with a mathematician named Georg Cantor.

西暦1877年のドイツのことです

And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line,

ゲオルク・カントールという数学者がいました

and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process.

カントールは直線の中央部 ３分の１を取り除き

So he starts out with one line, and then two,

残った両端の２本の線で同じ事をするという 再帰的な作業を繰り返しました

and then four, and then 16, and so on.

つまり 繰り返すごとに 元となる線の数が

And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics,

1本から 2本､4本､16本に増えるわけです

he ends up with an infinite number of lines,

これを無限の回数繰り返すと-- 数学上では可能ですから

each of which has an infinite number of points in it.

結果は無限の本数の線となります

So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity.

それぞれの線には無限の数の点がありますから

And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter)

彼は要素の数が無限より大きい集合を 得たことに気がつきました

And when he came out of the sanitarium,

これに大変なショックを受け 彼は精神病院に入院してしまいました

he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory

病院から退院すると

because the largest set of infinity would be God Himself.

自分の天命は超限集合論を 打ち立てることだと確信するようになりました

He was a very religious man.

彼にとって最大の無限集合は神そのもので

He was a mathematician on a mission.

とても信仰深い彼は

And other mathematicians did the same sort of thing.

これを人生の使命としたのです

A Swedish mathematician, von Koch,

他の数学者も似たような研究をしました

decided that instead of subtracting lines, he would add them.

スウェーデンのフォン・コッホは

And so he came up with this beautiful curve.

線分を取り除く代わりに 付け足すことを考えました

And there's no particular reason why we have to start with this seed shape;

そして こんな美しい曲線をつくりました

we can use any seed shape we like.

この形をベースにする必用はありません

And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK --

どんな形をベースにしてもよいわけです

and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure.

ここをちょっと変えて こちらは下の方へ引っ張ります

So these all have the property of self-similarity:

このベースの形で操作を繰り返すと 結果はとても違う構造になります

the part looks like the whole.

これらは全て自己相似性があります

It's the same pattern at many different scales.

どの部分をとっても全体に似ています

Now, mathematicians thought this was very strange

様々なスケールで 同じパターンが存在します

because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length.

当時の数学者が困惑したのは

And since they went through the iterations an infinite number of times,

使う定規が短くなるにつれて 測った長さが長くなるということです

as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity.

無限に操作を繰り返して作った曲線を

This made no sense at all,

無限に短い定規で測ると 長さは無限に長くなります

so they consigned these curves to the back of the math books.

わけが解りません

They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them.

そこで彼らはこの曲線を 数学の教科書の後ろの方に追いやって

(Laughter)

これは病的な曲線だから 説明は不要ということにしました

And that worked for a hundred years.

（笑）

And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician,

そのまま百年経ちました

realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals,

そして1977年に フランスの数学者 ブノワ・マンデルブロが

you get the shapes of nature.

この形をフラクタルと名づけ コンピューターグラフィックスに使うと

You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns,

自然の形を表現できる事に気付きました

you get these beautiful natural forms.

人間の肺 アカシアの木 シダの葉っぱ等

If you take your thumb and your index finger and look right where they meet --

美しい自然の形を描けるのです

go ahead and do that now --

親指と人差し指の付け根の つながっている所を

-- and relax your hand, you'll see a crinkle,

ちょっとみて下さい

and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right?

手をリラックスさせるとしわが見えます

Your body is covered with fractals.

しわの中にシワがあり シワの中にまたしわがあります

The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes?

私たちの身体はフラクタルで覆われています

They were breathing those words with fractal lungs.

こんなのは病的だと言っていた数学者は

It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here.

フラクタルの肺を使ってそう言ったのです

Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape.

皮肉なことです　 ここで 自然の再帰的操作をお見せします

So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.

ここにある直線を 全体の形に置き換えるということを繰り返します

So nature has this self-similar structure.

２回､３回､４回 …それを繰り返していくと こうなります　自然を見ると

Nature uses self-organizing systems.

これに似た自己相似形が多数あります

Now in the 1980s, I happened to notice

自己組織化するシステムを使っているのです

that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals.

1980年代のことです アフリカの村の航空写真を見て

And I thought, "This is fabulous! I wonder why?"

フラクタルがあることに気づきました

And of course I had to go to Africa and ask folks why.

「これはすごい でもなぜだろう」 そう思った私は どうしてもアフリカまで行って

So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year

人々にわけを尋ねたくなりました

asking people why they were building fractals,

フルブライトの奨学金を頂いて １年アフリカを訪ね

which is a great job if you can get it.

フラクタル建築の理由を尋ねて廻りました

(Laughter)

こんな良い仕事は滅多にありません

And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city

（笑）

just to see how it would sort of unfold --

この街にたどり着き この街の簡単なフラクタルのモデル化は

but when I got there, I got to the palace of the chief,

既にやってみたのですが

and my French is not very good; I said something like,

実際 街に行って その部族長の城に行き

"I am a mathematician and I would like to stand on your roof."

つたないフランス語で こんな感じに頼みました

But he was really cool about it, and he took me up there,

「私は数学者-- あなたの屋根の上に立ちたい」

and we talked about fractals.

彼は嫌な顔もせず 屋根の上に案内してくれ そこでフラクタルについて語り合いました

And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle,

彼は嫌な顔もせず 屋根の上に案内してくれ そこでフラクタルについて語り合いました

we know all about that."

彼は「そうそう 四角の中の四角のことだね

And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle,

皆良く知っているよ」と言いました

and the path through that palace is actually this spiral here.

驚いたことに王家の紋章に 四角の中の四角の中の四角が使われていることがわかりました

And as you go through the path, you have to get more and more polite.

城の中の道もこの渦巻きです

So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling;

道を進むにつれ礼儀正しく振舞わなくてはなりません

it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.

社会関係の変化を 幾何的な変化に対応させているのです

This is a village in southern Zambia.

これは意図的なパターンです 同じフラクタルでも シロアリの塚の様な無意識なものとは違います

The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter.

これはザンビア南部にある村です

You have a huge ring.

バイラが建てた この村の直径は約400mでした

The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back,

大きな輪の形です

and then you have the chief's ring here towards the back

家族の住む輪が後ろに行くほど大きくなり

and then the chief's immediate family in that ring.

村長の輪がこの後ろの方にあります

So here's a little fractal model for it.

その輪の中に村長の直系の家族がいます

Here's one house with the sacred altar,

これをフラクタル的に見ると

here's the house of houses, the family enclosure,

これが一軒の家 中に聖壇があります

with the humans here where the sacred altar would be,

これは何軒かが集った家 家族の輪の集まりです

and then here's the village as a whole --

聖壇があるはずの所に人間がいます

a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here,

そしてこれが村全体

and here there's a tiny village only this big.

輪の輪の輪です 村長の遠い親戚がここ 直系の家族はここ

Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big?

そして ここに こんな小さい村があります

That's because they're spirit people. It's the ancestors.

こんな小さな村に人が住めるはずがないのですが

And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right?

住人は霊なので問題ありません　 祖先の方々です

So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.

もちろん霊が住んでいるこの村にも さらに小さい ミニチュアの村があるはずです

This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek.

ゲオルク・カントールの言った様に 再帰のプロセスは永遠に続くのです

I saw this diagram drawn by a French architect,

こちらは ナイジェリアとカメルーンの国境近くの マンダラ山地のモコーレックです

and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!"

フランス人の建築家が描いた図をみて

So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing.

なんて素晴らしいフラクタルかと思いました

I came up with this structure here.

そこで操作を繰り返すとこの構造になる ベースとなる形をさがしました

Let's see, first iteration, second, third, fourth.

これがその構造です

Now, after I did the simulation,

１回 ２回 ３回 ４回と 操作を繰り返して見て見ましょう

I realized the whole village kind of spirals around, just like this,

シミュレーションの結果

and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal.

村全体がこのように 渦巻状になっていることに気がつきました

Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at.

これが複製される線 自己複製しながらフラクタルになる線です

So, when I got to the village,

この線は偶然にも 村の唯一の四角い建物と 同じ位置にあります

I said, "Can you take me to the square building?

そこで村に着いたとき

I think something's going on there."

「あの四角い建物に案内してくれませんか

And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside

何かがある気がします」と尋ねると

because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year

「案内しますが 中には入れませんよ

to keep up those annual cycles of fertility for the fields."

神聖な場所で 毎年生贄を捧げる所なのです

And I started to realize that the cycles of fertility

畑の肥沃のサイクルを保つために」と 答えが返ってきました

were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this.

考えてみると 肥沃のサイクルというのは

And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.

この場所を築いた幾何的なアルゴリズムの 再帰的なサイクルと同様です

So here's a Nankani village in Mali.

再帰的なパターンは これらの村の微々たる所にも見られます

And you can see, you go inside the family enclosure --

これはマリのナンカニの村です

you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively.

家族の家にはいると

Here's calabashes that Issa was just showing us,

暖炉に鍋が再帰的に積み上げられています

and they're stacked recursively.

イッサが見せてくれたカラバッシュです

Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul.

これも再帰的に積み上げられています

And when she dies, they have a ceremony

一番小さなカラバッシュに女性の魂が入っているそうで

where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity.

彼女が死ぬと 特別な儀式で

Once again, infinity is important.

ザランガと呼ばれるこの山を崩して 彼女の魂は永遠の世界に行くのだそうです

Now, you might ask yourself three questions at this point.

ここでも 無限というのは大切です

Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture?

ここで３つの疑問が浮かびます

And that was actually my original hypothesis.

このような相似的なパターンは 先住民の建築物に共通なのではないか？

When I first saw those African fractals,

もちろん 私もそう仮定しました

I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society,

初めてアフリカのフラクタルを見たとき

that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture."

「階級組織的な社会ではない先住民のグループは

But that turns out not to be true.

皆どれもボトムアップの建築をするのではないか」と

I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture;

しかしそれは間違いでした

only the African ones were fractal.

アメリカ先住民や南太平洋の建築物の 航空写真を何枚も見ましたが

And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use.

フラクタルなのは アフリカの建築のみでした

So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry.

それぞれの社会には特有の 幾何学的なデザインがあるものです

You can see on the pottery and the baskets.

アメリカ先住民は 円や90度回転対称形を使います

Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins;

焼き物やバスケットを見るとわかります

you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right?

これはアナサジ族の廃墟の航空写真です

It is not the same pattern at two different scales.

一番大きな構造は円形で 小さな部分は四角です

Second, you might ask,

大きさが違うところでは 形が違っています

"Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?"

２番目の疑問は

And three times, the answer is no.

「エグラッシュ博士、アフリカの文化の多様性を 無視していませんか?」というものです

First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa,"

違うと言える理由が３つあります

that Africa is an artificial invention of first colonialism,

１つ目に ムディンベの素晴らしい本 『アフリカの発明』に書かれてあるように

and then oppositional movements.

アフリカは まず植民地として そして後に 反対勢力によって

No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture --

人工的に作られたと考えています

and it definitely is not "in the DNA."

２つ目に デザインの手法が共通でも 文化が同じということではありません

And finally, the fractals have self-similarity --

もちろん遺伝的なものでもありません

so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other --

３つ目に フラクタルは自己相似的ですから

you see very different uses for fractals.

それ自身に似ていても 他のものと似ているわけではありません

It's a shared technology in Africa.

場所によって 使われ方が大きく違い

And finally, well, isn't this just intuition?

単にアフリカで共通の技術なのです

It's not really mathematical knowledge.

最後の疑問は ここで見るフラクタルは 数学的な知識ではなく

Africans can't possibly really be using fractal geometry, right?

単なる本能的な行為の結果ではないかということです

It wasn't invented until the 1970s.

アフリカの人々がフラクタルを使っているはずがありません

Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition.

1970年代まで発明されなかったものです

So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar

アフリカのフラクタルには確かに本能的なものもあります

asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?"

ダカーという街でこの様なものを見つけ 人々に尋ねました

and they'd say,

「どんなアルゴリズムや決まりを使って これを作っているのですか？」

"Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter)

答えは

But sometimes, that's not the case.

「良く見えるように 作っているだけだよ あたりまえだろ」（笑）

In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms.

でも全部がそうではないのです

So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry.

幾つかには確かにアルゴリズムがあり それもとても洗練されたものです

In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.

このマンベトゥの彫刻には再帰的なな幾何がみられます

In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand,

エチオピアの十字架にも素晴らしい形が見られます

and it's what the German mathematician Euler called a graph;

アンゴラではチョクウェの人々が砂に線を描きます

we now call it an Eulerian path --

ドイツの数学者オイラーがグラフと読んだものです

you can never lift your stylus from the surface

現在のオイラー路です

and you can never go over the same line twice.

ペンを紙から一度も離さずに

But they do it recursively, and they do it with an age-grade system,

同じ線の上を２回通ってはいけません

so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one,

彼らは年齢のレベルによってこれを再帰的に教えます

then the next age-grade initiation, you learn this one.

小さな子供はこれを習い 大きくなると次のもの

And with each iteration of that algorithm,

もっと歳が上になると これを習います

you learn the iterations of the myth.

アルゴリズムを繰り返しながら

You learn the next level of knowledge.

神秘の反復を習います

And finally, all over Africa, you see this board game.

次のレベルの知識を手に入れるのです

It's called Owari in Ghana, where I studied it;

そして最後にアフリカどこにいっても

it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere.

このゲームを見かけます ガーナではオワリと呼ばれ

Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game.

ここではマンカラ ケニアではバオ その他の場所ではソゴと呼ばれています

And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns

遊んでみると突然 自己形成的なパターンが現れます

and would use them strategically.

ガーナの人々は この自己形成的なパターンをわかっていて

So this is very conscious knowledge.

戦略として使います

Here's a wonderful fractal.

つまり これは意識的にある知識です

Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen.

これは素晴らしいフラクタルです

And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear.

サヘルでは街のいたるところで このような風除けの垣根を見かけます

But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences.

垣根は世界のどこでも直交的 直線的です

So I tracked down one of the folks who makes these things,

でもここアフリカでは この様な 非線形にスケールの変化する垣根があります

this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him,

これを作る人を

"How come you're making fractal fences? Because nobody else is."

マリのバマコの近辺にみつけ 「なぜ ここではフラクタルの垣根をつくるのか

And his answer was very interesting.

他のところでは見かけない」と尋ねました

He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw

彼の答えはとても興味深いものでした

because they're very quick and they're very cheap.

「ジャングルに住んでいるのなら まっすぐにわらを並べて作るよ

It doesn't take much time, doesn't take much straw."

その方が簡単で安く出来る

He said, "but wind and dust goes through pretty easily.

時間がかからないし わらも少しで済む」

Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust.

「でも風や砂が簡単に通り抜けてしまう

But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight."

この上部の目の詰んだ部分は 風や砂をうまくブロックする

"Now," he said, "we know from experience

でも とても詰まっているので 手間がかかるし わらも沢山必用だ 」

that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows."

「でも 経験から

Right? It's just like a cost-benefit analysis.

地面から上に行くにつれ 風が強くなるのを知っている」

And I measured out the lengths of straw,

まるで費用便益分析のようです

put it on a log-log plot, got the scaling exponent,

わらの長さを計って 両対数グラフに描き

and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height

スケーリング指数を求めると

in the wind engineering handbook.

風工学の本にある 風の速度と高さの関係を示す スケーリング指数とほぼ同じになります

So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.

風工学の本にある 風の速度と高さの関係を示す スケーリング指数とほぼ同じになります

The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found

つまり この人々のスケーリング技術の実用化は まさにぴったりといえます

was actually not in geometry, it was in a symbolic code,

最も複雑なフラクタルの アルゴリズムの使用例は 幾何ではなく

and this was Bamana sand divination.

シンボリック・コードに見つかりました

And the same divination system is found all over Africa.

これはバマナの砂占いです

You can find it on the East Coast as well as the West Coast,

同じ占いシステムがアフリカ全体でみつかります

and often the symbols are very well preserved,

西海岸でも 東海岸でも みつかり とてもよく保存されている

so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word --