inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

２つの段階からなる問題を 思いつきました

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

まず 正方形のキャンバスに四角形を 重なり合わないように敷き詰めます

All must be unique, so if we use a 1x4, we can't use a 4x1 in another spot,

全て違う四角形でなければなりません １ｘ４の四角形を使ったら

but a 2x2 rectangle would be fine.

別の場所では４ｘ１を使えませんが

Let's try that.

２ｘ２なら問題ありません

Say we have a canvas measuring 4x4.

ちょっとやってみましょう

We can't chop it directly in half,

４ｘ４の四角いキャンバスが あるとします

since that would give us identical rectangles of 2x4.

真ん中でただ２つに 分けることはできません

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

これでは２ｘ４の同じ四角形が ２つできてしまうからです

That was easy, but we're not done yet.

３ｘ４と１ｘ４の四角形なら大丈夫です

Now take the area of the largest rectangle,

ここまでは簡単でしたね でもまだ終わりではありません

and subtract the area of the smallest.

次に 最大の四角形の面積から

The result is our score,

最小の四角形の面積を引きます

and the goal is to get as low a score as possible.

その結果がスコアになります

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

目標はできるだけ小さいスコアを 出すことです

giving us a score of 8.

今の場合 最大の面積が12 最小が４なので

Since we didn't try to go for a low score that time,

スコアは８です

we can probably do better.

さっきはスコアのことを 考えていなかったので

Let's keep our 1x4

おそらくもっとうまく できるでしょう

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

１ｘ４の四角形はそのままにして

Now our score is 9 minus 3, or 6.

３ｘ４の四角形を ３ｘ３と３ｘ１に 分解してみましょう

Still not optimal, but better.

現在のスコアは ９－３で６です

With such a small canvas, there are only a few options.

まだ最適とは言えませんが さっきよりはいいですね

But let's see what happens when the canvas gets bigger.

このような小さいキャンバスでは 選択肢はあまりありません

Try out an 8x8; what's the lowest score you can get?

では もっと大きいキャンバスでは どうなるか見てみましょう

Pause here if you want to figure it out yourself.

８ｘ８のキャンバスで考えてみてください 最も小さなスコアはいくつになるでしょうか

Answer in: 3

自分で考えてみたい人は ここで一時停止してください

Answer in: 2

答えまで：３

Answer in: 1

答えまで：２

To get our bearings, we can start as before:

答えまで：１

dividing the canvas roughly in two.

手始めに 前と同じように

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

キャンバスをほぼ等しくなるよう ２つに分けてみます

and a 3x8 with area 24,

これで 面積40の５ｘ８の四角形と

for a score of 16.

面積24の３ｘ８の四角形ができて

That's pretty bad.

スコアは16となります

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

かなり悪いスコアですね

Better, but still not great.

５ｘ８の四角形を５ｘ５と５ｘ３に分けると スコアは10になります

We could just keep dividing the biggest rectangle.

前よりはましですが まだまだです

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

このまま最も大きな四角形を 分け続けることもできます

which would increase the range between the largest and smallest.

しかし そうすると ますます小さな四角形ができ

What we really want

最大と最小の差を広げることになります

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

私たちの目的は

And since the total area of the canvas is 64,

使用する四角形の面積の範囲を 狭めることです

the areas need to add up to that.

キャンバスの総面積は64なので

Let's make a list of possible rectangles and areas.

四角形の面積の合計が 64にならないといけません

To improve on our previous score,

候補となる四角形とその面積を 一覧にしましょう

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

さきほどのスコアより小さくするために

and adding up to 64.

例えば面積が９までの四角形を使い

You'll notice that some values are left out

足して64になるか 試してみることが出来ます

because rectangles like 1x13 or 2x9 won't fit on the canvas.

また 除外できるものがあることが わかるでしょうか

You might also realize

１ｘ13や２ｘ９などは キャンバスに収まらないですからね

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

まだあります

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

５、９、15のように 面積が奇数の四角形を使うと

With all that in mind, let's see what works.

合計を偶数にするために 面積が奇数の四角形がもう１つ必要になります

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

これらのことを全て頭に入れて 考えてみましょう

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

面積が20以上のところから始めてしまうと すぐに上限を超えてしまいます

leaving out 15.

しかし 面積が14から18の範囲の 四角形を足して64にすることができます

Unfortunately, there's no way to make them fit.

面積15の四角形は使いません

Using the 2x7 leaves a gap

あいにく これらの四角形を キャンバスに収める方法はありません

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

２ｘ７の四角形を使うと

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

幅が１の四角形でしか 埋められない場所ができるからです

leaving out the 3x3 square.

より小さな値を見ていくと 次に条件に合う範囲は８から14です

This time, the pieces fit.

３ｘ３の四角形は使いません

That's a score of 6.

今回はおさまりました

Can we do even better?

この時スコアは６です

No.

もっと良くできるでしょうか？

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

できません

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

２ｘ７と１ｘ８の四角形を使わず

But if we go any lower down the list,

３ｘ３、１ｘ７、１ｘ６で置き換えると 同じスコアを得ることができます

the numbers become so small

しかし 一覧のもっと下にいくと

that we'd need a wider range of sizes to cover the canvas,

面積がとても小さくなるので

which would increase the score.

キャンバスを埋めるために 面積の幅を広げる必要が出てきて

There's no trick or formula here – just a bit of intuition.

スコアが大きくなります

It's more art than science.

なんのトリックも数式もありません ちょっとした直感です

And for larger grids,

科学と言うよりも芸術です

expert mathematicians aren't sure whether they've found the lowest possible scores.

もっと大きな四角形では

So how would you divide a 4x4,

優れた数学者たちですら得られたスコアが 最小かどうか確かめられません

10x10,

あなたなら４ｘ４

or 32x32 canvas?

10ｘ10

Give it a try and post your results in the comments.

32ｘ32のキャンバスを どのように分けますか？