It'll be about linear algebra, which—as a lot of you know—is one of those subjects that's required knowledge for

こんにちは！ このビデオシリーズを作れることにとても興奮しています

just about any technical discipline, but it's also—I've noticed—generally poorly understood by

これから線型代数について説明していきます ご存知のように線型代数は

students taking it for the first time. A student might go through a class and learn how to compute

あらゆる分野で必要とされますが 初めて学ぶ生徒は

lots of things, like matrix multiplication, or the determinant, or cross products—which use the

あまりよく理解していません 授業では，多くの計算方法を学びます

determinant—or eigenvalues, but they might come out without really understanding why matrix

行列のかけ算や行列式，外積（行列式を使います）

multiplication is defined the way that it is, why the cross product has anything to do with the

固有値などです しかし生徒は，なぜ行列のかけ算が

determinant, or what an eigenvalue really represents.

このように定義されるのか 外積と行列式はどういう関係なのか

Often times, students end up well-practiced in the numerical operations of matrices, but are only

固有値は何を表しているのか，理解できていません

vaguely aware of the geometric intuitions underlying it all. But there's a fundamental difference

生徒は行列の数値計算はできるようになりますが

between understanding linear algebra on a numerical level and understanding it on a geometric level.

その幾何学的な意味はなんとなくしか理解できていません

Each has its place, but—roughly speaking—the geometric understanding is what lets you judge what

しかし，「数値計算ができること」と 「幾何学的な理解ができること」は根本的にちがいます

tools to use to solve specific problems, feel why they work, and know how to interpret the results,

それぞれ利点はありますが 幾何学的な理解により，問題を解くためにどの方法を使えばよいか判断できるようになります

and the numeric understanding is what lets you actually carry through the application of those tools.

また，どうしてそうなるのか，結果について考えることができるようになります

Now, if you learn linear algebra without getting a solid foundation in that geometric understanding,

そして，数値計算の理解により，線型代数を実際に使いこなすことができます

the problems can go unnoticed for a while, until you've gone deeper into whatever field you happen to

もし，幾何学的な理解なしに線型代数を学んだら

pursue, whether that's computer science, engineering, statistics, economics, or even math itself.

ある分野をとても深くまで掘り下げない限り，問題には気づけないでしょう

Once you're in a class, or a job for that matter, that assumes fluency with linear algebra, the way

コンピューターサイエンスや工学，統計学，経済学，さらには数学でさえもです

that your professors or your co-workers apply that field could seem like utter magic.

線型代数を使いこなせることが 要求される教室や職場では

They'll very quickly know what the right tool to use is, and what the answer roughly looks like,

教授や同僚が線型代数を使いこなすのが 魔法のように見えるでしょう

in a way that would seem like computational wizardry if you assumed that they're actually

彼らは，どの方法を使えばよいか 大まかな答えは何か，すぐ知ることができるため

crunching all the numbers in their head.

まるで数値計算の魔法使いのように見えるかもしれません

As an analogy, imagine that when you first learned about the sine function in trigonometry, you were

すべての計算を頭の中でしているかのように

shown this infinite polynomial. This, by the way, is how your calculator evaluates the sine function.

例として，初めて三角関数を学んでいるとき

For homework, you might be asked to practice computing approximations to the sine

この無限級数を示されたとします （電卓はこれを使って三角関数を計算しています）

function, by plugging various numbers into the formula and cutting it off at a reasonable point.

宿題としてサイン関数のおおまかな値を 計算してくるように言われます

And, in fairness, let's say you had a vague idea that this was supposed to be related to triangles,

さまざまな値を公式に代入し 適当な項まで計算するのです

but exactly how had never really been clear, and was just not the focus of the course. Later on, if

そして，これが三角形に関係しているかもしれないと 気づいたとしましょう

you took a physics course, where sines and cosines are thrown around left and right, and people are

しかし正確にはっきりとは理解できず しかもこの授業のポイントでもありません

able to tell pretty immediately how to apply them, and roughly what the sine of a certain value is,

そのあと物理の授業でサインとコサインが出てきたとき

it would be pretty intimidating, wouldn't it? It would make it seem like the only people who are cut

すぐにその使い方を知ることができます サインがどのくらいの値になるかもわかります

out for physics are those with computers for brains, and you would feel unduly slow or dumb for

こわいことではないですか？ まるで物理を取った人だけが

taking so long on each problem.

頭の中にコンピューターを持てるかのようです 問題を解くのに時間のかかるあなたは

It's not that different with linear algebra, and luckily, just as with trigonometry, there are a

のろまでダメな人のように感じるでしょう

handful of intuitions—visual intuitions—underlying much of the subject. And unlike the trig example,

これは線型代数でも同じです 幸運なことに，三角関数と同じく，線型代数も

the connection between the computation and these visual intuitions is typically pretty

多くのことを直感的に「視覚的に」理解できます 三角関数の例とちがい，線型代数は

straightforward. And when you digest these, and really understand the relationship between the

数値計算と視覚的直感のつながりを とても理解しやすいです

geometry and the numbers, the details of the subject, as well as how it's used in practice, start to

そしてこれらを身につけ 幾何学的意味と数値計算の関係を

feel a lot more reasonable.

本当に理解できたとき （実際どのように使えばよいかも含めて）

In fairness, most professors do make an effort to convey that geometric understanding; the sine

これまでよりずっと深く理解ができたように感じるでしょう

example is a little extreme, but I do think that a lot of courses have students spending a

多くの教授は，幾何学的に理解してもらおうと 努力しています

disproportionate amount of time on the numerical side of things, especially given that in this day

サイン関数の例は少し極端ですが 多くの授業では，数値計算に

and age, we almost always get computers to handle that half, while in practice, humans worry about

必要以上に時間を費やしています 特に，パソコンのある現代では

the conceptual half.

パソコンによる計算に半分を費やし 人間がその概念的な理解に

So this brings me to the upcoming videos. The goal is to create a short, binge-watchable series

半分の時間を費やします

animating those intuitions, from the basics of vectors, up through the core topics that make up the

だからわたしはこれらのビデオを作りました ゴールは，短くて手軽にみれるシリーズをつくることです

essence of linear algebra. I'll put out one video per day for the next five days, then after that,

視覚的かつ直感的に ベクトルの基本から線型代数のコアとなる話題を

put out a new chapter every one to two weeks. I think it should go without saying that you cannot

説明します 1日ひとつのビデオを5日間でアップし

learn a full subject with a short series of videos, and that's just not the goal here, but what you

その後，1週間から2週間おきにビデオをアップします 短いビデオシリーズで

can do, especially with this subject, is lay down all the right intuitions, so that the learning you

すべてを学ぶことはできませんが それが目標でもありません

do moving forward is as productive and fruitful as it can be. I also hope this can be a resource for

目標は，すべての単元で正しい直感を持ってもらい

educators whom are teaching courses that assume fluency with linear algebra, giving them a place to

生産的で実りのある学習をしてもらうことです また，これらは先生たちの教材にもなるでしょう

direct students whom need a quick brush-up.

線型代数を既習とする授業で ざっとした復習が

I'll do what I can to keep things well-paced throughout, but it's hard to simultaneously account for

必要な生徒に見てもらうのです

different people's different backgrounds and levels of comfort, so I do encourage you to readily

できるだけよいペースで進めていきますが さまざまな人の

pause and ponder if you feel that it's necessary. Actually, I'd give that same advice when watching

さまざまな背景や理解のレベルに 同時に合わせるのは困難です そのため必要な時は

any math video, even if it doesn't feel too quick, since the thinking that you do in your own time

ビデオを止めて考えることを 強くおすすめします 実際，どんな数学のビデオでも

is where all the learning really happens, don't you think?

止めて考えることをおすすめします たとえ速すぎると感じないときもです なぜなら，自分のペースで考えることは

So, with that as an introduction, I'll see you in the next video.

本当に学習するということだからです そう思いませんか？

Captioned by Navjivan Pal Reviewed by Johann Hemmer 07/08/16

では，イントロダクションはこの辺で 次のビデオで会いましょう！