In this lesson, we're going to learn some really important things

このレッスンでは、本当に大切なことを学びます。

about a whole branch of math called Algebra.

代数学と呼ばれる数学の一分野についてだ。

The first thing you need to know is that Algebra is a lot like arithmetic.

まず知っておかなければならないのは、代数学は算数とよく似ているということだ。

It follows all the rules of arithmetic

算数のすべてのルールに従う

and it uses the same four main operations that arithmetic is built on:

算術と同じ4つの主要な演算を使用する：

addition, subtraction, multiplication and division.

足し算、引き算、掛け算、割り算。

But Algebra introduces a new element...

しかし、代数学は新たな要素を導入する...。

the element of the unknown.

未知の要素

When you were learning arithmetic,

算数を習っていた頃、

the only thing that was ever unknown was the answer to the problem.

唯一、未知だったのは、問題に対する答えだった。

For example, you might have the problem 1 + 2 = what?

例えば、「1＋2＝何？

The answer isn't known until you go ahead and do the arithmetic.

答えは算数をやってみないとわからない。

Now the important thing about Algebra is that when we don't know what a number is yet,

代数学で重要なことは、ある数字が何であるかまだわからないということである、

we use a symbol in its place.

その代わりに記号を使う。

that symbol is usually just any letter of the alphabet.

その記号は通常、アルファベットの任意の文字である。

A really popular letter to choose is the letter 'x'.

本当に人気のある文字は「x'」です。

So in arithmetic, we would just leave the problem like this: 1 + 2 = "blank"

だから算数では、このような問題をそのままにしておく：1 + 2 = "blank&quot；

and we'd write in the answer when we did the addition.

足し算をするときに答えを書き込む。

But in Algebra, we'd write it like this: 1 + 2 = x

しかし、代数学ではこう書く： 1 + 2 = x

The 'x' is a place holder that stands for the number that we don't know yet.

x'は、私たちがまだ知らない番号を表すプレースホルダーである。

What we have here is a very basic algebraic equation.

ここにあるのは、非常に基本的な代数方程式である。

An equation is just a mathematical statement that two things are equal.

方程式とは、2つのものが等しいという数学的な記述にすぎない。

An equation says, "the things on this side of the equal sign

等式は次のように言う。

have the same value as the things on the other side of the equal sign."

は等号の反対側にあるものと同じ価値を持つ；

In this case, our equation is telling us that the known values on this side (1+2)

この場合、この方程式は、こちら側の既知の値（1+2）を示している。

are equal to what's on the other side,

は反対側にあるものに等しい、

which happens to be the unknown value that we are calling 'x'.

この未知の値を 'x' と呼ぶことにする。

One of the main goals in Algebra

代数学の主な目標のひとつ

is to figure out what the unknown values in equations are.

は、方程式の未知の値が何であるかを把握することである。

And when you do that, it's called "solving the equations".

そうすることを方程式を解くと言うんだ。

In this equation, it's pretty easy to see that the unknown value is just 3.

この式で、未知の値が3であることは簡単にわかる。

All you have to do is actually add the 1 and 2 together on this side of the equation

実際に1と2を足すだけでいい。

and it turns into 3 = x, which is the same as x = 3.

となり、3＝xとなる。

So now we know what 'x' is! It's just 3.

x'が何であるかが分かった！ たった3.

That almost seems too easy, doesn’t it?

それは簡単すぎると思わないかい？

And that's why in Algebra, you are usually given an equation in a more complicated form

だから代数学では通常、もっと複雑な形の方程式が与えられる。

like this: x - 2 = 1.

x - 2 = 1のように。

This is exactly the same equation as 1 + 2 = x,

これは1＋2＝xとまったく同じ式である、

but it has been rearranged so that it's not quite as easy to tell what 'x' is.

しかし、何が'x'なのかが分かりにくいようにアレンジされている。

So in Algebra, solving equations is a lot like a game

代数学では、方程式を解くことはゲームに似ている。

where you are given mixed-up, complicated equations,

複雑な方程式を与えられる、

and it's your job to simplify them and rearrange them

それを単純化し、並べ替えるのがあなたの仕事です。

until it is a nice simple equation (like x = 3)

単純な方程式（x = 3のような）になるまで

where it's easy to tell what the unknown values are.

未知の値が何であるかは簡単にわかる。

We're going to learn a lot more about

についてもっともっと学んでいくつもりだ。

how you actually do that (how you solve equations)

実際にどうやるか（方程式をどう解くか）

in the next several videos,

次のビデオで

but for now, let's learn some important rules about

が、とりあえず、以下の重要なルールを学んでおこう。

how symbols can and can't be used in algebraic equations.

代数方程式の中で記号がどのように使われ、どのように使われないか。

The first rule you need to know is that the same symbol (or letter)

最初に知っておくべきルールは、同じ記号（または文字）は

can be used in different algebra problems to stand for different unknown values.

は、代数学のさまざまな問題で、さまざまな未知の値を表すために使われる。

For example, in the problem we just solved,

例えば、今解いた問題の場合、

the letter 'x' was used to stand for the number 3, right?

x'は数字の3の略ですよね？

But 'x' could stand for a different number in a different problem.

しかし、'x'は別の問題では別の数字を表すこともある。

Like, if someone asks us to solve the equation, 5 + x = 10.

例えば、「5 + x = 10」という方程式を解けと言われたら。

In order for the two sides of this equation to be equal,

この方程式の両辺が等しくなるようにする、

'x' must have the value '5' in this problem, because 5 + 5 = 10.

5+5=10なので、この問題では 'x'は '5'でなければならない。

So 'x' (or any other symbol) can stand for different values in different problems.

だから、'x'（あるいは他の記号）は、異なる問題で異なる値を表すことができる。

That's okay,

それでいいんだ、

but what's NOT okay is for a symbol

しかし、記号はダメだ。

to stand for different values in the same problem at the same time!

同じ問題で同時に異なる値を表す！

For example, what if you had the equation: x + x = 10?

例えば、「x + x = 10」という方程式があったとしよう。

This equation says that if we add 'x' to 'x' we will get 10.

この方程式は、'x'に'x'を足すと10になることを示している。

And there are a lot of different numbers we could add together to get 10, like 6 and 4.

そして、6と4のように、足して10になる数字はたくさんある。

But, if we had the first 'x' stand for 6 and the second 'x' stand for 4,

しかし、最初の'x'を6とし、2番目の'x'を4とする、

then 'x' would stand for two different value at the same time

その場合、'x'は同時に2つの異なる値を表すことになる。

and things could get really confusing!

そして、物事は本当に混乱するかもしれない！

If you wanted symbols to stand for two different numbers at the same time,

記号が同時に2つの異なる数字を表すようにしたい場合、

you would need to use two different symbols, like 'x' and 'y'.

のように、2つの異なる記号を使用する必要があります。

So in Algebra, whenever you see the same symbol repeated more than once in an equation,

だから代数学では、方程式の中で同じ記号が2回以上繰り返されるのを見るたびに、「この記号は何だろう？

it's representing the same unknown value.

それは同じ未知の値を表している。

Like if you see a really complicated Algebraic equation (like this),

例えば、すごく複雑な代数方程式（こんな感じ）を見たときのように、

where 'x' is repeated a lot of different times,

ここで'x'は何度も繰り返される、

all of those 'x's stand for the same value,

はすべて同じ値を表す、

and it will be your job to figure out what that value is.

その価値を見極めるのがあなたの仕事だ。

Okay, so for any particular equation,

では、特定の方程式について、

we can't use the same letter to represent two different numbers at the same time,

同じ文字を使って同時に2つの異なる数字を表すことはできない、

but what about the other way around?

だが、その逆はどうだろう？

Could we use two different letters to represent the same number?

同じ数字を表すのに2つの異なる文字を使うことはできるだろうか？

Yes! - Here's an example of that.

これがその例だ。

Let's say you have the equation: a + b = 2

a + b = 2 という方程式があるとしよう。

What could 'a' and 'b' stand for so that the equation is true?

a'と'b'は何を表しているのでしょうか？

Well, If 'a' was 0 and 'b' was 2, then the equation would be true.

もし、'a'が0で、'b'が2なら、方程式は真になる。

Or, we could switch them around.

あるいは、入れ替えることもできる。

If 'a' was 2 and 'b' was 0, the equation would also be true.

もし 'a'が2で 'b'が0であれば、この方程式も成り立つ。

But there's another possibility:

しかし、別の可能性もある：

If 'a' was 1 and 'b' was also 1, that would make the equation true, right?

もし 'a'が1で 'b'も1だったら、方程式は真になりますね？

So, even though 'a' and 'b' are different symbols,

つまり、'a'と'b'は異なる記号である、

and would usually be used to represent different numbers,

通常、異なる数字を表すのに使われる、

there are times when they might happen to represent the same number.

が同じ数字を表すこともある。

Oh, and this problem can help us understand something

そして、この問題はあることを理解するのに役立つ。

very important about how symbols are used in Algebra.

代数学で記号がどのように使われるかについて、非常に重要である。

Did you notice that there were different possible solution for this equation?

この方程式にはさまざまな解の可能性があることに気づいただろうか？

In other words, 'b' could have the value 0, 1, or 2 depending on what the value of 'a' was.

言い換えれば、'b'は、'a'の値に応じて、0、1、または2の値を持つことができる。

If 'a' is 0 then 'b' must be 2

もし 'a' が 0 ならば 'b' は 2 でなければならない。

If 'a' is 1 then 'b' must be 1

もし 'a' が 1 ならば 'b' は 1 でなければならない。

If 'a' is 2 then 'b' must be 0

もし 'a' が 2 ならば 'b' は 0 でなければならない。

'b' can't have two different values at the same time,

同時に2つの異なる値を持つことはできない、

but it's value can change over time if the value of 'a' changes.

しかし、 'a' の価値が変化すれば、その価値は時間とともに変化する。

In Algebra, 'b' is what's called a "variable" because it's value can 'vary' or change.

代数では、bは変数と呼ばれるもので、その値は変化する。

In fact, in this equation, both 'a' and 'b' are variables

実際、この式では 'a' と 'b' の両方が変数である。

because their values will change depending on the value of each other.

というのも、それらの値は互いの値によって変化するからだ。

Actually, it's really common in Algebra to refer to any letter as a variable,

実際、代数学ではどんな文字でも変数と呼ぶのが一般的だ、

since letters can stand for different values in different problems.

というのも、文字は問題によって異なる値を表すことがあるからだ。

But at Math Antics, we'll usually just use the word "variable"

しかしMath Anticsでは、通常「変数」という言葉を使います；

when we're talking about values that can change or vary in the same problem.

同じ問題で変化する可能性のある値について話しているとき。

Alright, so far we've learned that Algebra is a lot like arithmetic,

さて、ここまで代数学が算数と似ていることを学んできた、

but that in includes unknown values and variables that we can solve for in equations.

しかし、その中には方程式の中で解くことができる未知の値や変数が含まれている。

There's one other really important thing that I want to teach you

もうひとつ、本当に大切なことがある。

that will help you understand what's going on in a lot of Algebra problems,

多くの代数問題で何が起こっているのかを理解するのに役立ちます、

and it has to do with multiplication.

それは掛け算に関係している。

Here are the four basic arithmetic operations:

ここでは、基本的な四則演算について説明する：

addition, subtraction, multiplication and division.

足し算、引き算、掛け算、割り算。

Although in Algebra, you'll usually see division written in fraction form, like this.

代数学では、割り算を分数の形で書くのが普通である。

In Arithmetic, all four operations have the same status,

算数では、4つの演算はすべて同じ状態である、

but in Algebra, multiplication get's some special treatment.

しかし代数学では、掛け算は特別扱いされる。

In Algebra, multiplication is the 'default' operation.

代数学では、掛け算はデフォルトの演算である。

That means, if no other arithmetic operation is shown between two symbols,

つまり、2つの記号の間に他の算術演算が示されていない場合である、

then you can just assume they're being multiplied. The multiplication is 'implied'.

であれば、掛け算だと考えればいい。掛け算は暗黙の了解である。

For example, instead of writing 'a' times 'b',

例えば、'a'回 'b'と書く代わりに、

you can leave out the times symbol and just write 'ab'.

と書くと、回記号を省いて 'ab'と書くことができます。

Since no operation is shown between these two symbols,

この2つの記号の間には何の操作も示されていない、

you know that you're supposed to multiply 'a' and 'b'.

を掛け算することになっていることはご存知でしょう。

Of course, you can't actually multiply 'a' and 'b'

もちろん、実際に 'a&#39 と 'b&#39 を掛けることはできない；

until you figure out what numbers they stand for.

それが何の数字なのかがわかるまで。

The advantage of this rule about multiplication is that

この掛け算ルールの利点は

it makes many algebraic equations less cluttered and easier to write down.

これにより、多くの代数方程式が乱雑でなくなり、書きやすくなる。

For example, instead of this: a * b + c * d = 10

例えば、この代わりに次のようにする： a * b + c * d = 10

You could just write: ab + cd = 10.

ab + cd = 10と書けばいい。

You can also use this shorthand when you are multiplying

を掛けるときにも、この省略記法を使うことができる。

a variable and a known number... like 2x, which means the same thing as 2 times 'x'

変数と既知の数...例えば2xのように、2倍 'x&#39と同じ意味である；

or 3y which means the same thing as 3 times 'y'

または3yは3回 'y&#39と同じ意味である；

Since the symbol and the number are right next to each other,

記号と数字が隣り合っているからだ、

the multiplication is implied.

乗算は暗黙の了解である。

You don't have to write it down.

書き留める必要はない。

Finally some good news!

ようやく朗報だ！

Now I never have to write down that pesky multiplication symbol again!

これでもう、あの厄介な掛け算記号を書き留める必要はなくなった！

Oh yeah!!

そうなんだ！

Ah, not so fast...

ああ、そうもいかないか...。

there are some cases in Algebra where still need to use a multiplication symbol.

代数学では、掛け算の記号が必要な場合がある。

For example, what if you want to show 2 x 5?

例えば、2×5を表示したい場合は？

If you just get rid of the times symbol and put the '2' right next to the '5',

回記号をなくして、'2'を'5'の右隣に置くだけです、

it's going to look like the two-digit number twenty-five,

それは2桁の数字25のように見えるだろう、

which is NOT the same as 2 x 5.

これは2×5と同じではない。

So, whenever you need to show multiplication between two known numbers,

だから、既知の2つの数字の掛け算を示す必要があるときはいつでも、そのようにする、

you still have to use the times symbol, unless...

でない限り、タイムズ記号を使わなければならない。

you use parentheses instead.

の場合は、代わりに括弧を使う。

But aren't parentheses used to show grouping in math?

しかし、括弧は数学でグループ分けを示すのに使うのではないだろうか？

How can you use that to show multiplication?

掛け算を示すのにどう使う？

Ah, that's a good question.

いい質問だね。

Parentheses are used to group things,

括弧は物事をグループ化するために使われる、

but whenever you put two groups right next to each other,

しかし、2つのグループを隣り合わせにすると、いつもそうなる、

with no operation between them,

両者の間には何の操作もない、

guess what operation is implied.

どのような操作が暗示されているのだろうか。

Yep! Multiplication!

うん！ 掛け算！

For example, if you see the this,

例えば、このように表示されたとする、

it means that the group (a+b) is being multiplied by the group (x+y).

これは、グループ(a+b)とグループ(x+y)が掛け合わされていることを意味する。

We could put a times symbol between the groups, but we don't have to

グループの間に回記号を入れることもできるが、その必要はない。

because it's the default operation in Algebra.

なぜなら、それがAlgebraのデフォルトの操作だからだ。

The multiplication is just implied.

掛け算は暗示にすぎない。

So, going back to our problem: 2 x 5

では、問題に戻ろう。

If you wanted to, you could put each of the numbers inside parentheses like this,

その気になれば、それぞれの数字を次のように括弧の中に入れることもできる、

and then you could get rid of the multiplication sign.

そうすれば、掛け算記号を取り除くことができる。

Now this can't be confused with the number twenty-five,

これは25という数字と混同してはならない、

and since the groups are right next to each other,

しかも、グループ同士が隣り合っている、

you know that you need to multiply them.

を掛け合わせる必要があることを知っているだろう。

Of course, it might seem strange to have just one thing inside 'group' symbols like this,

もちろん、このように'グループ'記号の中に一つのものだけを入れるのは奇妙に思えるかもしれない、

but it's okay to do that in math.

でも、数学では大丈夫なんだ。

An alternate way that you could do the same thing would be

同じことをする別の方法は次の通りだ。

to put just one of the numbers in parentheses, like this.

のように、括弧の中に数字をひとつだけ入れる。

Again, you won't confuse this with a two-digit number

繰り返しますが、2桁の数字と混同することはありません。

and you know that multiplication is implied.

そして、掛け算が暗黙の了解であることを知っているはずだ。

Okay, so we've learned that Algebra is a lot like arithmetic,

さて、代数学は算数とよく似ていることを学んだ、

but it involves unknown values or variables that we need to solve for.

しかし、これは未知の値や変数を含んでおり、それを解く必要がある。

And we learned that in Algebra, the multiplication sign is usually not shown,

そして、代数学では掛け算の記号は通常表示されないことを学んだ、

because it's the default operation.

なぜなら、それがデフォルトの操作だからだ。

You can just assume that two things right next to each other are being multiplied.

隣り合う2つのものが掛け合わされていると考えればいい。

But why do we even care about Algebra?

しかし、なぜ私たちは代数にこだわるのだろうか？

Is it good for anything in the 'real world'?

それは現実の世界では何の役にも立たないのだろうか？

or is it just a bunch of tricky problems that keep students busy in school?

それとも、学生を学校で忙しくさせるためのトリッキーな問題集なのだろうか？

Actually, Algebra is very useful for describing or "modeling" things in the real world.

実際、代数学は現実世界の物事を記述したり、モデル化したりするのに非常に役立つ。

It's a little hard to see that when you are just looking

ただ見ているだけでは、それを理解するのは少し難しい。

at all these numbers and symbols on the page of a math book.

数学の教科書のページには、数字や記号が並んでいる。

But, it's a lot easier to see

しかし、その方がはるかに簡単だ。

when you start taking algebraic equations and graphing their solutions.

代数方程式を解き、その解をグラフ化するようになったとき。

Graphing an equation is like using its different solutions

方程式をグラフ化することは、その解を使い分けることと同じである。

to draw simple lines and curves that can be used to describe and predict things in real life.

実生活で物事を説明したり予測したりするのに使える簡単な直線や曲線を描く。

For example, there's a whole class of equations in Algebra

例えば、代数学には方程式のクラスがある。

called "linear" equations because they form straight lines when you graph them.

方程式はグラフにすると直線になるので、一次方程式と呼ばれる。

Those sorts of equations could help you describe the slope of a roof

この種の方程式は、屋根の勾配を表現するのに役立つだろう。

or tell you how long it will take to get somewhere.

あるいは、どこかに行くのにどれくらい時間がかかるかを教えてくれる。

Another class of algebraic equations, called "quadratic" equations

二次方程式と呼ばれる代数方程式もある。

can be used to design telescope lenses,

は望遠鏡のレンズ設計に使用できる、

or describe how a ball flies through the air,

あるいは、ボールがどのように空中を飛ぶかを描写する、

or predict the growth of a population.

あるいは人口の増加を予測する。

So Algebra is used all the time in fields like

だから、代数学は次のような分野で常に使われている。

science, engineering, economics and computer programming.

科学、工学、経済学、コンピューター・プログラミング。

And even though you might not need Algebra to get by in your day to day life,...

そして、日常生活でアルジェブラは必要ないかもしれないが......。

...so divide both sides by 3. That means x = 42.

両辺を3で割る。

So... in three... two... one...

だから...3...2...1...

YES!!

そうだ！

Alright... now to see how much butter I need.

さてと...どれくらいのバターが必要かな。

It's still a very useful part of math.

それでも数学の非常に有用な部分だ。

Thanks for watching Math Antics, and I'll see ya next time!

また次回お会いしましょう！

Learn more at www.mathantics.com

詳しくはwww.mathantics.com