Pizza is soft and bendable, so how can you stop all that cheese from falling off?

ピザは柔らかくおりやすいですが、チーズを落とさないように食べるのは無理ですよね？

You might know some of the tricks:

もしかしたらこのを知っているかもしれません。

You can use two hands, not so classy, or you can use a paper plate and allow only the very tip of the pizza to peek out.

そんなに上等なものではありませんが両手を使ったり、紙皿を使って先だけちらっと覗かせることもできるでしょう。

There is one other trick, though, holding the crust, you can sort of fold the slice down the middle.

まだあるんですよ。生地を押さえて、真ん中に折り曲げることも出来ます。

Now the tip of the pizza isn't falling over, and you can eat it without getting tomato sauce all over yourself or accidentally biting off some of that paper plate.

ピザの先端は落ちずに、トマトソースをこぼしたり間違って紙の皿を噛んだりすることなく食べることができます。

But why should the tip stay up just because you bent the crust?

しかし、なぜ単に生地を折り曲げただけで、トッピングはおちないのでしょうか？

To understand this, you need to know two things:

理解するために、2つのことを知っておく必要があります。

A little bit about the math of curved shapes, and a little bit about the physics of thin sheets.

曲線に関するちょっとした数学と薄いシートの物理学についてです。

First, the math.

まずは数学から。

Suppose I have a flat sheet made out of rubber.

ゴムで出来た平らなシートを持っているとしましょう。

It's really thin and bendable, so it's easy to roll into a cylinder.

本当に薄くてよく折り曲がるので、筒状に丸めるのも簡単です。

I don't need to stretch the sheet at all; just bend it.

全く伸ばしたりする必要もなく、ただ折ります。

This property where one shape can be transformed into another without stretching or crumpling is called isometry.

このように伸ばしたりくしゃくしゃにしたりすることなく、たやすくある形から他の形に変形できる資質を等長写像といいます

A mathematician would say that a flat sheet is isometric to a cylinder.

数学者は平らな面は円柱の側面面積と同じだと述べます。

But not all shapes are isometric.

しかし、全てが等長写像というわけではありません。

If I try to turn my flat sheet into part of a sphere, there is no way I can do it.

もしも平らなシートを球の一部分にしたら、もうそれは無理です。

You can check this for yourself by trying to fit a flat sheet of paper onto a soccer ball without stretching or crumpling the paper.

平らな紙を伸ばしたりクシャクシャにせずにサッカーボールを包むことで、自分で確認することができます。

It's just not possible.

それは絶対不可能なのです。

So a mathematician would say that a flat sheet and a sphere aren't isometric.

ですから数学科は平らなシートと球は等長写像ではないと述べています。

There's one more familiar shape that isn't isometric to any of the shapes we have seen so far : a potato chip.

また他にもこれまで私達が見てきたものの中でどれにも等長写像ではない、私達がよく知っているものがあります。ポテチです。

Potato chip shapes aren't isometric to flat sheets.

ポテチは平らなシートに対しては等長写像ではないです。

If you want to get a flat piece of rubber into the shape of a potato chip, you need to stretch it, not just bend it, but stretch it as well.

もしもあなたがポテチの形状のものの中にゴムの平たいかけらを入れたければ、伸ばします。折り曲げるのではなく、伸ばすのです。

So, that's the math.

コレが数学の部分。

Not so hard, right?

そんなに難しくないですよね？

Now for the physics.

では、物理の話。

It can be summed up in one sentence : Thin sheets are easy to bend but hard to stretch.

一文にまとめられるでしょう。薄いシートは折り曲げやすいですが、伸ばしにくいのです。

This is really important.

これが本当に大事です。

Thin sheets are easy to bend but hard to stretch.

薄いシートは折り曲げやすいが、伸ばしにくい。

Remember when we rolled our flat sheet of rubber into a cylinder?

平らなシートを丸めて筒状にしたことを覚えていますか？

That wasn't hard, right?

難しくなかったですよね？

But imagine how hard you'd have pull on the sheet to increase its area by 10%.

ですが、面積を10％増やすために伸ばすのがどれほど大変だったかを想像してみてください。

It would be pretty difficult.

かなり大変なのです。

The point is that bending a thin sheet takes a relatively small amount of force, but stretching or crumpling a thin sheet is much harder.

ポイントは、薄いシートを折り曲げるのは比較的小さな力で済みますが、伸ばしたりくしゃくしゃにするのはかなり大変です。

Now, finally, we get to talk about pizza.

さて、ようやくピザの話です。

Suppose you go down to the pizzeria and buy yourself a slice.

ピッツェリアにいってスライスされたものを買うとしましょう。

You pick it up from the crust first, without doing the fold.

まず、耳の部分から持って、そのままにしておきます。

Because of gravity, the slice bends downwards.

重力のせいで、その一枚は下に垂れ下がってしまいます。

Pizza is pretty thin, after all, and we know that thin sheets are easy to bend.

結局ピザはかなり薄く、私達は薄いシートが簡単に折り曲がることを知っていますよね。

You can't get it in your mouth, cheese and tomato sauce are dripping everywhere... It's a big mess!

口に持って行けず、チーズやトマトソースは周りに溢れ、最悪です。

So you fold the crust.

そこで折り曲げるのです。

When you do that, you force the pizza into something like a taco shape.

そうすることで、ピザをタコスのような形にすることができます。

That's not hard to do.

それほど難しいことではありません。

After all, this shape is isometric to the original pizza, which was flat.

何しろ、これらの形は全て元々のピザとは等長写像で、平たいからです。

But imagine what would happen if the pizza were to droop down while you are bending it.

ですがピザがもし折り曲げている間に垂れ下がってきたらどうしましょう？

Now it looks like a droopy taco.

垂れたタコスみたいですね。

And what does a droopy taco look like?

垂れたタコスとはどのようなものでしょうか？

A potato chip!

ポテチです！

But we know that potato chips are not isometric to flat pieces of rubber, or flat pizzas, and that means that in order to get into the shape it's in now, the slice of pizza had to stretch.

しかし私達はポテチが平らのゴムのかけらやピザに対して等長写像では無いことを知っていますし、その形になるためにはスライスピザは伸びる必要があります。

Since the pizza is thin, this takes a lot of force, compared to the amount of force it takes to bend the pizza in the first place.

なぜならピザは薄く、そもそもピザを折り曲げるために必要な力と比べて多くの力を必要とするからです。

So, what's the conclusion?

結論は？

When you fold the pizza at the crust, you make it into a shape where a lot of force is needed to bend the tip down.

生地部分で折りたたむ時、先端を下方に折り曲げるために多くの力が必要となる形にします。

Often gravity isn't strong enough to provide this force.

しばしば重力はこの力を与えるのに十分ではありません。

That was kind of a lot of information, so let's do a quick backwards recap.

情報が多すぎるので、ちょっと後ろから総括してみましょう。

When the pizza is folded at the crust, gravity isn't strong enough to bend the tip.

もしもピザが生地部分で折りたたまれると、先端を折り曲げるのに重力は不十分です。

Why?

なぜ？

Because stretching a pizza is hard, and to bend the tip downwards, the pizza would have to stretch.

ピザを伸ばすことは大変で、先端を下方に折り曲げるにはピザは伸びる必要があるからです。

Why?

なぜ？

Because the shape that the pizza would be in, the droopy taco shape, isn't isometric to the original flat pizza.

なぜならピザがなるであろう垂れたタコスの形は元の平らなピザとは等長写像ではないからです。

Why?

なぜ？

Because of math.

数学が理由です。

As the pizza example shows, we can learn a lot by looking at the mathematical properties of different shapes.

ピザの例が示すように、私達は様々な形の数学的な性質を見てみることで多くのことを学ぶことが出来ます。

And it's especially nice when those shapes happen to be pizza slices.

これらの形がピザのスライスに現れると特に良いです。