## 字幕表 動画を再生する

• What I want to do in this video is familiarize ourselves

このビデオでは

• with the notion of a sequence.

列（数列）について学びます

• And all a sequence is is an ordered list of numbers.

数列は 数字の順序リストです

• So for example, I could have a finite sequence--

例えば 有限数列があります

• that means I don't have an infinite number of numbers

つまり 無限数は含まれないものです

• in it-- where, let's say, I start at 1 and I keep adding 3.

例えば １から始めて ３ずつ増やします

• So 1 plus 3 is 4.

1＋3＝4

• 4 plus 3 is 7.

4＋3＝7

• 7 plus 3 is 10.

7＋3＝10

• And let's say I only have these four terms right over here.

この4つだけが入っている数列を考えてみましょう

• So this one we would call a finite sequence.

これを有限数列と呼びます

• I could also have an infinite sequence.

無限数列もあります

• So an example of an infinite sequence--

無限数列の例を挙げると

• let's say we start at 3, and we keep adding 4.

3から始めて 4ずつ増やします

• So we go to 3, to 7, to 11, 15.

よって 3、7、11、15となります

• And you don't always have to add the same thing.

いつも同じ数字を足す必要はありません

• We'll explore fancier sequences.

もっとシャレた数列も後で見ましょう

• The sequences where you keep adding the same amount,

同じ数字を足し続ける数列を

• we call these arithmetic sequences,

等差数列と呼びます

• which we will also explore in more detail.

あとでもっと詳しく見ましょう

• But to show that this is infinite,

この数列が無限だということを

• to show that we keep this pattern going on and on and on,

このパターンが続くと示すために

• I'll put three dots.

点を3つ書きます

• This just means we're going to keep going on and on and on.

数列が続いていることを意味します

• So we could call this an infinite sequence.

これを無限数列と呼びます

• Now, there's a bunch of different notations

これとは違う、お洒落なやり方で

• that seem fancy for denoting sequences.

数列を表す方法もあります

• But this is all they refer to.

要するにこの数列の中にはこの数字が含まれています

• But I want to make us comfortable with how

数列の表記法と 定義方法に

• we can denote sequences and also how we can define them.

慣れていきましょう

• We could say that this right over here

まず ここに

• is the sequence a sub k for k is going from 1 to 4,

数列 a_k、kは1から4までが

• is equal to this right over here.

以下と等しい、と書けます

• So when we look at it this way, we

このように見ると

• can look at each of these as the terms in the sequence.

この数字が数列内の項になります

• And this right over here would be the first term.

これは第1項です

• We would call that a sub 1.

a_1と呼びます

• This right over here would be the second term.

これが第2項です

• We'd call it a sub 2.

a_2と呼びます

• I think you get the picture-- a sub 3.

大体わかりましたね、a_3

• This right over here is a sub 4.

a_4です

• So this just says, all of the a sub k's from k equals 1,

この表記法が言いたいことは、全てのa_kについて

• from our first term, all the way to the fourth term.

K=1からK=4まで、つまり第1項から第4項まで、ということです

• Now, I could also define it by not explicitly writing

数列を展開して書かない方法もあります

• the sequence like this.

こんな風に全部書かなくても大丈夫

• I could essentially do it defining our sequence

数列を関数として定義できます

• as explicitly using kind of a function notation or something

定義を関数表記で書けます

• close to function notation.

あるいは関数に近いもので。

• So the same exact sequence, I could define it

全く同じ数列を 定義するには

• as a sub k from k equals 1 to 4, with-- instead of explicitly

a_kについて、k=1 から4までで、

• writing the numbers here, I could say a sub k

数字を書くのではなく

• is equal to some function of k.

a_k = 「kの関数」と書きます

• So let's see what happens.

どうなるでしょうか

• When k is 1, we get 1.

k=1 のとき 1になります

• When k is 2, we get 4.

k=2 のときは 4です

• When k is 3, we get 7.

k=3のとき 7です

• So let's see.

すると

• When k is 3, we added 3 twice.

k=3 のとき 3を2回足しました

• Let me make it clear.

分かりやすくすると

• So this was a plus 3.

ここが+3で

• This right over here was a plus 3.

ここも+3

• This right over here is a plus 3.

隣も+3

• So whatever k is, we started at 1.

よってkがいくつでも、1から始めました

• And we added 3 one less than the k term times.

それから 3を (k−1) 回足しました

• So we could say that this is going to be equal to 1

よって関数を書くと...

• plus k minus 1 times 3, or maybe I

1 + 3 × (k−1)

• should write 3 times k minus 1-- same thing.

1 + 3(k−1)

• And you can verify that this works.

1 + 3(k-1)

• If k is equal to 1, you're going to get 1 minus 1 is 0.

確かめてみましょう

• And so a sub 1 is going to be 1.

式に当てはめたら確かめられます

• If k is equal to 2, you're going to have 1 plus 3, which is 4.

k=1のとき 1-1=0

• If k is equal to 3, you get 3 times 2 plus 1 is 7.

よって a_1=1 になります

• So it works out.

k=2のとき 1+3=4 になります

• So this is one way to explicitly define our sequence with kind

k=3のとき 3×2+1=7 になります

• of this function notation.

正しい式になっていますね

• I want to make it clear-- I have essentially

これが数列を関数表記のような

• defined a function here.

形で定義する方法です

• If I wanted a more traditional function notation,

つまり 私はここで

• I could have written a of k, where

関数を定義したということです

• k is the term that I care about. a

もっと伝統的な関数表記にしてもいいです

• of k is equal to 1 plus 3 times k minus 1.

a(k)

• This is essentially a function, where

kが今問題になっている項です

• an allowable input, the domain, is

a(k)=1+3(k−1)

• restricted to positive integers.

これは関数で

• Now, how would I denote this business right over here?

代入可能な領域は

• Well, I could say that this is equal to--

正の整数だけです

• and people tend to use a.

こちらではどう表せるでしょうか

• But I could use the notation b sub k or anything else.

これも等式になります

• But I'll do a again-- a sub k.

a を使うことが多いです

• And here, we're going from our first term--

b_kや 他も使えますが

• so this is a sub 1, this is a sub 2--

a_kにしておきます a_k

• all the way to infinity.

第1項は

• Or we could define it-- if we wanted to define it explicitly

これがa_1 これがa_2

• as a function-- we could write this sequence as a sub k, where

無限大まで続きます

• k starts at the first term and goes to infinity,

陽関数として定義することもできます

• with a sub k is equaling-- so we're starting at 3.

数列a_kとして

• And we are adding 4 one less time.

kが第1項から始まり 無限大まで続きます

• For the second term, we added 4 once.

a_k= 3 から始めて...

• For the third term, we add 4 twice.

4を (k−1) 回ずつ足していきます

• For the fourth term, we add 4 three times.

第2項に4を足して

• So we're adding 4 one less than the term that we're at.

第3項に4を2回足します

• So it's going to be plus 4 times k minus 1.

第4項には 4を3回足します

• So this is another way of defining

よって 項の番号マイナス1回ずつ4を足していきます

• this infinite sequence.

よって 3+4(k−1) と書けますね

• Now, in both of these cases, I defined it

3+4(k−1)

• as an explicit function.

これがもう1つの

• So this right over here is explicit.

この無限数列の表記方法です

• That's not an attractive color.

この両方の場合を陽関数として

• Let me write this in.

定義しました

• This is an explicit function.

こっちは陽関数です

• And so you might say, well, what's

あまり良い色ではないですね

• another way of defining these functions?

この色にしましょう

• Well, we can also define it, especially something

これは陽関数です

• like an arithmetic sequence, we can also define it recursively.

次に気になるのは

• And I want to be clear-- not every sequence can be defined

この関数の他の表記方法ですね

• as either an explicit function like this,

次のようにも定義できます

• or as a recursive function.

等差数列のような関数は 帰納的に表すこともできます

• But many can, including this, which

全ての数列が

• is an arithmetic sequence, where we

このような陽関数で定義できるわけではないです

• keep adding the same quantity over and over again.

帰納的関数でも同じです

• So how would we do that?

しかし 多くはできます

• Well, we could also-- another way of defining

例えばこれは等差数列で

• this first sequence, we could say a sub k,

同じ量を足し続けています

• starting at k equals 1 and going to 4 with.

では どうすればよいのでしょう

• And when you define a sequence recursively,

他の方法は

• you want to define what your first term is, with a sub 1

最初の数列はa_k

• equaling 1.

k=1から始まり 4まで続きます

• You can define every other term in terms of the term before it.

数列を帰納的に定義するには

• And so then we could write a sub k

第1項をまず定義します

• is equal to the previous term.

a_1=1

• So this is a sub k minus 1.

他の項も その前の項を単位として定義します

• So a given term is equal to the previous term.

よって、以下のように書けます

• Let me make it clear-- this is the previous term, plus-- in

a_k=前の項

• this case, we're adding 3 every time.

a_k=a_(k−1)

• Now, how does this make sense?

今問題になっている項=前の項

• Well, we're defining what a sub 1 is.

つまり 前の項 + ...

• And if someone says, well, what happens when k equals 2?

この場合 3を毎項に足していきます

• Well, they're saying, well, it's going to be a sub 2 minus 1.

a_(k-1)+3

• So it's going to be a sub 1 plus 3.

さて どう成り立っているか見てみましょう

• Well, we know a sub 1 is 1.

まず a_1を定義します

• So it's going to be 1 plus 3, which is 4.

k＝2になると どうでしょう

• Well, what about a sub 3?

a_(2-1) ですね

• Well, it's going to be a sub 2 plus 3. a sub 2,

よって a_1+3 になります

• we just calculated as 4.

a_1は1です

よって 1+3、つまり 4 になります

• It's going to be 7.

a_3 はどうでしょうか

• This is essentially what we mentally

a_2+3 になりますね a_2

• did when I first wrote out the sequence, when I said, hey,

4ですね

3を足します

• And I'm just going to add 3 for every successive term.

7になります

• So how would we do this one?

これは 私達が最初に頭のなかでやったことと全く同じですね

• Well, once again, we could write this as a sub k.

数列を書き始めたときに

• Starting at k, the first term, going

1から始ようと言って...

• to infinity with-- our first term, a sub 1,

その次に続く項に3を足し続けます

• is going to be 3, now.

これはどうでしょう

• And every successive term, a sub k,

もう一度 これをa_kとして書きましょう

• is going to be the previous term, a sub k minus 1, plus 4.

kから始めて 第1項から無限大へ

• And once again, you start at 3.

第1項 a_1=3

• And then if you want the second term,

a_1=3

• it's going to be the first term plus 4.

次に続く項は a_k

• It's going to be 3 plus 4.

前の項 a_(k-1)+4

• You get to 7.

３からもう1度始めます

• And you keep adding 4.

第2項は

• So both of these, this right over here

第1項 +4 になります

• is a recursive definition.

3+4 です

• We started with kind of a base case.

7になります

• And then every term is defined in terms of the term

4を足し続けます

• before it or in terms of the function itself,

これら2つの式は

• but the function for a different term.

再帰的な定義です

What I want to do in this video is familiarize ourselves

このビデオでは

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# 数列の明示的・再帰的定義｜プリスケーラス｜カーンアカデミー (Explicit and recursive definitions of sequences | Precalculus | Khan Academy)

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gomic88 に公開 2021 年 01 月 14 日