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This may look like a neatly arranged stack of numbers,
綺麗に数字が積み重なっているように見えるかもしれません。
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but it's actually a mathematical treasure trove.
と思っていましたが、実は数学の宝庫なのです。
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Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.
インドの数学者たちは、それをメルー山の階段と呼んでいました。
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In Iran, it's the Khayyam Triangle.
イランではカイヤムトライアングルです。
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And in China, it's Yang Hui's Triangle.
そして中国では楊貴妃の三角関係です。
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To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle
西洋の多くの人にはパスカルの三角形として知られています。
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after French mathematician Blaise Pascal,
フランスの数学者ブレーズ・パスカルにちなんで
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which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,
彼は明らかにパーティーに遅れていたので、少し不公平に思える。
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but he still had a lot to contribute.
しかし、彼はまだ貢献できることがたくさんありました。
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So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?
では、世界中の数学者を魅了しているのは何なのでしょうか?
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In short, it's full of patterns and secrets.
要するに、パターンと秘密が詰まっているのです。
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First and foremost, there's the pattern that generates it.
何よりもまず、それを生み出すパターンがあります。
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Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.
1つから始めて、その両側の見えないゼロを想像してみてください。
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Add them together in pairs, and you'll generate the next row.
ペアで足していくと、次の行が生成されます。
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Now, do that again and again.
さて、それを何度も何度もやってください。
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Keep going and you'll wind up with something like this,
続けていると、こんな風になってしまいます。
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though really Pascal's Triangle goes on infinitely.
しかし、パスカルの三角形は無限に続いています。
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Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion
さて、各行は二項展開の係数と呼ばれるものに対応しています
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of the form (x+y)^n,
(x+y)^nの形をしています。
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where n is the number of the row,
ここで、nは行の数です。
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and we start counting from zero.
とゼロから数え始めます。
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So if you make n=2 and expand it,
なので、n=2にして展開すると
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you get (x^2) + 2xy + (y^2).
(x^2) + 2xy + (y^2)となります。
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The coefficients, or numbers in front of the variables,
係数、つまり変数の前の数字。
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are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.
はパスカルの三角形のその行の数字と同じです。
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You'll see the same thing with n=3, which expands to this.
n=3でも同じことがわかりますが、これが拡大してこうなります。
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So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.
そこで、三角形を使えば、これらの係数をすべて簡単に調べることができます。
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But there's much more.
でも、それ以外にもたくさんあります。
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For example, add up the numbers in each row,
例えば、各行の数字を足し算する。
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and you'll get successive powers of two.
と、2つの連続した力を得ることができます。
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Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.
または、与えられた行の中で、各数値を10進数展開の一部として扱います。
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In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).
つまり、2列目は(1×1)+(2×10)+(1×100)となります。
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You get 121, which is 11^2.
121が得られるので、11^2になります。
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And take a look at what happens when you do the same thing to row six.
6列目に同じことをしたらどうなるか見てみましょう。
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It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.
足して1,771,561となり、11^6となります。
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There are also geometric applications.
幾何学的な応用もあります。
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Look at the diagonals.
対角線を見てください。
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The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,
最初の2つはあまり面白くない:すべての1と、その後に正の整数。
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also known as natural numbers.
自然数とも呼ばれています。
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But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers
しかし、次の対角線上の数字は三角数と呼ばれています。
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because if you take that many dots,
それだけの点を取れば
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you can stack them into equilateral triangles.
正三角形に重ねることができます。
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The next diagonal has the tetrahedral numbers
次の対角線には四面体の数があります。
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because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.
なぜなら、同じように、それだけの数の球体を四面体に積み重ねることができるからです。
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Or how about this: shade in all of the odd numbers.
または、これはどうでしょうか:奇数のすべての陰影。
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It doesn't look like much when the triangle's small,
三角形が小さいとあんまり見えないな
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but if you add thousands of rows,
が、何千行も追加してしまうと
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you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.
シエルピンスキーの三角形として 知られているフラクタルができます
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This triangle isn't just a mathematical work of art.
この三角形は単なる数学的な芸術作品ではありません。
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It's also quite useful,
これもかなり便利です。
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especially when it comes to probability and calculations
確率計算上
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in the domain of combinatorics.
組み合わせ論の領域で
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Say you want to have five children,
5人の子供が欲しいと言って
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and would like to know the probability
と確率を知りたい
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of having your dream family of three girls and two boys.
女の子3人と男の子2人の夢の家族を持つことの
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In the binomial expansion,
二項展開で
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that corresponds to girl plus boy to the fifth power.
女の子+男の子に対応した第5の力になります。
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So we look at the row five,
そこで5列目を見てみます。
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where the first number corresponds to five girls,
ここで、最初の数字は5人の女の子に対応しています。
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and the last corresponds to five boys.
と、最後の方は5人の男の子に対応しています。
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The third number is what we're looking for.
3つ目の数字は、私たちが求めているものです。
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Ten out of the sum of all the possibilities in the row.
列の可能性の総和のうち10個
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so 10/32, or 31.25%.
だから10/32か31.25%。
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Or, if you're randomly picking a five-player basketball team
もしくは、5人制バスケチームをランダムで選んでいる場合は
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out of a group of twelve friends,
12人の友達の中から
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how many possible groups of five are there?
五つの可能性はいくつありますか?
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In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,
組合せの用語では、この問題は12が5を選択するように表現されます。
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and could be calculated with this formula,
と、この式で計算することができました。
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or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle
三角形の12行目の6番目の要素を見てみましょう。
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and get your answer.
と答えを導き出します。
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The patterns in Pascal's Triangle
パスカルの三角形のパターン
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are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.
は、数学の優雅に織り成された布の証です。
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And it's still revealing fresh secrets to this day.
そして、それは今日に至るまで、今でも新鮮な秘密を明らかにしています。
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For example, mathematicians recently discovered a way to expand it
例えば、数学者は最近、それを拡張する方法を発見しました。
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to these kinds of polynomials.
をこの種の多項式に変換します。
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What might we find next?
次は何が見つかるかもしれませんか?
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Well, that's up to you.
まあ、それはあなた次第です。