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  • I want to start my story in Germany, in 1877,

    翻訳: Akiko Hicks 校正: Hitoshi Yamauchi

  • with a mathematician named Georg Cantor.

    西暦1877年のドイツのことです

  • And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line,

    ゲオルク・カントールという数学者がいました

  • and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process.

    カントールは直線の中央部 3分の1を取り除き

  • So he starts out with one line, and then two,

    残った両端の2本の線で同じ事をするという 再帰的な作業を繰り返しました

  • and then four, and then 16, and so on.

    つまり 繰り返すごとに 元となる線の数が

  • And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics,

    1本から 2本、4本、16本に増えるわけです

  • he ends up with an infinite number of lines,

    これを無限の回数繰り返すと-- 数学上では可能ですから

  • each of which has an infinite number of points in it.

    結果は無限の本数の線となります

  • So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity.

    それぞれの線には無限の数の点がありますから

  • And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter)

    彼は要素の数が無限より大きい集合を 得たことに気がつきました

  • And when he came out of the sanitarium,

    これに大変なショックを受け 彼は精神病院に入院してしまいました

  • he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory

    病院から退院すると

  • because the largest set of infinity would be God Himself.

    自分の天命は超限集合論を 打ち立てることだと確信するようになりました

  • He was a very religious man.

    彼にとって最大の無限集合は神そのもので

  • He was a mathematician on a mission.

    とても信仰深い彼は

  • And other mathematicians did the same sort of thing.

    これを人生の使命としたのです

  • A Swedish mathematician, von Koch,

    他の数学者も似たような研究をしました

  • decided that instead of subtracting lines, he would add them.

    スウェーデンのフォン・コッホは

  • And so he came up with this beautiful curve.

    線分を取り除く代わりに 付け足すことを考えました

  • And there's no particular reason why we have to start with this seed shape;

    そして こんな美しい曲線をつくりました

  • we can use any seed shape we like.

    この形をベースにする必用はありません

  • And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK --

    どんな形をベースにしてもよいわけです

  • and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure.

    ここをちょっと変えて こちらは下の方へ引っ張ります

  • So these all have the property of self-similarity:

    このベースの形で操作を繰り返すと 結果はとても違う構造になります

  • the part looks like the whole.

    これらは全て自己相似性があります

  • It's the same pattern at many different scales.

    どの部分をとっても全体に似ています

  • Now, mathematicians thought this was very strange

    様々なスケールで 同じパターンが存在します

  • because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length.

    当時の数学者が困惑したのは

  • And since they went through the iterations an infinite number of times,

    使う定規が短くなるにつれて 測った長さが長くなるということです

  • as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity.

    無限に操作を繰り返して作った曲線を

  • This made no sense at all,

    無限に短い定規で測ると 長さは無限に長くなります

  • so they consigned these curves to the back of the math books.

    わけが解りません

  • They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them.

    そこで彼らはこの曲線を 数学の教科書の後ろの方に追いやって

  • (Laughter)

    これは病的な曲線だから 説明は不要ということにしました

  • And that worked for a hundred years.

    (笑)

  • And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician,

    そのまま百年経ちました

  • realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals,

    そして1977年に フランスの数学者 ブノワ・マンデルブロが

  • you get the shapes of nature.

    この形をフラクタルと名づけ コンピューターグラフィックスに使うと

  • You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns,

    自然の形を表現できる事に気付きました

  • you get these beautiful natural forms.

    人間の肺 アカシアの木 シダの葉っぱ等

  • If you take your thumb and your index finger and look right where they meet --

    美しい自然の形を描けるのです

  • go ahead and do that now --

    親指と人差し指の付け根の つながっている所を

  • -- and relax your hand, you'll see a crinkle,

    ちょっとみて下さい

  • and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right?

    手をリラックスさせるとしわが見えます

  • Your body is covered with fractals.

    しわの中にシワがあり シワの中にまたしわがあります

  • The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes?

    私たちの身体はフラクタルで覆われています

  • They were breathing those words with fractal lungs.

    こんなのは病的だと言っていた数学者は

  • It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here.

    フラクタルの肺を使ってそう言ったのです

  • Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape.

    皮肉なことです  ここで 自然の再帰的操作をお見せします

  • So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.

    ここにある直線を 全体の形に置き換えるということを繰り返します

  • So nature has this self-similar structure.

    2回、3回、4回 …それを繰り返していくと こうなります 自然を見ると

  • Nature uses self-organizing systems.

    これに似た自己相似形が多数あります

  • Now in the 1980s, I happened to notice

    自己組織化するシステムを使っているのです

  • that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals.

    1980年代のことです アフリカの村の航空写真を見て

  • And I thought, "This is fabulous! I wonder why?"

    フラクタルがあることに気づきました

  • And of course I had to go to Africa and ask folks why.

    「これはすごい でもなぜだろう」 そう思った私は どうしてもアフリカまで行って

  • So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year

    人々にわけを尋ねたくなりました

  • asking people why they were building fractals,

    フルブライトの奨学金を頂いて 1年アフリカを訪ね

  • which is a great job if you can get it.

    フラクタル建築の理由を尋ねて廻りました

  • (Laughter)

    こんな良い仕事は滅多にありません

  • And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city

    (笑)

  • just to see how it would sort of unfold --

    この街にたどり着き この街の簡単なフラクタルのモデル化は

  • but when I got there, I got to the palace of the chief,

    既にやってみたのですが

  • and my French is not very good; I said something like,

    実際 街に行って その部族長の城に行き

  • "I am a mathematician and I would like to stand on your roof."

    つたないフランス語で こんな感じに頼みました

  • But he was really cool about it, and he took me up there,

    「私は数学者-- あなたの屋根の上に立ちたい」

  • and we talked about fractals.

    彼は嫌な顔もせず 屋根の上に案内してくれ そこでフラクタルについて語り合いました

  • And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle,

    彼は嫌な顔もせず 屋根の上に案内してくれ そこでフラクタルについて語り合いました

  • we know all about that."

    彼は「そうそう 四角の中の四角のことだね

  • And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle,

    皆良く知っているよ」と言いました

  • and the path through that palace is actually this spiral here.

    驚いたことに王家の紋章に 四角の中の四角の中の四角が使われていることがわかりました

  • And as you go through the path, you have to get more and more polite.

    城の中の道もこの渦巻きです

  • So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling;

    道を進むにつれ礼儀正しく振舞わなくてはなりません

  • it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.

    社会関係の変化を 幾何的な変化に対応させているのです

  • This is a village in southern Zambia.

    これは意図的なパターンです 同じフラクタルでも シロアリの塚の様な無意識なものとは違います

  • The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter.

    これはザンビア南部にある村です

  • You have a huge ring.

    バイラが建てた この村の直径は約400mでした

  • The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back,

    大きな輪の形です

  • and then you have the chief's ring here towards the back

    家族の住む輪が後ろに行くほど大きくなり

  • and then the chief's immediate family in that ring.

    村長の輪がこの後ろの方にあります

  • So here's a little fractal model for it.

    その輪の中に村長の直系の家族がいます

  • Here's one house with the sacred altar,

    これをフラクタル的に見ると

  • here's the house of houses, the family enclosure,

    これが一軒の家 中に聖壇があります

  • with the humans here where the sacred altar would be,

    これは何軒かが集った家 家族の輪の集まりです

  • and then here's the village as a whole --

    聖壇があるはずの所に人間がいます

  • a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here,

    そしてこれが村全体

  • and here there's a tiny village only this big.

    輪の輪の輪です 村長の遠い親戚がここ 直系の家族はここ

  • Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big?

    そして ここに こんな小さい村があります

  • That's because they're spirit people. It's the ancestors.

    こんな小さな村に人が住めるはずがないのですが

  • And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right?

    住人は霊なので問題ありません  祖先の方々です

  • So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.

    もちろん霊が住んでいるこの村にも さらに小さい ミニチュアの村があるはずです

  • This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek.

    ゲオルク・カントールの言った様に 再帰のプロセスは永遠に続くのです

  • I saw this diagram drawn by a French architect,

    こちらは ナイジェリアとカメルーンの国境近くの マンダラ山地のモコーレックです

  • and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!"

    フランス人の建築家が描いた図をみて

  • So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing.

    なんて素晴らしいフラクタルかと思いました

  • I came up with this structure here.

    そこで操作を繰り返すとこの構造になる ベースとなる形をさがしました

  • Let's see, first iteration, second, third, fourth.

    これがその構造です

  • Now, after I did the simulation,

    1回 2回 3回 4回と 操作を繰り返して見て見ましょう

  • I realized the whole village kind of spirals around, just like this,

    シミュレーションの結果

  • and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal.

    村全体がこのように 渦巻状になっていることに気がつきました

  • Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at.

    これが複製される線 自己複製しながらフラクタルになる線です

  • So, when I got to the village,

    この線は偶然にも 村の唯一の四角い建物と 同じ位置にあります

  • I said, "Can you take me to the square building?

    そこで村に着いたとき

  • I think something's going on there."

    「あの四角い建物に案内してくれませんか

  • And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside

    何かがある気がします」と尋ねると

  • because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year

    「案内しますが 中には入れませんよ

  • to keep up those annual cycles of fertility for the fields."

    神聖な場所で 毎年生贄を捧げる所なのです

  • And I started to realize that the cycles of fertility

    畑の肥沃のサイクルを保つために」と 答えが返ってきました

  • were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this.

    考えてみると 肥沃のサイクルというのは

  • And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.

    この場所を築いた幾何的なアルゴリズムの 再帰的なサイクルと同様です

  • So here's a Nankani village in Mali.

    再帰的なパターンは これらの村の微々たる所にも見られます

  • And you can see, you go inside the family enclosure --

    これはマリのナンカニの村です

  • you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively.

    家族の家にはいると

  • Here's calabashes that Issa was just showing us,

    暖炉に鍋が再帰的に積み上げられています

  • and they're stacked recursively.

    イッサが見せてくれたカラバッシュです

  • Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul.

    これも再帰的に積み上げられています

  • And when she dies, they have a ceremony

    一番小さなカラバッシュに女性の魂が入っているそうで

  • where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity.

    彼女が死ぬと 特別な儀式で

  • Once again, infinity is important.

    ザランガと呼ばれるこの山を崩して 彼女の魂は永遠の世界に行くのだそうです

  • Now, you might ask yourself three questions at this point.

    ここでも 無限というのは大切です

  • Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture?

    ここで3つの疑問が浮かびます

  • And that was actually my original hypothesis.

    このような相似的なパターンは 先住民の建築物に共通なのではないか?

  • When I first saw those African fractals,

    もちろん 私もそう仮定しました

  • I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society,

    初めてアフリカのフラクタルを見たとき

  • that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture."

    「階級組織的な社会ではない先住民のグループは

  • But that turns out not to be true.

    皆どれもボトムアップの建築をするのではないか」と

  • I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture;

    しかしそれは間違いでした

  • only the African ones were fractal.

    アメリカ先住民や南太平洋の建築物の 航空写真を何枚も見ましたが

  • And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use.

    フラクタルなのは アフリカの建築のみでした

  • So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry.

    それぞれの社会には特有の 幾何学的なデザインがあるものです

  • You can see on the pottery and the baskets.

    アメリカ先住民は 円や90度回転対称形を使います

  • Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins;

    焼き物やバスケットを見るとわかります

  • you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right?

    これはアナサジ族の廃墟の航空写真です

  • It is not the same pattern at two different scales.

    一番大きな構造は円形で 小さな部分は四角です

  • Second, you might ask,

    大きさが違うところでは 形が違っています

  • "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?"

    2番目の疑問は

  • And three times, the answer is no.

    「エグラッシュ博士、アフリカの文化の多様性を 無視していませんか?」というものです

  • First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa,"

    違うと言える理由が3つあります

  • that Africa is an artificial invention of first colonialism,

    1つ目に ムディンベの素晴らしい本 『アフリカの発明』に書かれてあるように

  • and then oppositional movements.

    アフリカは まず植民地として そして後に 反対勢力によって

  • No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture --

    人工的に作られたと考えています

  • and it definitely is not "in the DNA."

    2つ目に デザインの手法が共通でも 文化が同じということではありません

  • And finally, the fractals have self-similarity --

    もちろん遺伝的なものでもありません

  • so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other --

    3つ目に フラクタルは自己相似的ですから

  • you see very different uses for fractals.

    それ自身に似ていても 他のものと似ているわけではありません

  • It's a shared technology in Africa.

    場所によって 使われ方が大きく違い

  • And finally, well, isn't this just intuition?

    単にアフリカで共通の技術なのです

  • It's not really mathematical knowledge.

    最後の疑問は ここで見るフラクタルは 数学的な知識ではなく

  • Africans can't possibly really be using fractal geometry, right?

    単なる本能的な行為の結果ではないかということです

  • It wasn't invented until the 1970s.

    アフリカの人々がフラクタルを使っているはずがありません

  • Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition.

    1970年代まで発明されなかったものです

  • So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar

    アフリカのフラクタルには確かに本能的なものもあります

  • asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?"

    ダカーという街でこの様なものを見つけ 人々に尋ねました

  • and they'd say,

    「どんなアルゴリズムや決まりを使って これを作っているのですか?」

  • "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter)

    答えは

  • But sometimes, that's not the case.

    「良く見えるように 作っているだけだよ あたりまえだろ」(笑)

  • In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms.

    でも全部がそうではないのです

  • So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry.

    幾つかには確かにアルゴリズムがあり それもとても洗練されたものです

  • In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.

    このマンベトゥの彫刻には再帰的なな幾何がみられます

  • In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand,

    エチオピアの十字架にも素晴らしい形が見られます

  • and it's what the German mathematician Euler called a graph;

    アンゴラではチョクウェの人々が砂に線を描きます

  • we now call it an Eulerian path --

    ドイツの数学者オイラーがグラフと読んだものです

  • you can never lift your stylus from the surface

    現在のオイラー路です