There are as many even numbers as there are numbers.

「偶数は自然数と同じだけあります」

Really? I thought.

「本当に？」と思いました 確かに自然数も偶数も 無限にあり 同じだけあると言えるかもしれませんが

Well, yeah. There are infinitely many of both.

しかしその一方で 偶数は自然数全体の 一部に過ぎず 他に奇数もあるので

So I suppose there are the same number of them.

自然数全体は 偶数より たくさんあるはずです

But on the other hand, the even numbers are only part of the whole numbers.

先生が言わんとしたことを理解するために まず２つの 集合の大きさが同じとはどういうことか考えてみましょう

All the odd numbers are left over.

右手と左手に同じ本数の指があると言うとき その意味するところは何でしょう？

So, there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

もちろん どちらの手にも５本の指がありますが 実はもっと簡単に示せます

To see what my teacher was getting at,

数える必要はなく ただ手を合わせて 一本ずつ重ねていけばいいのです

Let's first think about what it means for two sets to be the same size.

実際 ３より大きい数を表す言葉のない言語を 使っていた古代の人々は

What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand

このトリックを使っていたと考えられています 例えば 囲いから羊を出し放牧するとき

as I do on my left hand?

一匹が出るごとに石を取っておき 帰って来たら石を戻すことで

Of course, I've five fingers on each. But it's actually simpler than that.

何匹が外にいるのか分かり 戻ってない羊がいるかどうか頭数を数えることなく 知ることができます

I don't have to count, I only need to see that I can match them up one to one.

対応付けが 数え上げより本質的である例を もう１つ挙げましょう私が満員の講堂で話していて 席は全て埋まり 立っている人がいないとすると

In fact, we think that some ancient people,

何人いるかは 分からないものの

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three,

席数と同じ数だけ聴衆がいる ことが分かります

used this sort of matching.

つまり２つの集合が同じ 大きさであるということは

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

それぞれの集合の要素が 何らかの方法で １つずつ対応づけられるということです

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one

私の４年生の時の先生は 自然数を１列に並べ その下にそれを２倍したものを書きました

and then putting those stones back one by one when the sheep return,

見て分かるように 下の列は全ての偶数を含んでおり １対１で対応しています

so that you know if any are missing without really counting.

つまり 自然数が存在するのと同じだけ 偶数も存在するのです

As another example of matching being more fundamental than counting,

しかし偶数は自然数の一部でしかないという事実が 依然頭に引っかかります

if I'm speaking to a packed auditorium,

かといって それで右手と左手の指の数が違う ことになるのでしょうか？

where every seat is taken and no one is standing,

もちろん違います　ある方法で要素を対応付け ようとして うまくいかなかったとしても

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

そのことから言えることは 何もありません

even though I don't know how many there are of either.

でも２つの集合の要素を 対応付ける方法を見つけられたなら

So what we really mean when we say that two sets are the same size

その２つの集合の要素数は 等しいと言えるのです

is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way.

分数は全て列挙できるでしょうか？ 難しいかもしれません 何しろ分数はたくさんあります！

So my 4th grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row and below each we have its double.

何を最初に挙げたらいいのか？ 全て列挙されているか どうすれば分かるのか？実は 全ての分数を列挙する うまい方法があります

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

ゲオルク・カントールが 19世紀末に考案しました

and we have a one-to-one match.

まず 全ての分数を格子状上に並べます 全部あるのが分かります 例えば117/243であれば

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

117行223列に見つかります

But what still bothers us is our distress over the fact that the even numbers seem to be only part of the whole numbers.

次に左上から始め 対角線上に行ったり 来たりしてリストを作っていきます2/2のように 前に出てきたのと 同じ数は 飛ばすことにします

But does this convince you that I don't have the same number of fingers

すると全ての分数のリストが得られます 分数は自然数より多いはずですが

on my right hand as I do on my left?

それでも自然数全体と分数全体の間で １対１の対応付けができるのです

Of course not!

本当に面白くなるのはここからです

It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work.

ご存知かもしれませんが 実数 つまり数直線上にある 数は すべてが分数であるわけではありません

That doesn't convince us of anything.

２の平方根や πなどがその例です

If you can find one way in which the elements of two sets do match up,

このような数は無理数(irrational)といいます そんな数は不合理だというわけではなく

then we say those two sets have the same number of elements.

分数は整数の比(ratio)であるために有理数(rational)と呼ばれ それ以外は有理数でない つまり無理数なのです

Can you make a list of all the fractions?

無理数は非循環小数で表されます

This might be hard. There are a lot of fractions.

自然数全体と 有理数・無理数両方を含む 小数全体の集合の間で

and it's not obvious what to put first,

１対１の対応付けは可能なのでしょうか？ つまり小数全体は列挙できるのでしょうか？

or how to be sure all of them are on the list.

カントールはそれが不可能であることを証明しました 単に方法を知らないということではなく 不可能なのです

Nevertheless, there is a very clever way that we can make a list of all the fractions.

仮に小数全体を列挙したとしましょう これからそのリストにない小数を作ることで

This was first done by Georg Cantor in the late 1800s.

そのリストが不完全であることを示します

First, we put all the fractions into a grid.

問題の小数を１桁ずつ作って行きます

They're all there.

小数第１位を決めるために リスト中で最初の数の小数第１位に注目します

For instance, you can find, say, 117 over 243

もしその数が１だったら２を それ以外なら１を選びます小数第２位を決めるために ２番目の数の小数第２位に注目します

in the 117th row and 243rd column.

ここでも同様に その数が１であれば２を そうでなければ１を選びます

Now, we make a list out of this by starting at the upper left, and sweeping back and forth diagonally,

どうなるかお分かりでしょうか？ そうして作った小数は このリスト中に存在し得ないのですなぜでしょう？ その数は 例えば143番目の数で ありうるでしょうか？ いいえ この小数の小数第143位は

skipping over any fraction, like 2/2,

リストの143番目の数の小数第143位とは異なります そうなるように作ったんです

that represents the same number as one we've already picked.

リストは不完全だったわけです 今作った小数が含まれていません

And so we get a list of all the fractions,

どんなリストを与えられようと 同様の操作で そのリストに無い小数を作ることができます

which means we've created a one-to-one match between the whole numbers and the fractions,

つまり 我々は驚くべき 事実に直面したわけです

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

小数は列挙不可能なのです 小数の全体は 自然数全体の無限大よりも大きな無限大ということです

OK. Here's where it gets really interesting.

我々に馴染み深い無理数は ２の平方根や 円周率など わずかしかありませんが

You may know that not all real numbers – that is, not all the numbers on a number line – are fractions.

無理数全体の無限大は 分数の無限大よりも大きいのです

The square root of two and pi, for instance.

かつてこう言った人がいます 有理数 (分数) は 夜空の星のようであり

Any number like this is called "irrational".

無理数は 夜空の黒い部分のようだと

Not because it's crazy or anything,

カントールはまた どのような無限集合に対しても その集合の部分集合全体からなる集合を構成すると

but because the fractions are ratios of whole numbers,

元の集合よりも高位の無限大が得られることも示しました 無限集合があれば

and so are called 'rationals,' meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

その部分集合全体の集合を作ることで より大きな集合が得られ その結果に対して同じ操作をすればさらに大きな集合が得られ それをいくらでも繰り返していけます

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

異なる大きさの無限大が 無数に存在するのです

So can we make a one-to-one match between the whole numbers and the set of all the decimals?

この考えに納得いかないとしたら それはあなただけではありません カントールの時代の偉大な数学者の中にもこれにうろたえた人がいたのです 彼らはこの概念無しでも数学が成り立つように

Both the rationals and the irrationals?

無限大の違いを無意味なものに しようと試みました

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

カントールは個人的にも中傷されたために 重度の鬱に悩まされ

Cantor showed that you can't.

精神病院への入退院を繰り返しながら 半生を過ごしました

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

しかし結果的に彼の考えが勝ちました 今日では根本的かつ偉大な業績だと考えられています

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

全ての数学研究者がこのアイデアを受け入れ 全ての数学科の学生が学び

I'm going to show you that you didn't succeed,

私は数分でこの考えを 説明しました

by producing a decimal that's not on your list.

いつの日にか 一般常識になっているかもしれません

I'll construct my decimal one place at a time.

話には続きがあります 全ての小数(実数)の集合は 自然数全体の集合より高位の無限大だと指摘しましたが

For the first decimal place of my number,

カントールは これら２つの無限大の間に 異なる大きさの無限大は無いかと考えました

I'll look at the first decimal place of your first number.

彼は ないだろうと考えていたものの それを証明することはできませんでした

If it's a 1, I'll make mine a 2.

カントールの予想は「連続体仮説」として 知られるようになりました

Otherwise, I'll make mine a 1.

1900年に偉大な数学者ダフィット・ヒルベルトは 数学における最も重要な未解決問題の１つとして

For the second place of my number,

この連続体仮説を挙げました

I'll look at the second place of your second number.

20世紀中にこの問題は解決されましたが その結論は 全く予想外で 旧来の考えを根底から覆すものでした

Again, if yours is a 1, I'll make mine a 2,

1920年代にクルト・ゲーデルが 連続体仮説を偽であると 証明することは不可能だと示し

and otherwise i'll make mine a 1.

1960年代にポール・J ・コーエンが 連続体仮説を 真であると証明することも不可能だと示したのです

See how this is going?

これらを合わせると 数学には答え得ない問が存在することになります

The decimal I produce can't be on your list.

実に驚くべき結論です

Why? Could it be, say, your 143rd number?

数学は人類の英知の粋だと 考えられていますが

No, because the 143rd place of my decimal

その数学ですら理解に限りが あることが分かったのです

is different from the 143rd place of your 143rd number.

それでも数学には 我々が考えるべき 本当に素晴らしいものあります

I made it that way.

Your list is incomplete, it doesn't contain my decimal number.

And no matter what list you give me, I can do the same thing,

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

the decimal numbers cannot be put on a list.

They represent a bigger infinity than the infinity of whole numbers.

So even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

The infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals – the fractions – are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

Cantor also showed that for any infinite set,

forming a new set made of all the subsets of the original set

represents a bigger infinity than that original set.

This means that once you have one infinity,

you can always make a bigger one by making a set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making a set of all subsets of that one, and so on.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you're not alone.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff.

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression.

He spent the last half of his life in and out of mental institutions.

But eventually, his ideas won out.

Today they are considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

every college math major learns them,

and I've explained them to you in a few minutes.

Someday, perhaps, they'll be common knowledge.

There's more.

We just pointed out that the set of decimal numbers –

that is, the real numbers – is a bigger infinity than the set of whole numbers.

Cantor wondered if there are infinities of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis as the most important unsolved problem in mathematics.

The 20th century saw a resolution of this problem,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Godel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then in the 1960s, Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Taken together, these results mean that there are unanswerable questions in mathematics,

a very stunning conclusion.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

but we now know that even mathematics had its limitations.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.