origin, and maybe that better conveys how strongly each possible frequency correlates with the  The downside is that you lose some of the nice linearity properties that I talked about last video.

もし必要であれば、重心と原点間の距離をプロットすることもできる。

Anyway, point is, this spike you're looking at here, above the winding frequency of 5, is the Fourier transform's way of telling us that the dominant frequency of the signal is 5 beats per second, and equally importantly, the fact that it's a little spread out around that 5 is an indication that pure sine waves near 5 beats per second also correlate pretty well with the signal.

とにかく重要なのは、このスパイクは、巻き上げ周波数5より上で、信号の支配的な周波数が毎秒5拍であることをフーリエ変換が教えてくれているということです。そして同様に重要なのは、この5拍の周りに少し広がっているという事実は、毎秒5拍に近い純粋な正弦波も信号とかなり相関があることを示しているということです。

And that last idea is key for the uncertainty principle.

そしてこの最後の考え方が、不確定性原理の鍵になる。

What I want you to do is think about how this spread changes as the signal persists longer or shorter over time.

シグナルが長く続いたり短くなったりして、このスプレッドがどのように変化するかを考えてほしい。

You've already seen this at an intuitive level, all we're doing right now is just illustrating it in the language of Fourier transforms.

直感的なレベルではもうお分かりだろう。今やっているのは、フーリエ変換の言葉で説明するだけだ。

If the signal persists over a long period of time, then when the winding frequency is even slightly different from 5, the signal goes on long enough to wrap itself around the circle and balance out.

もし信号が長い間持続するのであれば、巻線の周波数が5と少しでも異なれば、信号は十分に長く続き、円を描いてバランスをとる。

So looking at the Fourier plot over here, that corresponds to a super sharp drop-off in the magnitude of the transform as your frequency shifts away from that 5 beats per second.

ここでフーリエプロットを見ると、周波数が毎秒5拍から離れるにつれて、変換の大きさが急激に落ちていることがわかる。

On the other hand, if your signal was really localized to a short period of time, then as you adjust the frequency away from 5 beats per second, the signal doesn't really have as much time to balance itself out around the circle.

一方、信号が本当に短い時間に集中していた場合、周波数を毎秒5ビートから遠ざけると、信号が円周上でバランスを取る時間が少なくなる。

You have to change the winding frequency to be meaningfully different from 5 before that signal starts to balance out again.

その信号が再びバランスし始める前に、巻線の周波数を5から意味のある差に変えなければならない。

Over on the frequency plot, that corresponds to a much broader peak around the 5 beats per second.

周波数プロット上では、毎秒5拍のあたりにもっと広いピークがある。

And that's the uncertainty principle, just phrased a little bit more mathematically.

これが不確定性原理であり、もう少し数学的な言い回しになっている。

A signal concentrated in time must have a spread out Fourier transform, meaning it correlates with a wide range of frequencies, and a signal with a concentrated Fourier transform has to be spread out in time.

時間に集中した信号は、フーリエ変換が広がっていなければならない。つまり、広い範囲の周波数と相関がある。

And one other place where this comes up in a really tangible way is Doppler radar.

そしてもうひとつ、このことが具体的な形で現れるのがドップラーレーダーだ。

So with radar, the idea is you send out some radio wave pulse, and the pulse might reflect off of objects, and the time it takes for this echo signal to return to you lets you deduce how far away those objects are.

レーダーでは、電波パルスを発信し、そのパルスが物体に反射して戻ってくるまでの時間から、その物体の距離を推測する。

And you can actually take this one step further, and make deductions about the velocities of those objects using the Doppler effect.

さらにもう一歩進んで、ドップラー効果を使って物体の速度を推測することもできる。

Think about sending out a pulse with some frequency.

ある周波数のパルスを発信することを考えてみよう。

If this gets reflected off an object moving towards you, then the beats of that wave get kind of smushed together, so the echo you hear back is a slightly higher frequency.

この波が向かってくる物体に反射されると、その波のビートは押し潰されたようになり、わずかに高い周波数がエコーとして返ってくる。

Fourier transforms give a neat way to view this.

フーリエ変換を使えば、これを簡単に見ることができる。

The Fourier transform of your original signal tells you the frequencies that go into it, and for simplicity, let's think of that as being dominated by a single pure frequency.

元の信号をフーリエ変換すると、その信号に含まれる周波数がわかりますが、簡単のために、その信号は1つの純粋な周波数に支配されていると考えましょう。

Though as you know, if it's a short pulse, that means that our Fourier transform has to be spread out a little bit.

しかし、ご存知のように、短いパルスであれば、フーリエ変換を少し広げなければならない。

And now think about the Doppler shifted echo.

そして今度は、ドップラーシフトされたエコーについて考えてみよう。

By coming back at a higher frequency, it means that the Fourier transform will just look like a similar plot shifted up a bit.

より高い周波数で戻ってくるということは、フーリエ変換は同じようなプロットを少し上にシフトしたように見えるということだ。

Moreover, if you look at the size of that shift, you can deduce how quickly the object was moving.

さらに、そのシフトの大きさを見れば、物体がどれだけ速く動いていたかが推測できる。

By the way, there is an important technical point that I'm choosing to gloss over here, and I've outlined it a little more in the video description.

ところで、技術的に重要なポイントがあるのだが、ここでは割愛させていただく。

What follows is meant to be a distilled, if somewhat oversimplified description of the Fourier tradeoff in this setup.

以下は、このセットアップにおけるフーリエトレードオフについて、多少単純化しすぎてはいるが、簡潔に説明したものである。

The salient fact is that time and frequency of that echo signal correspond respectively to the position and velocity of the object being measured, which is what makes this example much more closely analogous to the quantum-mechanical Heisenberg Uncertainty Principle.

重要なのは、エコー信号の時間と周波数が、それぞれ測定される物体の位置と速度に対応していることで、この例は量子力学的なハイゼンベルグの不確定性原理により近い。

You see, there is a very real way in which a radar operator faces a dilemma, where the more certain you can be about the positions of things, the less certain you are about their velocities.

レーダーオペレーターがジレンマに直面するのは、物体の位置が確かであればあるほど、その速度については確信が持てなくなるという、非常に現実的な方法なのだ。

Here, imagine sending out a pulse that persists over a long period of time.

ここで、長時間持続するパルスを発信することを想像してほしい。

Then that means the echo from some object is also spread out over time.

ということは、ある物体からのエコーも時間と共に広がっていくことになる。

On its own, that might not seem like an issue, but in practice, there's all sorts of different objects in the field, so these echoes are all going to start to get overlapped with each other.

それだけなら問題ないように思えるかもしれないが、実際にはフィールドにはさまざまな物体があるので、これらのエコーはすべて互いに重なり始めることになる。

Combine that with other noise and imperfections, and this can make the locations of multiple objects extremely ambiguous.

これに他のノイズや不完全さが加わると、複数の物体の位置が極めて曖昧になる。

Instead, a more precise understanding of how far away all these things are would require having a very quick little pulse confined to a small amount of time.

その代わり、これらのことがどれだけ遠くにあるのかをより正確に理解するには、わずかな時間に限定された非常に素早い小さなパルスを持つ必要がある。

But think about the frequency representations of such a short echo.

しかし、このような短いエコーの周波数表現について考えてみよう。

As you saw with the sound example, the Fourier transform of a quick pulse is necessarily more spread out.

音の例で見たように、速いパルスのフーリエ変換は必然的に広がりが大きくなる。

So for many objects with various velocities, that would mean that the Doppler-shifted echoes, despite having been nicely separated in time, are more likely to overlap in frequency space.

つまり、さまざまな速度を持つ多くの天体では、ドップラーシフトされたエコーは、時間的にはきれいに分離されているにもかかわらず、周波数空間では重なりやすいということになる。

So since what you're looking at is the sum of all of these, it can be really ambiguous how you break it down.

つまり、あなたが見ているのはこれらすべての合計なのだから、それをどのように分解するかは実にあいまいなのだ。

If you wanted a nice clean sharp view of the velocities, you would need to have an echo that only occupies a very small amount of frequency space.

速度のきれいでシャープな表示を望むなら、ごくわずかな周波数空間しか占めないエコーが必要だ。

But for a signal to be concentrated in frequency space, it necessarily has to be spread out in time.

しかし、信号が周波数空間に集中するためには、必然的に時間的に広がる必要がある。

これがフーリエトレードオフである。

You cannot have crisp delineation for both.

その両方にメリハリをつけることはできない。

そして、これが量子のケースにつながる。

Do you know who else spent some time immersed in the pragmatic world of radio wave transmissions?

電波送信という実用的な世界にどっぷりと浸かっていた人を他に知っているだろうか？

A young, otherwise philosophically inclined history major in WWI France, Louis de Broglie.

第一次世界大戦中のフランスで、哲学に傾倒した歴史学を専攻していたルイ・ド・ブロイ。

And this was a strangely fitting post, given his predispositions to philosophizing about the nature of waves, because after the war, as de Broglie switched from the humanities to physics, in his 1924 PhD thesis, he proposed that all matter has wave-like properties.

というのも、戦後、ド・ブロイは人文科学から物理学に転向し、1924年の博士論文で、すべての物質は波のような性質を持っていると提唱したからである。

And more than that, he concluded that the momentum of any moving particle is going to be proportional to the spatial frequency of that wave, how many times that wave cycles per unit distance.

さらに彼は、移動する粒子の運動量は、その波の空間周波数（単位距離あたりにその波が何回周期するか）に比例すると結論づけた。

Okay, now that's the kind of phrase that can easily fly into one ear and out the other.

なるほど、これは片耳に入ればもう片耳から出て行ってしまうようなフレーズだ。

Because as soon as you say matter is a wave, it's easy to just throw up your hands and say physics is just weird.

物質が波であると言った途端に、物理学はおかしいと手を上げるのは簡単だからだ。

しかし、本当に考えてみてほしい。

Even if you're willing to grant that particles behave like waves, in some way, whatever that means, why on earth should the momentum of those particles, the thing we classically think of as mass times velocity, have anything to do with the spatial frequency of that wave?

仮に、粒子が波のように振る舞うことを認めるとしても、それがどういう意味であれ、粒子の運動量、つまり古典的に質量×速度と考えられているものが、なぜ波の空間周波数と関係があるのだろうか？

Now being more of a math than a physics guy, I asked a number of people with deeper backgrounds in physics about helpful intuitions here, and one thing that became clear is that there is a surprising variety of viewpoints.

私は物理学よりも数学の方が好きなので、物理学の深い知識を持つ多くの人々に、ここで役立つ直感について尋ねてみたが、明らかになったことのひとつは、驚くほど多様な視点があるということだ。

Now personally, one thing I found to be interesting was just going back to the source, and seeing how de Broglie framed things in his seminal paper on the topic.

個人的に興味深かったのは、原典に立ち戻って、ド・ブロイがこのトピックに関する彼の代表的な論文でどのように物事を組み立てているかを見ることだった。

You see, there is a sense in which it's not all that different from the Doppler effect, where relative movement corresponds to shifts in frequency.

相対的な移動が周波数のシフトに対応するドップラー効果と、それほど違わないということがわかるだろう。

It has a slightly different flavor, since we're not talking about frequency over time, instead we're talking about frequency over space, and special relativity is going to come into play.

時間的な周波数の話ではなく、空間的な周波数の話であり、特殊相対性理論が関係してくるからだ。

But I still think it's an interesting analogy.

でも、面白い例えだと思うよ。

In his thesis, de Broglie lays out what is, in his own words, a crude comparison for the kind of wave phenomenon he has in mind.

ド・ブロイはその論文の中で、彼自身の言葉を借りれば、彼が考えている波動現象についての粗雑な比較を示している。

Imagine many weights hanging from springs, with all of these weights oscillating up and down in sync, and with most of the mass concentrated towards a single point.

たくさんの重りがバネにぶら下がっていて、その重りがすべて同期して上下に振動し、質量のほとんどが一点に集中している状態を想像してほしい。

The energy of these oscillating weights is meant to be a metaphor for the energy of a particle, specifically the E equals mc2 style energy residing in its mass, and de Broglie emphasized how the conception he had in mind involves the particle being dispersed across all of space.

これらの振動する重りのエネルギーは、粒子のエネルギー、具体的には質量に存在するEと等しいmc2スタイルのエネルギーのメタファーであることを意味しており、ド・ブロイは、彼の念頭にある構想が、粒子が空間全体に分散していることを強調している。

The whole premise he was exploring here is that the energy of a particle might have to do with something that oscillates over time, since this was known to be the case for photons, and these oscillating weights are just meant to be a metaphor for whatever that something might be.

彼がここで探求していた前提は、粒子のエネルギーは、時間と共に振動する何かと関係があるかもしれないということだ。

With Einstein's relatively new theory of relativity in mind, he pointed out that if you view this whole setup while moving relative to it, all of the weights are going to appear to fall out of phase.

アインシュタインの比較的新しい相対性理論を念頭に置いて、このセットアップ全体を相対的に移動しながら見ると、すべての重りの位相がずれて見えると指摘した。

That's not obvious, and I'm certainly exaggerating the effect in this animation.

それは明らかではないし、このアニメーションでは確かに効果を誇張している。

It has to do with a core fact from special relativity that what you consider to be simultaneous events in one reference frame may not be simultaneous in a different reference frame.

これは特殊相対性理論の核心的な事実に関係しており、ある参照枠で同時事象とみなされているものが、別の参照枠では同時ではない可能性があるということだ。

So even though from one point of view, you might see two of these weights as reaching their peaks and their valleys at the same instant, from a different, moving point of view, those events might actually be happening at different times.

つまり、ある視点から見れば、2つのウェイトが同じ瞬間に山と谷に達しているように見えても、別の移動する視点から見れば、それらの出来事は実際には異なる時間に起こっている可能性があるのだ。

Understanding this more fully requires some knowledge of special relativity, so we'll all just have to wait for Henry Reich's series on that topic to come out.

これをより完全に理解するには特殊相対性理論についての知識が必要なので、ヘンリー・ライヒのシリーズが出るのを待つしかない。

Right here, our only goal is to get an inkling for why momentum, that thing we usually think of as mass times velocity, should have anything to do with spatial frequency.

ここで私たちの唯一の目的は、通常質量に速度をかけたものと考えられている運動量が、なぜ空間周波数と関係があるのか、その理由を知ることである。