Please excuse me for sitting; I'm very old.

どうもありがとう

(Laughter)

座らせてください 高齢なのでね

Well, the topic I'm going to discuss

（笑）

is one which is, in a certain sense, very peculiar

これから話す話題は

because it's very old.

ある意味でちょっと珍しいことです

Roughness is part of human life

とても古いのでね

forever and forever,

荒さは 人間の活動の一部です

and ancient authors have written about it.

これからもずっと

It was very much uncontrollable,

古代の学者がそのことについて書いています

and in a certain sense,

荒さはまったく制御できないものだと

it seemed to be the extreme of complexity,

ある意味では

just a mess, a mess and a mess.

荒さは非常に複雑なように見えます

There are many different kinds of mess.

単にぐちゃぐちゃで きたなくて散らかっているように

Now, in fact,

いろいろな種類の乱雑な状態があります

by a complete fluke,

実は

I got involved many years ago

完全な偶然によって

in a study of this form of complexity,

何年も前に私は

and to my utter amazement,

この複雑さの世界に飛び込みました

I found traces --

とても驚いたことに

very strong traces, I must say --

私は手がかりを見つけたのです

of order in that roughness.

とても確かな手がかり

And so today, I would like to present to you

荒さの秩序と言うほかにありません

a few examples

今日は お見せしたいと思います

of what this represents.

このことが何を示しているか

I prefer the word roughness

いくつかの例を

to the word irregularity

私は荒さという言葉が好きです

because irregularity --

不規則さという言葉よりも

to someone who had Latin

なぜなら不規則さは

in my long-past youth --

若かったころの私のように

means the contrary of regularity.

ラテン語を勉強したことのある人にとって

But it is not so.

規則正しいことの反対の意味を持っています

Regularity is the contrary of roughness

でもそうではありません

because the basic aspect of the world

規則正しさは荒さの反対語です

is very rough.

なぜなら世界の基本となっていることは

So let me show you a few objects.

とても荒いからです

Some of them are artificial.

では いくつか絵をお見せしましょう

Others of them are very real, in a certain sense.

これらのうち いくつかは人工的に作られています

Now this is the real. It's a cauliflower.

他のものはある意味で とても現実的です

Now why do I show a cauliflower,

これは本物です 野菜のカリフラワー

a very ordinary and ancient vegetable?

では なぜ一般的で古くからある野菜

Because old and ancient as it may be,

このカリフラワーを見せたのか

it's very complicated and it's very simple,

その理由は 古いかもしれませんが

both at the same time.

この野菜はとても複雑で とても単純だからです

If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,

両方とも

and when you eat it, the weight matters --

カリフラワーの重さを計るとき もちろんとても簡単に計れます

but suppose you try to

また食べるときには 重さは重要ですね

measure its surface.

では このようなことを考えてみてください

Well, it's very interesting.

その表面を測ろうとしましょう

If you cut, with a sharp knife,

とてもおもしろいですよ

one of the florets of a cauliflower

よく研いだナイフで

and look at it separately,

カリフラワーのつぼみを

you think of a whole cauliflower, but smaller.

切り落としてみると

And then you cut again,

それは 小さいカリフラワーに見えますね

again, again, again, again, again, again, again, again,

さらに切っていきます

and you still get small cauliflowers.

また切って 切って 切って どんどん切りましょう

So the experience of humanity

でもそこには また小さいカリフラワーがあります

has always been that there are some shapes

人間の経験では

which have this peculiar property,

こういう珍しい特徴を持つ形は

that each part is like the whole,

いつも存在しています

but smaller.

それぞれの部分は 全体の形と似ていますが

Now, what did humanity do with that?

もっと小さいもの

Very, very little.

では 人間はこの特徴に関して何をしたでしょうか

(Laughter)

本当に少しのことだけです

So what I did actually is to

（笑）

study this problem,

私が実際にやったことは

and I found something quite surprising.

この問題を研究すること

That one can measure roughness

そして大変驚くべきいくつかの発見をしました

by a number, a number,

私たちは 荒さを測ることができます

2.3, 1.2 and sometimes much more.

数によって

One day, a friend of mine,

2.3 1.2 時々もっと大きい数字になります

to bug me,

あるとき 私の友人のひとりが

brought a picture and said,

私を困らせるために

"What is the roughness of this curve?"

ある絵を持ってきて このように言いました

I said, "Well, just short of 1.5."

『この曲線の荒さはいくつだい』

It was 1.48.

『そうだね 1.5よりちょっと小さいくらいかな』と答えました

Now, it didn't take me any time.

それは1.48でした

I've been looking at these things for so long.

いくらも時間はかかりません

So these numbers are the numbers

このようなことを研究してきましたのでね

which denote the roughness of these surfaces.

これらの数字は

I hasten to say that these surfaces

このような表面の荒さを示す数値です

are completely artificial.

これらの表面は 完全に

They were done on a computer,

人工的だということを言わねばなりません

and the only input is a number,

これらはコンピューターによってつくられました

and that number is roughness.

入力したものは 数字だけです

So on the left,

そしてこの数字こそが荒さなのです

I took the roughness copied from many landscapes.

左の写真には

To the right, I took a higher roughness.

たくさんの風景写真から得た荒さを使いました

So the eye, after a while,

右の写真には もっと高い荒さを使いました

can distinguish these two very well.

しばらくすると 目は

Humanity had to learn about measuring roughness.

この2つをとてもよく見分けることが できるようになります

This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.

人は荒さを測ることを学ばなければならなかったのです

Very few things are very smooth.

これはとても荒い これはなめらか これは完全になめらか というように

So then if you try to ask questions:

わずかなものだけが 本当になめらかです

"What's the surface of a cauliflower?"

それでは 質問をしてみましょう

Well, you measure and measure and measure.

カリフラワーの表面積は何ですか

Each time you're closer, it gets bigger,

何度も何度も何度も 計測するでしょう

down to very, very small distances.

より精密に行うと 答えは毎回より大きくなります

What's the length of the coastline

とっても小さい間隔で測ったらね

of these lakes?

では この湖の海岸線の長さは

The closer you measure, the longer it is.

いくつですか

The concept of length of coastline,

より精密に計測すると それは長くなってしまいます

which seems to be so natural

海岸線の長さの定義は

because it's given in many cases,

それがとても自然なように見えるのは

is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.

たくさんの事例があるからであって

You must do it differently.

実は 完全に間違った考えなのです そのようなものは無いのです

What good is that, to know these things?

違う方法で計測しなければならないのです

Well, surprisingly enough,

このようなことを知って どうしますか

it's good in many ways.

とても驚くことに

To begin with, artificial landscapes,

たくさんのことができるのです

which I invented sort of,

まず初めに 人工的な風景は

are used in cinema all the time.

いくらか私が生み出したものですが

We see mountains in the distance.

映画の中でずっと使われています

They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.

遠くに山が見えますね

Now it's very easy to do.

山かもしれませんが たくさんの方程式かもしれません

It used to be very time-consuming, but now it's nothing.

簡単にできます

Now look at that. That's a real lung.

以前は時間を食ったものですが いまはどうってことありません

Now a lung is something very strange.

それではこれを見てみましょう 本物の肺です

If you take this thing,

肺はとても奇妙な器官です

you know very well it weighs very little.

肺はとても軽いと

The volume of a lung is very small,

私たちがよく分かっています

but what about the area of the lung?

肺の体積はとても小さいのです

Anatomists were arguing very much about that.

では 肺の表面積はどうでしょうか

Some say that a normal male's lung

解剖学者はこのことをいつも議論しています

has an area of the inside

通常の男性の肺は バスケットボールのコートと

of a basketball [court].

同程度の面積を持っている

And the others say, no, five basketball [courts].

と言う人はいますが

Enormous disagreements.

『いや バスケットボールコート5つ分』だと言う人もいます

Why so? Because, in fact, the area of the lung

たいへんな違いですね

is something very ill-defined.

どうしてそうなるのでしょう　なぜなら 肺の表面積は

The bronchi branch, branch, branch

はっきりと定義されていないからなのです

and they stop branching,

枝状に分かれた気管支が さらに分かれ また分かれています

not because of any matter of principle,

分岐が終わるということは

but because of physical considerations:

何かの法則によるのではなく

the mucus, which is in the lung.

物理的な理由 つまり

So what happens is that in a way

肺の中にある粘液がそれを決めるのです

you have a much bigger lung,

何が起こっているかというと

but it branches and branches

人間は十分に大きい肺を持っているということです

down to distances about the same for a whale, for a man

もしも肺が細かく枝分かれしていたら

and for a little rodent.

クジラの肺も人間の肺も 加えて小さいネズミも

Now, what good is it to have that?

同じ長さをを持つことになります

Well, surprisingly enough, amazingly enough,

そのような肺を持つことで 何が優れているのでしょう

the anatomists had a very poor idea

驚くことに 非常に驚いたことに

of the structure of the lung until very recently.

解剖学者はほんの最近まで 肺の構造について

And I think that my mathematics,

つたない考えしか 持っていなかったのです

surprisingly enough,

私の数学的な方法は

has been of great help

驚いたことに

to the surgeons

とても大きな役割を果たしました

studying lung illnesses

外科医は

and also kidney illnesses,

肺の疾患や

all these branching systems,

腎臓疾患を研究していますが

for which there was no geometry.

このような枝分かれの形状をしているために

So I found myself, in other words,

構造的に理解できないからです

constructing a geometry,

言い換えると

a geometry of things which had no geometry.

幾何学を作り出した つまり

And a surprising aspect of it

幾何構造を持たない対象のための 幾何学を発明したのです

is that very often, the rules of this geometry

その驚くべき一面は

are extremely short.

この幾何学の法則は

You have formulas that long.

とても短いことです

And you crank it several times.

あなたがたは長い式があるとき

Sometimes repeatedly: again, again, again,

何度も展開してみるでしょう

the same repetition.

ときには何度も何度も繰り返して

And at the end, you get things like that.

同じ繰り返しをね

This cloud is completely,

最終的にこのようなものを得るでしょう

100 percent artificial.

この雲は完全に

Well, 99.9.

100%人工的に作られました

And the only part which is natural

99.9%かな

is a number, the roughness of the cloud,

この中でたった一つ自然なことは

which is taken from nature.

雲の荒さを表す数字です

Something so complicated like a cloud,

自然界からもらった数字です

so unstable, so varying,

雲のような複雑なものは

should have a simple rule behind it.

安定していなくて 変わりやすいですが

Now this simple rule

その裏側には単純な規則を持っているのです

is not an explanation of clouds.

この単純な規則は

The seer of clouds had to

雲を説明するためではありません

take account of it.

天気予報士は

I don't know how much advanced

その規則に注意しなければなりません

these pictures are. They're old.

これらの絵がどれだけ進歩したのかわかりませんが

I was very much involved in it,

古いものなのです

but then turned my attention to other phenomena.

私はこのことにとても深く携わっていましたが

Now, here is another thing

他の現象にも注目するようになりました

which is rather interesting.

さて これは

One of the shattering events

さらに面白いことです

in the history of mathematics,

数学を破壊したある事件は

which is not appreciated by many people,

数学の歴史の中で

occurred about 130 years ago,

多くの人には歓迎されませんでしたが

145 years ago.

およそ130年前か

Mathematicians began to create

145年前に起こりました

shapes that didn't exist.

数学者たちが

Mathematicians got into self-praise

自然に存在し得ない形を 創造し始めたのです

to an extent which was absolutely amazing,

数学者は自画自賛しはじめました

that man can invent things

ある程度はすごいことだったのです

that nature did not know.

人間が生み出すことができるということが

In particular, it could invent

自然さえ知らないことをね

things like a curve which fills the plane.

とくに このようなものをつくり出しました

A curve's a curve, a plane's a plane,

平面を埋め尽くす曲線です

and the two won't mix.

曲線は曲線 平面は平面

Well, they do mix.

この2つは決して混じり合いません

A man named Peano

彼らはそれを組み合わせたのです

did define such curves,

ジュゼッペ・ペアノという人物が

and it became an object of extraordinary interest.

このような曲線を定義しました

It was very important, but mostly interesting

そして非常に興味深い図形となったのです

because a kind of break,

それはとても重要で 面白いのは

a separation between

数学の境界だったからです

the mathematics coming from reality, on the one hand,

それは

and new mathematics coming from pure man's mind.

現実から生み出したきた今までの数学と

Well, I was very sorry to point out

純粋に人間の思考が生み出した 新しい数学との

that the pure man's mind

このことを指摘することが残念なのですが

has, in fact,

純粋な人間の思考は

seen at long last

実は

what had been seen for a long time.

結局のところ

And so here I introduce something,

長い間 見たことのあるものに基づいているのです

the set of rivers of a plane-filling curve.

そしてこれは私が導入したもので

And well,

平面充填曲線（ペアノ曲線）の流れの集合です

it's a story unto itself.

これも

So it was in 1875 to 1925,

それ自体に同じ説明が成り立ちます

an extraordinary period

1875年から1925年は

in which mathematics prepared itself to break out from the world.

とても驚くべき時代でした

And the objects which were used

世界中から突然に 数学が数学自体を作り始めたのです

as examples, when I was

そして 例えば

a child and a student, as examples

私がまだ

of the break between mathematics

子どもで学生だったとき

and visible reality --

数学と 現実世界との間には

those objects,

このような研究対象が

I turned them completely around.

ありました

I used them for describing

私はこれらの周りを徹底的に研究したのです

some of the aspects of the complexity of nature.

私はこれを説明するために

Well, a man named Hausdorff in 1919

まったくもって複雑な自然の原理を用いました

introduced a number which was just a mathematical joke,

1919年にフェリックス・ハウスドルフという人物が

and I found that this number

単なる数学的な冗談としてある数字を 導入しました

was a good measurement of roughness.

そして私はこの数字が

When I first told it to my friends in mathematics

荒さを良く表すものだと発見したのです

they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."

数学者の友人らにそのことを話したとき

Well actually, I was not silly.

『ばかなことを言うな。ただの数字だろう』と言われました

The great painter Hokusai knew it very well.

実際 私はばかげてなどいませんでした

The things on the ground are algae.

画家の北斎はそのことをとても良く知っていました

He did not know the mathematics; it didn't yet exist.

地面にあるのは藻です

And he was Japanese who had no contact with the West.

彼は数学は知らなかったでしょう　存在さえしていませんでした

But painting for a long time had a fractal side.

それに彼は日本人で 西洋とのつながりは持っていませんでした

I could speak of that for a long time.

しかし 浮世絵は長いことフラクタルと 同じ性質を持っていました

The Eiffel Tower has a fractal aspect.

私はそのことをいくらでも話すことができます

I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,

エッフェル塔もフラクタルの性質を持っています

and indeed it was astonishing how much he understood.

エッフェル塔についての ギュスターブ・エッフェルの本を読んだことがありますが

This is a mess, mess, mess, Brownian loop.

彼がとても良く理解していたことに 本当に驚きました

One day I decided --

これはとてもぐちゃぐちゃな ブラウン運動がつくる軌跡です

halfway through my career,

あるとき

I was held by so many things in my work --

私の学者としての半ばで

I decided to test myself.

たくさんの仕事を持ちすぎていたので

Could I just look at something

私自身を試してみることにしました

which everybody had been looking at for a long time

私はただ見ることができるだろうか

and find something dramatically new?

だれもが長いあいだ見ているものを

Well, so I looked at these

そして飛躍的に 新しいことを見つけることができるだろうかと

things called Brownian motion -- just goes around.

そして私はこれらを見ていたのです

I played with it for a while,

ブラウン運動と呼ばれる軌跡　単にさまよっているようです

and I made it return to the origin.

しばらくの間 それにいたずらをしてみて

Then I was telling my assistant,

元に戻したのです

"I don't see anything. Can you paint it?"

そして助手に言いました

So he painted it, which means

『私は何も見えない　君 描けるかい』

he put inside everything. He said:

彼はそれを描きました　つまり

"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!

すべて塗りつぶしたのです　彼はこう言いました

I see; it's an island."

『ええと こういう結果になりました』　そのとき私はこう言いました『ちょっと待った

And amazing.

私には島が見える』

So Brownian motion, which happens to have

驚きました