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  • "The introduction of numbers as coordinates is an act of violence."

    座標として数を導入することは 暴力行為である ――ヘルマン・ワイル

  • Hermann Weyl

    線型代数を形作る土台となるものがベクトルです まずは

  • The fundamental, root-of-it-all building block for linear algebra is the vector, so it's

    ベクトルとはいったい何なのか,はっきりさせましょう

  • worth

    おおまかにいって,3つの異なる しかし関係した視点があります

  • making sure that we're all on the same page about what exactly a vector is.

    物理学の視点,コンピューターサイエンスの視点, そして数学の視点です

  • You see, broadly

    物理学の視点では,ベクトルを空間のなかの矢印と見ます

  • speaking there are three distinct but related ideas about vectors, which I'll call the physics

    与えられたベクトルは長さと方向で定義されます しかしこの2つが同じであれば

  • student perspective, the computer science student perspective, and the mathematician's

    自由に動かしても同じベクトルと見ます 平らな面のなかにあるベクトルを2次元ベクトル

  • perspective.

    私たちがいるようなより広い空間にあるベクトルを 3次元ベクトルといいます

  • The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

    コンピューターサイエンスの視点では ベクトルを数を並べたリストと見ます.たとえば

  • What defines a given

    住宅価格について分析しているとしましょう

  • vector is its length, and the direction it's pointing in, but as long as those two facts

    住宅の面積と価格のみに注目します そしてそれぞれの住宅を2つの数字でモデル化します

  • are the

    まず面積,次に価格です 順番があることに注意しましょう

  • same, you can move it all around and it's still the same vector.

    つまり,住宅を2次元ベクトルでモデル化したのです ここでは

  • Vectors that live in the flat plane

    「ベクトル」は「リスト」を言い換えたようなものです そしてリストの長さが2なので

  • are two-dimensional, and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

    ベクトルは2次元ベクトルになります

  • The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

    一方,数学の視点では,両方の視点を一般化します

  • For example, let's

    ベクトル同士のたし算,ベクトルの定数倍が

  • say that you were doing some analytics about house prices, and the only features you cared

    成り立つものすべてをベクトルと見るのです (後ほど説明します)

  • about

    この視点はとても抽象的で このビデオシリーズの最後までは扱いません

  • were square footage and price.

    しばらくは,より具体的な状況で説明します

  • You might model each house with a pair of numbers: the first

    しかしここでこれを取り上げたのは ベクトルのたし算や定数倍の考え方は

  • indicating square footage, and the second indicating price.

    線型代数全体を通して 大切な役割を担っているからです

  • Notice that the order matters here.

    しかしこの2つの操作について話す前に まずベクトルとは何なのか理解しておきましょう

  • In the lingo, you'd be modelling houses as two-dimensional vectors, where in this context,

    ここで重点を置いている 幾何学的な視点から考えるために

  • "vector" is pretty much just a fancy word for "list", and what makes it two-dimensional

    ベクトルについて新しい話題が出てきたときは まずひとつの矢印を思い浮かべてください

  • is the fact

    x-y平面のような座標系の中にある矢印です 始点は原点にあるとします

  • that the length of that list is 2.

    これは,矢印が空間のどこにあってもよいという 物理学の視点とは少しちがいます

  • The mathematician, on the other hand, seeks to generalise both of these views, basically

    線型代数では,ベクトルはほとんどいつも 原点に始点があります

  • saying that

    そして,空間の中の矢印という視点で 新しい話題を理解したら

  • a vector can be anything where there's a sensible notion of adding two vectors, and multiplying

    それを,ベクトルの座標を用いて 数のリストという視点でとらえなおすこともできるのです

  • a

    多くの人はこのような座標系をよく知っていると思います しかし,復習しておきましょう

  • vector by a number, operations that I'll talk about later on in this video.

    この座標系は,線型代数の2つの視点を 行き来する大切な場所だからです

  • The details of this view

    しばらくは2次元で考えることにします

  • are rather abstract, and I actually think it's healthy to ignore it until the last video

    x軸といわれる水平な線と y軸といわれる鉛直な線があります.そして

  • of this

    それらが交わる点,原点があります 原点は,空間の中心,すべてのベクトルの始点とします

  • series, favoring a more concrete setting in the interim,

    1を表す長さを決め 距離を表すためにそれぞれの軸上に

  • but the reason that I bring it up here is that it hints at the fact that ideas of vector

    目盛りをつけます 2次元空間全体のイメージを表したいときは

  • addition

    (ビデオでよく出てきますが) 目盛りを延長したグリッドラインを示します

  • and multiplication by numbers will play an important role throughout linear algebra.

    でも今は少しじゃまですね ベクトルの座標は1組の数であり

  • But before I talk about those operations, let's just settle in on a specific thought

    ベクトルの始点(原点)から終点まで どう進むかを表します

  • to have in mind

    1つ目の数は,x軸方向にどれだけ進むか (正の数は右への動き

  • when I say the word "vector".

    負の数は左への動き)を表します 2つ目の数は,y軸方向にどれだけ進むか

  • Given the geometric focus that I'm shooting for here, whenever I

    (正の数は上への動き,負の数は下への動き) を表します

  • introduce a new topic involving vectors, I want you to first think about an arrowand

    ベクトルを点と区別するために ベクトルを表す数の組合せのときは

  • specifically,

    数を縦にならべて,ブラケットで囲みます

  • think about that arrow inside a coordinate system, like the x-y plane, with its tail

    2つの数の組合せはそれぞれ ただ1つのベクトルに対応します. そして,ベクトルはそれぞれ

  • sitting at the origin.

    2つの数の組合せただ1つに対応します では3次元ではどうでしょうか? x軸とy軸に垂直な

  • This is a little bit different from the physics student perspective, where vectors can freely

    3番目の軸,z軸を加えましょう このとき,ベクトルはそれぞれ

  • sit

    3つの数の組合せただ1つに対応します 1つ目の数は,x軸方向へどれだけ動くか

  • anywhere they want in space.

    2つ目の数は,y軸方向へどれだけ動くか 3つ目の数は,z軸方向へどれだけ動くか

  • In linear algebra, it's almost always the case that your vector will be

    を表します.3つの数の組合せはそれぞれ 空間のベクトルただ1つに対応し

  • rooted at the origin.

    空間のベクトルはそれぞれ 3つの数の組合せただ1つに対応します

  • Then, once you understand a new concept in the context of arrows in space,

    ではベクトルのたし算と定数倍にもどりましょう 結局,線形代数のすべての話題は

  • we'll translate it over to the list-of-numbers point-of-view, which we can do by considering

    この2つの操作を中心として展開されます 幸い,これらの定義はとてもシンプルです

  • the coordinates of the vector.

    2つのベクトルがあり 1つは右上,もう1つは

  • Now while I'm sure that many of you are familiar with this coordinate system, it's worth walking

    右下を指しているとしましょう この2つのベクトルを足すためには 2つ目のベクトルを,その始点が

  • through explicitly, since this is where all of the important back-and-forth happens between

    1つ目のベクトルの終点に重なるように動かします そして1つ目のベクトルの始点から

  • the two

    2つ目のベクトルの終点に伸びるベクトル これが2つのベクトルの和になります

  • perspectives of linear algebra.

    (線型代数では,このたし算の定義のときのみ

  • Focusing our attention on two dimensions for the moment, you have a

    ベクトルが原点から離れます)

  • horizontal line, called the x-axis, and a vertical line, called the y-axis.

    なぜこのたし算の定義が自然なのでしょうか? なぜほかの定義ではないのでしょうか?

  • The place where they

    私の好きな考え方は,それぞれのベクトルが ある動きを表しているというものです

  • intersect is called the origin, which you should think of as the center of space and

    空間の中で,ある距離と方向をもつ動きです もし,あなたが1つ目のベクトルに沿って進み

  • the root of all vectors.

    次に2つ目のベクトルに沿って進んだら 全体としては

  • After choosing an arbitrary length to represent 1, you make tick-marks on each axis to

    これら2つのベクトルの和のベクトルに沿って 進んだことと同じになります

  • represent this distance.

    これを数直線上における数のたし算の 延長として考えることもできます

  • When I want to convey the idea of 2-D space as a whole, which you'll see

    数のたし算を教える方法として たとえば2+5は,右へ2進み

  • comes up a lot in these videos, I'll extend these tick-marks to make grid-lines, but right

    さらに右へ5進むと考えられます その結果は右へ7進むことと同じになります

  • now

    ではベクトルのたし算は数値的に どう見えるか確かめてみましょう

  • they'll actually get a little bit in the way.

    1つ目のベクトルの座標が(1,2) 2つ目のベクトルの座標が(3,-1)だとします

  • The coordinates of a vector is a pair of numbers that

    始点と終点を合わせる方法でベクトルのたし算を考えると 4ステップで原点から2つ目のベクトルの終点に着きます

  • basically give instructions for how to get from the tail of that vectorat the originto

    右へ1,上へ2,右へ3,そして下へ1進むのです

  • its tip.

    これは,はじめに水平方向へ一気に進み 次に鉛直方向へ一気に進むと考えることもできます

  • The first number tells you how far to walk along the x-axispositive numbers indicating

    つまり,右へ1+3進み,上へ2+(-1)進むと考えるのです

  • rightward

    新しくできたベクトルの座標は(1+3,2+(-1))となります 一般に,数のリストとしてのベクトルのたし算は

  • motion, negative numbers indicating leftward motionand the second number tell you how

    成分同士が足されるので その言葉に合っているように見えます

  • far to walk

    もうひとつの基本的なベクトル操作は ベクトルの定数倍です

  • parallel to the y-axis after thatpositive numbers indicating upward motion, and negative

    いくつか例を見て理解していきましょう もし数字の2を,与えられたベクトルにかけたら

  • numbers

    ベクトルは元の2倍の長さに引き伸ばされます

  • indicating downward motion.

    もし数字の1/3をかけたら 元の1/3の長さに縮められます

  • To distinguish vectors from points, the convention is to write this pair

    -1.8のような負の数をかけたら ベクトルは,まずひっくり返り

  • of numbers vertically with square brackets around them.

    そして1.8倍に引き伸ばされます

  • Every pair of numbers gives you one and only one vector, and every vector is associated

    このベクトルの伸縮や反転の過程を 「スケーリング(scaling)」といいます

  • with one and

    そして,ベクトルをスケーリングする 2や1/3,-1.8のような数を

  • only one pair of numbers.

    「スカラー(scalar)」といいます 実際,線型代数で,主に数のはたらきは

  • What about in three dimensions?

    ベクトルをスケーリングすることです そのため「数」と「スカラー」という言葉は

  • Well, you add a third axis, called the z-axis,

    よく互換的に使われます 数値的にベクトルを2倍に引き伸ばすことは

  • which is perpendicular to both the x- and y-axes, and in this case each vector is associated

    ベクトルの各成分に2をかけることに対応します つまり,数のリストとしてベクトルを考えると

  • with an ordered triplet of numbers: the first tells you how far to move along the x-axis,

    ベクトルにスカラーをかけることは ベクトルの各成分にスカラーをかけることを

  • the second

    意味するのです

  • tells you how far to move parallel to the y-axis, and the third one tells you how far

    続くビデオで,線型代数の話題がこの2つの操作

  • to then move

    「ベクトルのたし算と定数倍」のまわりで展開される ということがわかるでしょう

  • parallel to this new z-axis.

    そして最後のビデオでは,数学者が なぜこの2つの操作だけ考えるのかお話しします

  • Every triplet of numbers gives you one unique vector in space, and

    ベクトルの表し方からは独立していて 抽象化された操作です.実際

  • every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

    ベクトルを(私がおすすめしているように) 数値的にも表せる「空間の中の矢印」と考えるのか

  • So back to vector addition, and multiplication by numbers.

    幾何学的にも理解できる「数のリスト」と考えるのかは

  • After all, every topic in linear algebra

    問題ではありません 線型代数の有用性は

  • is going to center around these two operations.

    どちらかの視点にあるというより 両方の視点をお互いに行き来できることにあるのです

  • Luckily, each one is pretty straightforward to define.

    これにより,データアナリストは多くの数のリストを 視覚的に概念化することができます

  • Let's say we have two vectors, one pointing up, and a little to the right, and the other

    そしてデータのパターンを抽出し ある操作が意味することを広い視野でみることができます

  • one

    逆に,物理学者やCGプログラマーは

  • pointing right, and down a bit.

    計算された数字を使って,空間を描き 空間を操作するための言語を得られます

  • To add these two vectors, move the second one so that its tail sits

    たとえば,私が数学のアニメーションをつくるとき まず空間で何が起こっているか考えることから始めます

  • at the tip of the first one; then if you draw a new vector from the tail of the first one

    そして,それらをコンピューターに数値的に表させることで

  • to where

    画面のどこにピクセルをおけばよいか分かります これらの多くは線型代数の理解によるものです

  • the tip of the second one now sits, that new vector is their sum.

    これでベクトルの基本はおしまいです 次のビデオでは,ベクトルに関するとてもおもしろい概念

  • This definition of addition, by the way, is pretty much the only time in linear algebra

    スパン,基底,線型独立などを説明します ではまた!

  • where we let

    次のビデオ: 線型結合,スパン,基底

  • vectors stray away from the origin.

  • Now why is this a reasonable thing to do?—Why this definition of addition and not some other

  • one?

  • Well the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement—a

  • step with

  • a certain distance and direction in space.

  • If you take a step along the first vector,

  • then take a step in the direction and distance described by the second vector, the overall

  • effect is

  • just the same as if you moved along the sum of those two vectors to start with.

  • You could think about this as an extension of how we think about adding numbers on a

  • number line.

  • One way that we teach kids to think about this, say with 2+5, is to think of moving

  • 2 steps to the

  • right, followed by another 5 steps to the right.

  • The overall effect is the same as if you just took

  • 7 steps to the right.

  • In fact, let's see how vector addition looks numerically.

  • The first vector

  • here has coordinates (1,2), and the second one has coordinates (3,-1).

  • When you take the vector sum

  • using this tip-to-tail method, you can think of a four-step path from the origin to the

  • tip of the

  • second vector: "walk 1 to the right, then 2 up, then 3 to the right, then 1 down."

  • Re-organising

  • these steps so that you first do all of the rightward motion, then do all of the vertical

  • motion,

  • you can read it as saying, "first move 1+3 to the right, then move 2+(-1) up," so the

  • new vector has

  • coordinates 1+3 and 2+(-1).

  • In general, vector addition in this list-of-numbers conception looks

  • like matching up their terms, and adding each one together.

  • The other fundamental vector operation is multiplication by a number.

  • Now this is best understood

  • just by looking at a few examples.

  • If you take the number 2, and multiply it by a given vector, it

  • means you stretch out that vector so that it's 2 times as long as when you started.

  • If you multiply

  • that vector by, say, 1/3, it means you squish it down so that it's 1/3 of the original length.

  • When you multiply it by a negative number, like -1.8, then the vector first gets flipped

  • around,

  • then stretched out by that factor of 1.8.

  • This process of stretching or squishing or sometimes reversing the direction of a vector

  • is called "scaling",

  • and whenever you catch a number like 2 or 1/3 or -1.8 acting like thisscaling some

  • vectoryou call it a "scalar".

  • In fact, throughout linear algebra, one of the main things that

  • numbers do is scale vectors, so it's common to use the word "scalar" pretty much interchangeably

  • with the word "number".

  • Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, 2, corresponds to

  • multiplying each of its components by that factor, 2, so in the conception of vectors

  • as

  • lists of numbers, multiplying a given vector by a scalar means multiplying each one of

  • those components by that scalar.

  • You'll see in the following videos what I mean when I say that linear algebra topics

  • tend to revolve

  • around these two fundamental operations: vector addition, and scalar multiplication; and I'll

  • talk

  • more in the last video about how and why the mathematician thinks only about these operations,

  • independent and abstracted away from however you choose to represent vectors.

  • In truth, it doesn't

  • matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in spacelike

  • I'm suggesting

  • you dothat happen to have a nice numerical representation, or fundamentally as lists

  • of numbers

  • that happen to have a nice geometric interpretation.

  • The usefulness of linear algebra has less to do with

  • either one of these views than it does with the ability to translate back and forth between

  • them.

  • It gives the data analyst a nice way to conceptualise many lists of numbers in a visual way,

  • which can seriously clarify patterns in data, and give a global view of what certain operations

  • do,

  • and on the flip side, it gives people like physicists and computer graphics programmers

  • a language

  • to describe space and the manipulation of space using numbers that can be crunched and

  • run through a computer.

  • When I do math-y animations, for example, I start by thinking about what's actually

  • going on in

  • space, and then get the computer to represent things numerically, thereby figuring out where

  • to

  • place the pixels on the screen, and doing that usually relies on a lot of linear algebra

  • understanding.

  • So there are your vector basics, and in the next video I'll start getting into some pretty

  • neat

  • concepts surrounding vectors, like span, bases, and linear dependence.

  • See you then!

  • Captioned by Navjivan Pal

"The introduction of numbers as coordinates is an act of violence."

座標として数を導入することは 暴力行為である ――ヘルマン・ワイル

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B2 中上級 日本語 ベクトル 視点 座標 空間 矢印 定数

ベクターとは、いったい何なのか?| 線形代数の本質|線形代数の本質|線形代数の本質 第1章 線形代数 第1章 線形代数とは何か?| 線形代数の本質 第1章 線形代数 第1章 (Vectors, what even are they? | Essence oVectors, what even are they? | Essence of linear algebra, chapter 1f linear algebra, chapter 1)

  • 92 11
    jeffrey に公開 2021 年 01 月 14 日
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