Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.

本質的には３つの理由があります計算するため 応用するため そして 発想するためです 発想に時間をかけないのは 残念なことですが・・・

Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively.

数学はパターンの科学であり、論理的、批判的、創造的に考える方法を学ぶためにそれを研究しています。

But too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?", then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test.

しかし、学校で学ぶ数学の多くは、効果的な動機付けがなされていません。生徒が「なぜこれを学ぶのか」と尋ねると、「今度の数学の授業や先のテストで必要になる」という答えが返ってくることが多いのです。

But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind?

でも、たまには「楽しいから」「美しいから」「心がワクワクするから」などという理由で、数学をやってみるのもいいのではないでしょうか？

Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers.

さて、このようなことが起こるのを見たことがない人も多いと思いますので、私の好きな数字の集まりであるフィボナッチ数列で簡単に例を挙げましょう。

Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great!

やったー！ここにもフィボナッチ数列のファンがいますね。素晴らしい！

Now these numbers can be appreciated in many different ways.

現在、これらの数字はさまざまな形で評価することができます。

From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two.

計算上では、1＋1＝2というようにわかりやすい数列です。

Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on.

すると、1＋2は3、2＋3は5、3＋5は8、というようになります。

Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today.

「フィボナッチ」の本名は実はピサのレオナルドという人物で、彼の著書『算盤の書』で この数列が紹介され、現在使われる計算方法は この本を通して 西洋世界に伝わりました。

In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often.

応用のパターンから言うとフィボナッチ数は 自然界にあふれています。

The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.

花びらの枚数はフィボナッチ数、ひまわりやパイナップルの螺旋の数もフィボナッチ数になる傾向があるそうです。

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display.

フィボナッチ数の応用は他にもたくさんありますが、私が最も感動したのは、フィボナッチ数が示す美しい数列です。

Let me show you one of my favorites.

私のお気に入りを一つ紹介します。

Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't?

あなたは数字を2乗するのが好きだとします。正直なところ、嫌いな人はいないでしょう。

Let me show — let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers, ok?

フィボナッチ数の最初のいくつかをそれぞれ 2乗してみましょうか。

So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on, alright?

1の2乗は1、2の2乗は4、3の2乗は9、5の2乗は25、というかんじです、いいですか？

Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right?

さて、連続したフィボナッチ数を足すと、次のフィボナッチ数が得られるのは当然です。そうでしょう？

That's how they're created.

そういう作り方ですから。

But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together.

でも 2乗した数 同士を加えても何も 起こらないと思うでしょう。

But check this out.

でも ご覧ください。

One plus one gives us two, and one plus four gives us five.

1＋1は2、1＋4は5になります。

And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.

そして、4＋9は13、9＋25は34、そうです、このパターンが続くのです。

In fact, here's another one.

実は もう一つあります。

Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

例えば、フィボナッチ数の最初の数個の二乗を足して見ようと思ったとする。

Let's see what we get there.

どうなるか見てみましょう。

So one plus one plus four is six.

つまり1 + 1 + 4 = 6 です。

Add nine to that, we get 15.

これに 9を加えると 15になります。

Add 25, we get 40.

さらに25を加えると 40になります。

Add 64, we get 104.

さらに64を加えると、104になります。

Now look at those numbers.

出てきた数を見てみましょう。

Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.

フィボナッチ数には なっていませんが、よく見ると フィボナッチ数が 隠れていますよ。

You see it? I'll show it to you.

わかりましたか？ 見せてあげましょう。

Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight. Two, three, five, eight, who do we appreciate?

6は2の3乗、15は3の5乗、40は5の8乗です。2、3、5、8、わかりますか？

Fibonacci! Of course.

フィボナッチ数ですよね。

Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true.

さて こんな規則性を 見つけるのは面白いですが、なぜそうなるかを理解すれば さらに楽しくなります。

Let's look at that last equation.

一番下の方程式を見てください。

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13?

なぜ、1、1、2、3、5、8の2乗を足すと、8×13になるのか？

I'll show you by drawing a simple picture.

簡単な図で示します。

Alright? We'll start with a one-by-one square, and next to that put another one-by-one square.

1 x 1 の正方形から始めて隣に 1 x 1 の正方形を置きます。

Together, they form a one-by-two rectangle.

合わせると 1 x 2 の 長方形ができます。

Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?

その下に 2 x 2 の正方形 、隣に 3 x 3 の正方形を置き また下に 5 x 5 の正方形 、隣に 8 x 8 の正方形を置くと 大きな長方形が出来ます。

Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle?

さて 簡単な質問をしましょう。長方形の面積は？

Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right?

一つのやり方は面積は正方形の面積の 合計ですよね。

Just as we created it.

そう作ったのですから。

It's one squared plus one squared, plus two squared, plus three squared, plus five squared, plus eight squared. Right?

1の2乗＋1の2乗、2の2乗、3の2乗、5の2乗、8の2乗です。そうですよね？

That's the area.

これが面積です。

On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right?

一方、こちらは長方形ですから、面積は高さ×底辺で、高さは明らかに8、底辺は5＋8で、次のフィボナッチ数である13になるんです。そうでしょう？

So the area is also eight times 13.

だから面積は 8 x 13 です。

Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.

面積を２種類の方法で計算できましたが、 結果はお互いに同じなので 1 1 2 3 5 8 を二乗を足すと 8 x 13 になると言えるのです。

Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.

さて この作業を続けると13 x 21や 21 x 34といった長方形を 作り続けることができます。

Now check this out.

では、これをご覧ください。

If you divide 13 by eight, you get 1.625.

13を8で割ってみると1.625になります。

And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.

そして、大きい方の数字を小さい方の数字で割ると、これらの比率はどんどん1.618に近づいていきます。この数字は多くの人に「黄金比」として知られ、何世紀にもわたって数学者、科学者、芸術家を魅了してきた数字なのです。

Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools.

さて、私がこのような話をしたのは、多くの数学がそうであるように、数学にも美しい側面があり、学校では十分に注目されていないのではないかと恐れているからです。

We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.

計算を学ぶことに多くの時間を費やしていますが、応用を忘れてはいけません。その応用の中で最も重要なのは、考え方を学ぶことでしょう。

If I could summarize this in one sentence, it would be this:

ひとことで言えば、こんな感じでしょうか。

Mathematics is not just solving for X, it's also figuring out why.

「数学は単にXを解くだけでなく、その理由を考えることが重要です。」

Thank you very much.

どうもありがとうございました。