but it's actually a mathematical treasure trove.

と思っていましたが、実は数学の宝庫なのです。

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

インドの数学者たちは、それをメルー山の階段と呼んでいました。

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

イランではカイヤムトライアングルです。

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

そして中国では楊貴妃の三角関係です。

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

西洋の多くの人にはパスカルの三角形として知られています。

after French mathematician Blaise Pascal,

フランスの数学者ブレーズ・パスカルにちなんで

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

彼は明らかにパーティーに遅れていたので、少し不公平に思える。

but he still had a lot to contribute.

しかし、彼はまだ貢献できることがたくさんありました。

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

では、世界中の数学者を魅了しているのは何なのでしょうか？

In short, it's full of patterns and secrets.

要するに、パターンと秘密が詰まっているのです。

First and foremost, there's the pattern that generates it.

何よりもまず、それを生み出すパターンがあります。

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

1つから始めて、その両側の見えないゼロを想像してみてください。

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

ペアで足していくと、次の行が生成されます。

Now, do that again and again.

さて、それを何度も何度もやってください。

Keep going and you'll wind up with something like this,

続けていると、こんな風になってしまいます。

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

しかし、パスカルの三角形は無限に続いています。

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

さて、各行は二項展開の係数と呼ばれるものに対応しています

of the form (x+y)^n,

(x+y)^nの形をしています。

where n is the number of the row,

ここで、nは行の数です。

and we start counting from zero.

とゼロから数え始めます。

So if you make n=2 and expand it,

なので、n=2にして展開すると

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

(x^2) + 2xy + (y^2)となります。

The coefficients, or numbers in front of the variables,

係数、つまり変数の前の数字。

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

はパスカルの三角形のその行の数字と同じです。

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

n=3でも同じことがわかりますが、これが拡大してこうなります。

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

そこで、三角形を使えば、これらの係数をすべて簡単に調べることができます。

But there's much more.

でも、それ以外にもたくさんあります。

For example, add up the numbers in each row,

例えば、各行の数字を足し算する。

and you'll get successive powers of two.

と、2つの連続した力を得ることができます。

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

または、与えられた行の中で、各数値を10進数展開の一部として扱います。

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

つまり、２列目は（１×１）＋（２×１０）＋（１×１００）となります。

You get 121, which is 11^2.

121が得られるので、11^2になります。

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

6列目に同じことをしたらどうなるか見てみましょう。

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

足して1,771,561となり、11^6となります。

There are also geometric applications.

幾何学的な応用もあります。

Look at the diagonals.

対角線を見てください。

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

最初の2つはあまり面白くない：すべての1と、その後に正の整数。

also known as natural numbers.

自然数とも呼ばれています。

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

しかし、次の対角線上の数字は三角数と呼ばれています。

because if you take that many dots,

それだけの点を取れば

you can stack them into equilateral triangles.

正三角形に重ねることができます。

The next diagonal has the tetrahedral numbers

次の対角線には四面体の数があります。

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

なぜなら、同じように、それだけの数の球体を四面体に積み重ねることができるからです。

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

または、これはどうでしょうか：奇数のすべての陰影。

It doesn't look like much when the triangle's small,

三角形が小さいとあんまり見えないな

but if you add thousands of rows,

が、何千行も追加してしまうと

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

シエルピンスキーの三角形として 知られているフラクタルができます

This triangle isn't just a mathematical work of art.

この三角形は単なる数学的な芸術作品ではありません。

It's also quite useful,

これもかなり便利です。

especially when it comes to probability and calculations

確率計算上

in the domain of combinatorics.

組み合わせ論の領域で

Say you want to have five children,

5人の子供が欲しいと言って

and would like to know the probability

と確率を知りたい

of having your dream family of three girls and two boys.

女の子3人と男の子2人の夢の家族を持つことの

In the binomial expansion,

二項展開で

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

女の子＋男の子に対応した第5の力になります。

So we look at the row five,

そこで5列目を見てみます。

where the first number corresponds to five girls,

ここで、最初の数字は5人の女の子に対応しています。

and the last corresponds to five boys.

と、最後の方は5人の男の子に対応しています。

The third number is what we're looking for.

3つ目の数字は、私たちが求めているものです。

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

列の可能性の総和のうち10個

so 10/32, or 31.25%.

だから10/32か31.25％。

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

もしくは、5人制バスケチームをランダムで選んでいる場合は

out of a group of twelve friends,

12人の友達の中から

how many possible groups of five are there?

五つの可能性はいくつありますか？

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

組合せの用語では、この問題は12が5を選択するように表現されます。

and could be calculated with this formula,

と、この式で計算することができました。

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

三角形の12行目の6番目の要素を見てみましょう。

and get your answer.

と答えを導き出します。

The patterns in Pascal's Triangle

パスカルの三角形のパターン

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

は、数学の優雅に織り成された布の証です。

And it's still revealing fresh secrets to this day.

そして、それは今日に至るまで、今でも新鮮な秘密を明らかにしています。

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

例えば、数学者は最近、それを拡張する方法を発見しました。

to these kinds of polynomials.

をこの種の多項式に変換します。

What might we find next?

次は何が見つかるかもしれませんか？

Well, that's up to you.

まあ、それはあなた次第です。