let's try to apply what we know about them for some pretty

それらの知識をよくある問題に応用してみよう

common problems you'd, one, see in a physics class,

物理の時間に出題されるような問題だけど、

but they're also common problems you'd see in everyday life,

同時に、日常生活の中で出くわす問題だね

because you're trying to figure out how far you've gone,

どれだけ遠くまで行ったかとか、

or how fast you're going, or how long it

どれだけ速く進んでいるか、または、ある地点に着くまでにどれだけ時間がかかるか

might take you to get some place.

第一問。シャンテヌは車を運転して、一時間で北に5km移動することが出来ました。平均速度を求めなさい

So first I have, if Shantanu was able to travel

第一問。シャンタヌは車を運転して、一時間で北に5km移動することが出来ました。平均速度を求めなさい

5 kilometers north in 1 hour in his car, what

ベクトルとスカラーについて少し復習しよう

was his average velocity?

彼は北に向かって5km移動できたね

So one, let's just review a little bit

大きさが与えられたよ

about what we know about vectors and scalars.

5km。これは彼が移動した距離の大きさだね。

So they're giving us that he was able to travel

方向も与えられたね。

5 kilometers to the north.

彼は5km移動したよ。距離はスカラーだよ

So they gave us a magnitude, that's the 5 kilometers.

ただ、もし方向も与えられている場合は、 変位が与えられているんだ

That's the size of how far he moved.

これはベクトル量だね

And they also give a direction.

彼は5km北へ移動したんだ

So he moved a distance of 5 kilometers.

彼は車を運転して、一時間で移動したよ

Distance is the scalar.

平均速度はいくらだったかな？

But if you give the direction too, you get the displacement.

速度...　いろんな定義があるけど、

So this right here is a vector quantity.

もう一度言うと、速度はベクトル量だよ

He was displaced 5 kilometers to the north.

ベクトル量とスカラー量の区別の仕方は、

And he did it in 1 hour in his car.

ベクトル量の上には矢印を付けるんだ

What was his average velocity?

普通、ベクトル量は太字で書かれるし、

So velocity, and there's many ways

上に矢印が付いてる

that you might see it defined, but velocity, once again,

そうすることで、

is a vector quantity.

値や大きさだけじゃなくて、

And the way that we differentiate between vector

方向についても考慮していることを伝えるんだ

and scalar quantities is we put little arrows

この矢印は実際の方向じゃないからね。 単にベクトル量であることを示す印だよ

on top of vector quantities.

速度とは位置が変わることだけれども、

Normally they are bolded, if you can have a typeface,

これは方向も含めてだよ

and they have an arrow on top of them.

これは変位で、

But this tells you that not only do I

sという記号を用いて変位を表して、

care about the value of this thing,

これはベクトル量だよ

or I care about the size of this thing,

これは変位だよ

I also care about its direction.

変位の英語はdisplacemntなのに、

That's what the arrow.

dという記号を使わないのは何故だろう？

The arrow isn't necessarily its direction,

その方が自然だよね

it just tells you that it is a vector quantity.

でもdを使わない理由は、

So the velocity of something is its change in position,

微積分を使い始めると

including the direction of its change in position.

dという記号は別の意味で使われるんだ

So you could say its displacement,

微分演算子の記号として

and the letter for displacement is

だから、混乱をさけるために、

S. And that is a vector quantity,

変位としては、sを使うんだと思うな

so that is displacement.

もっといい理由を知ってたら、

And you might be wondering, why don't they

このビデオに気軽にコメントしといてね

use D for displacement?

それをもとに新しいビデオを追加するよ

That seems like a much more natural first letter.

それで、速度とは、ある時間に渡っての変位のことだよ

And my best sense of that is, once you start doing calculus,

これに対応するものをスカラー量で書きたいなら、

you start using D for something very different.

早さを書けばいいんだ

You use it for the derivative operator,

変位と見間違えないように、書き込みをしておくよ

and that's so that the D's don't get confused.

レートと書こうかな

And that's why we use S for displacement.

早さのかわりにレートと書く場合もあるから

If someone has a better explanation of that,

これはベクトル記法

feel free to comment on this video,

方向も考慮する場合だね

and then I'll add another video explaining that better

方向を気にしないのなら、

explanation.

レートと書こう

So velocity is your displacement over time.

これがレートまたは早さで、

If I wanted to write an analogous thing for the scalar

これはイコール、移動した距離

quantities, I could write that speed,

移動した距離

and I'll write out the word so we

割ることの時間

don't get confused with displacement.

この二つは、

Or maybe I'll write "rate."

公式と呼んでもいいし、

Rate is another way that sometimes people write speed.

定義と呼んでもいいよ

So this is the vector version, if you care about direction.

当たり前のことだと思うけどね

If you don't care about direction,

どれだけ速く進んでいるか、

you would have your rate.

ある時間の内にどれだけ遠くまで進んだか

So this is rate, or speed, is equal to the distance

両方、同じことを意味しているけど、

that you travel over some time.

こっちはその方向も考慮する場合に使うよ

So these two, you could call them formulas, or you

ベクトル量として扱うんだ

could call them definitions, although I

こっちは方向は気にしない場合だね

would think that they're pretty intuitive for you.

距離はスカラーで、

How fast something is going, you say, how far

レートまたは早さは、スカラーだよ

did it go over some period of time.

こっちでは変位だから、これはベクトルだよ

These are essentially saying the same thing.

これを踏まえて、

This is when you care about direction,

じゃあ、平均速度を計算しよう

so you're dealing with vector quantities.

ここで、平均、というキーワードが大事だね

This is where you're not so conscientious about direction.

何故なら、速度が全体の時間に渡って

And so you use distance, which is scalar,

変化していた可能性があるからね

and you use rate or speed, which is scalar.

でも、話を単純にするために、

Here you use displacement, and you use velocity.

速度は一定だったと仮定しよう

Now with that out of the way, let's figure out

速度は一定だったと仮定しよう

what his average velocity was.

どちらにしろ、これから計算するのは平均速度だよ

And this key word, average, is interesting.

気にしなくて大丈夫

Because it's possible that his velocity was changing

単に、速度に変化がなかったと仮定すればいいんだ

over that whole time period.

それで、彼の車の速度は、

But for the sake of simplicity, we're

変位は、北に5kmで、

going to assume that it was kind of a constant velocity.

変位は、北に5kmで、

What we are calculating is going to be his average velocity.

大文字で書こう

But don't worry about it, you can just

いや、全部書こう

assume that it wasn't changing over that time period.

北に向かって5km

So his velocity is, his displacement

割ることの、要した時間

was 5 kilometers to the north-- I'll write just a big capital.

正確に言うと

Well, let me just write it out, 5 kilometers north--

これは時刻についての変化だよ

over the amount of time it took him.

時折、

And let me make it clear.

これも、時刻の変化

This is change in time.

単にtと書いてある場合もあるし、

This is also a change in time.

または、ここに小さな三角形を入れる場合もあるよ

Sometimes you'll just see a t written there.

デルタという記号をね

Sometimes you'll see someone actually put

この前にね

this little triangle, the character delta,

変化量であることをはっきり表すんだ

in front of it, which explicitly means "change in."

とても難しい数学記号に見えるけど

It looks like a very fancy mathematics when you see that,

ある記号の前に三角形がおかれると、 それは変化量であることを表すんだ

but a triangle in front of something

これは、時刻の変化

literally means "change in."

北向きに5km進むのに

So this is change in time.

1時間かかったね

So he goes 5 kilometers north, and it took him 1 hour.

だから、時刻の変化は1時間だね

So the change in time was 1 hour.

ここに書くよ

So let me write that over here.

割ることの、1時間

So over 1 hour.

これはイコール、

So this is equal to, if you just look

数のところだけ見ると、

at the numerical part of it, it is

5割る1だね

5/1-- let me just write it out, 5/1-- kilometers,

5割る1と書いて、

and you can treat the units the same way

キロメートル

you would treat the quantities in a fraction.

単位の扱い方は、分数の中で数を扱うのと同じだよ

5/1 kilometers per hour, and then to the north.

5割る1　キロメートル割る時間

Or you could say this is the same thing

それと、北に向かってだね

as 5 kilometers per hour north.

同じこと次のように言ってもいいんだよ

So this is 5 kilometers per hour to the north.

5キロメートル毎時で北に、と

So that's his average velocity, 5 kilometers per hour.

5キロメートル毎時で北に向かって

And you have to be careful, you have to say "to the north"

これが平均速度だ

if you want velocity.

5キロメートル毎時

If someone just said "5 kilometers per hour,"

ここで気をつけてね

they're giving you a speed, or rate, or a scalar quantity.

北に、も付け加えなくちゃダメだよ。速度だから

You have to give the direction for it to be a vector quantity.

単に、5キロメートル毎時と言った場合は、

You could do the same thing if someone just said,

それは早さのことだよ

what was his average speed over that time?

または、レート

You could have said, well, his average speed, or his rate,

または、スカラー量のことだよ

would be the distance he travels.

ベクトル量には方向も与えないといけないんだ

The distance, we don't care about the direction now,

もしも、

is 5 kilometers, and he does it in 1 hour.

平均の早さはと聞かれたら

His change in time is 1 hour.

その場合は

So this is the same thing as 5 kilometers per hour.

平均の早さまたはレートは、移動した距離

So once again, we're only giving the magnitude here.

方向は考慮しないよ

This is a scalar quantity.

距離は5kmで

If you want the vector, you have to do the north as well.

一時間で移動するんだから

Now, you might be saying, hey, in the previous video,

時刻の変化は1時間だね

we talked about things in terms of meters per second.

だからこれは、5km毎時だね

Here, I give you kilometers, or "kil-om-eters,"

もう一度いうと

depending on how you want to pronounce it,

ここで与えられているのは大きさだけだよ

kilometers per hour.

これはスカラー量なんだ

What if someone wanted it in meters per second,

もしベクトル量を使いたかったら、北に と言わなきゃだめだよ

or what if I just wanted to understand how many meters he

ところで、もしかしたら

travels in a second?

ねえ、前回のビデオでは

And there, it just becomes a unit conversion problem.

メートル毎秒を使ったのに

And I figure it doesn't hurt to work on that right now.

ここではキロメートル

So if we wanted to do this to meters per second,

発音の仕方は君に任せるよ

how would we do it?

キロメートル毎時

Well, the first step is to think about how many meters we

もしこれをメートル毎秒で表したかったら、

are traveling in an hour.

または、彼が一秒間に何メートル移動したか 知りたい場合はどうしたらいいかな？

So let's take that 5 kilometers per hour,

単位の変換に関する問題だね

and we want to convert it to meters.

今から説明しても大丈夫だよね

So I put meters in the numerator,

じゃあ、もしメートル毎秒で表したいのなら

and I put kilometers in the denominator.

どうしたらいいかな？

And the reason why I do that is because the kilometers

先ずは、一時間に何メートル移動したか考えてみよう

are going to cancel out with the kilometers.

5km毎時を取り出して、

And how many meters are there per kilometer?

これをメートルに変換したいんだね

Well, there's 1,000 meters for every 1 kilometer.

だから、分子にメートルと書くよ

And I set this up right here so that the kilometers cancel out.

そして、分母にキロメートルと書くよ

So these two characters cancel out.

こうする理由は、

And if you multiply, you get 5,000.

キロメートルとキロメートルが約分されるからだよ

So you have 5 times 1,000.

1キロメートルは何メートルかな?

So let me write this-- I'll do it in the same color-- 5 times

1000メートルだね。1kmあたり

1,000.

1kmあたり1000メートル

So I just multiplied the numbers.

ここにおくよ。キロメートルが約分されるように

When you multiply something, you can switch around the order.

この二つの記号が約分されるんだ

Multiplication is commutative-- I always

かけると5になるね

have trouble pronouncing that-- and associative.

残った単位は

And then in the units, in the numerator, you have meters,

おっと、5000だったね

and in the denominator, you have hours.

5×1000

Meters per hour.

だからこれは、

And so this is equal to 5,000 meters per hour.

5×　同じ色を使うよ

And you might say, hey, Sal, I know

5×1000、ただ単に数の掛け合わせだよ

that 5 kilometers is the same thing as 5,000 meters.

かけ算では順序を変えてもいいんだ

I could do that in my head.

かけ算は可換だよ

And you probably could.

結合則の発音にいつも苦労するんだ

But this canceling out dimensions, or what's

それで単位は

often called dimensional analysis,

分子にメートルがあって

can get useful once you start doing really, really

分母には時間があるね

complicated things with less intuitive units than something

メートル毎時

like this.

これはイコール、5000メートル毎時だね

But you should always do an intuitive gut check right here.

もしかしたら、

You know that if you do 5 kilometers in an hour,

ねえ、

that's a ton of meters.

5kmは5000メートルだよ

So you should get a larger number

暗算できるよって言われるかな

if you're talking about meters per hour.

そう思うよ

And now when we want to go to seconds,

でも、ここで示した単位の約分

let's do an intuitive gut check.

または次元解析は

If something is traveling a certain amount in an hour,

複雑な計算をする時に本当に本当に役に立つんだ

it should travel a much smaller amount in a second,

見慣れない単位を使う場合にね

or 1/3,600 of an hour, because that's how many seconds there

でも、直感に基づいていつも確認するようにしてね

are in an hour.

5km毎時をメートルで表すと大きな数になるよね

So that's your gut check.

メートル毎時で表すと、とても大きな数になるはずだね

We should get a smaller number than this

これを秒に変えると

when we want to say meters per second.

直感的に考えるとどうかな

But let's actually do it with the dimensional analysis.

誰かがある距離を1時間で移動したとしたら、

So we want to cancel out the hours,

1秒間に移動した距離はもっと小さいはずだね

and we want to be left with seconds in the denominator.

または、1秒は1時間の1分の3600って知ってるかな

So the best way to cancel this hours in the denominator

1時間の中には沢山の秒が含まれてるんだ

is by having hours in the numerator.

直感的に考えると、これより小さな数になるはずだね

So you have hours per second.

メートル毎秒で表した場合には

So how many hours are there per second?

でも、次元解析の方法でやってみよう

Or another way to think about it, 1 hour,

時間を約分によって消して、分母に 秒が残るようにしたいんだね

think about the larger unit, 1 hour is how many seconds?

それで、分子の時間を約分する一番の方法は

Well, you have 60 seconds per minute times 60 minutes

だから、分子に時間をおいて

per hour.

時間割る秒

The minutes cancel out.

1秒は何時間かな？

60 times 60 is 3,600 seconds per hour.

別な考え方をしてみよう

So you could say this is 3,600 seconds for every 1 hour,

1時間、大きい方の単位を考えて、

or if you flip them, you would get 1/3,600 hour per second,

1時間は何秒かな？

or hours per second, depending on how you want to do it.

60秒は1分

So 1 hour is the same thing as 3,600 seconds.

かける60分は1秒

And so now this hour cancels out with that hour,

おっと、60分あたり1時間だね

and then you multiply, or appropriately divide,

分が約分されて

the numbers right here.

60×60は3600だね

And you get this is equal to 5,000 over 3,600 meters

秒割る時間

per-- all you have left in the denominator here is second.

これをひっくり返すと、

Meters per second.

1時間あたり3600秒だね

And if we divide both the numerator and the denominator--

または、これをひっくり返して

I could do this by hand, but just because this video's

1分の3600、時間割る秒

already getting a little bit long,

時間割る秒

let me get my trusty calculator out.

1時間は3600秒と同等だね

I get my trusty calculator out just for the sake of time.

そうすると、時間と時間が約分されて、

5,000 divided by 3,600, which would be really the same thing

正しく数を掛け合わせて、または、割って、

as 50 divided by 36, that is 1.3--

これは、5000割る3600

I'll just round it over here-- 1.39.

メートル割る、分子に残ったのは秒だね

So this is equal to 1.39 meters per second.

メートル毎秒

So Shantanu was traveling quite slow in his car.

ここで分子と分母を割ると、

Well, we knew that just by looking at this.

手で計算してもいいけど、少し長引いてるから

5 kilometers per hour, that's pretty much just letting

信頼のおける計算機を取り出して、

the car roll pretty slowly.

時間を節約するために