So what's is the domain?

関数の定義域のビデオへようこそ。

The domain of a function, you'll often hear it combined

何が関数の定義域ですか？

with domain and range.

多くの場合、関数の定義域と値域は

But the domain of a function is just what values can I put into

同時に扱われています。

a function and get a valid output.

関数の定義域は関数に入れることができる値です。

So let's start with something examples.

関数の定義域は関数に入れることができる値です。

Let's say I had f of x is equal to, let's say, x squared.

それでは、例を行いましょう。

So let me ask you a question.

f（x）を

What values of x can I put in here so I get a valid

xの2乗としましょう。

answer for x squared?

では、質問です。

Well, I can really put anything in here, any real number.

ここに置くことがでるx の値は

So here I'll say that the domain is the set of x's

x の 2乗が得られる値は、何ですか。

such that x is a member of the real numbers.

任意の実数置くことができます。

So this is just a fancy way of saying that OK, this r with

ここで、関数の定義域は

this kind of double backbone here, that just means real

x が実数の数です。

numbers, and I think you're familiar with real numbers now.

これは、このrが実数なら、

That's pretty much every number outside of the complex numbers.

大丈夫という意味です。

And if you don't know what complex numbers

実数に精通していると思います。

are, that's fine.

つまり、複素数以外です。

You probably won't need to know it right now.

複素数については

The real numbers are every number that most people are

知らなくてもいいです。

familiar with, including irrational numbers, including

今知っている必要はありません。

transcendental numbers, including fractions -- every

実数は、ほとんどの皆さん馴染みの数で

number is a real number.

無理数や

So the domain here is x -- x just has to be a member

分数を含む、すべての

of the real numbers.

実際の数です。

And this little backwards looking e or something, this

ここで, 定義域は

just means x is a member of the real numbers.

実数です。

So let's do another one in a slight variation.

e の後ろ向きのようにみえるもの

So let's say I had f of x is equal to 1 over x squared.

これが、 x が実数と示します。

So is this same thing now?

別の 例をしましょう。d

Can I still put any x value in here and get

いいですか？

a reasonable answer?

f （x ）＝１／x＾２とします。

Well what's f of 0?

同じ答えですか？

f of zero is equal to 1 over 0.

x 値に、どんな数字を入れても

And what's 1 over 0?

合理的な答えが得られますか？

I don't know what it is, so this is undefined.

f（０）は何でしょうか。

No one ever took the trouble to define what 1 over 0 should be.

f（０）は何でしょうか。

And they probably didn't do, so some people probably thought

f 0 の １／０ に等しいです。

about what should be, but they probably couldn't find out with

１／０は何 ですか？

a good definition for 1 over 0 that's consistent with

これは、定義できません。

the rest of mathematics.

これは、定義できません。

So 1 over 0 stays undefined.

１／０を定義することはできません。

So f of 0 is undefined.

考える人もいるかも知れませんが

So we can't put 0 in and get a valid answer for f of 0.

１／０を合理的に

So here we say the domain is equal to -- do little brackets,

他の数学に一致するように

that shows kind of the set of what x's apply.

定義できません。

That's those little curly brackets, I didn't

１／０は未定義のままになります。

draw it that well.

だから f （0 ）は未定義です。

x is a member of the real numbers still, such that

０では、有効な答えを取得することはできません。

x does not equal 0.

ここで、定義域は、

So here I just made a slight variation on what I had before.

この括弧で、

Before we said when f of x is equal to x squared that x

xが定義可能な数を

is just any real number.

示します。

Now we're saying that x is any real number except for 0.

x が実数で、

This is just a fancy way of saying it, and then these curly

かつ、x が 0 に等しくないです。

brackets just mean a set.

前の例から、わずかに変化しました。

Let's do a couple more ones.

f（x）＝x＾２では、

Let's say f of x is equal to the square root of x minus 3.

すべての任意の実数です。

So up here we said, well this function isn't defined when we

ここでは、x は、0 以外の任意の実数です。

get a 0 in the denominator.

これが、その意味で

But what's interesting about this function?

このような括弧で示します。

Can we take a square root of a negative number?

さらに例をしましょう。

Well until we learn about imaginary and complex

f（x）がx−３ の平方根に等しいとしましょう。

numbers we can't.

この関数が定義されていない場合は

So here we say well, any x is valid here except for the x's

分母に 0 の場合です。

that make this expression under the radical sign negative.

しかし、この関数は興味深いですね。

So we have to say that x minus 3 has to be greater than or

負の数の平方根を取ることができますか？

equal to 0, right, because you could have the square to 0,

虚数と複素数について学ぶまで

that's fine, it's just 0.

この場合、答えは得られません。

So x minus 3 has to be greater than or equal to 0, so x has to

ここでは、任意の x から、

be greater than or equal to 3.

この式が負になる数を除いたものです。

So here our domain is x is a member of the real numbers,

x−３は０以上であることが

such that x is greater than or equal to 3.

平方根をとるために必要です、

Let's do a slightly more difficult one.

０の場合、平方根は０です。

What if I said f of x is equal to the square root of the

x−３を０以上とする必要があります。

absolute value of x minus 3.

つまり、xは3 以上です。

So now it's getting a little bit more complicated.

ここでは、定義域は、

Well just like this time around, this expression of

xが3 以上の実数です。

the radical still has to be greater than or equal to 0.

xが3 以上の実数です。

So you can just say that the absolute value of x minus 3 is

少し難しくしましょう。

greater than or equal to 0.

f（x）が、（｜x｜−３）の平方根では

So we have the absolute value of x has to be greater

どうでしょう？

than or equal to 3.

少し複雑になってきました。

And if order for the absolute value of something to be

この場合は、

greater than or equal to something, then that means that

やはり、 0 以上の必要があります。

x has to be less than or equal to negative 3, or x has to be

xの絶対値−３は、常に

greater than or equal to 3.

０以上と言えます。

It makes sense because x can't be negative 2, right?

x の絶対値が

Because negative 2 has an absolute value less than 3.

３以上であることが必要です。

So x has to be less than negative 3.

もし何かの絶対値が

It has to be further in the negative direction than

ある数字以上である場合、

negative 3, or it has to be further in the positive

ここでは、xが−３以下、

direction than positive 3.

あるいは３以上です。

So, once again, x has to be less than negative 3 or x

X が−２では、成り立ちません。いいですか？

has to be greater than 3, so we have our domain.

−２では、その絶対値が3 未満です。

So we have it as x is a member of the reals

だから x を−３より小さく する必要があります。

-- I always forget.

さらに負の方向にする必要があります。

Is that the line?

−３以下、あるいは３以上です。

I forget, it's either a colon or a line.

−３以下、あるいは３以上です。

I'm rusty, it's been years since I've done

x は、−３以下あるいは

this kind of stuff.

３以上が、その定義域です。

But anyway, I think you get the point.

X は、実数です。

It could be any real number here, as long as x is less

忘れないように。

than negative 3, less than or equal to negative 3, or x is

ここは線ですか？

greater than or equal to 3.

線かコロンか忘れました。

Let me ask a question now.

何年も前に

What if instead of this it was -- that was the denominator,

学んだことです。

this is all a separate problem up here.

ポイントがつかめたと思います。

So now we have 1 over the square root of the absolute

X は、−３以下または３以上の

value of x minus 3.

任意の実数とすることが

So now how does this change the situation?

できます。

So not only does this expression in the denominator,

では、質問します。

not only does this have to be greater than or equal to

この代わりに、

0, can it be 0 anymore?

これは別の問題です。

Well no, because then you would get the square root of 0, which

１／（x−３）の平方根では、

is 0 and you would get a 0 in the denominator.

どうでしょう？

So it's kind of like this problem plus this

状況がどのように変わりますか？

problem combined.

この式の分母は、これだけでなく、

So now when you have 1 over the square root of the absolute

０以上にしなければならず、かつ

value of x minus 3, now it's no longer greater than or equal to

0 にできますか？

0, it's just a greater than 0, right?

0 の平方根を得られるけど

it's just greater than 0.

0の分母になるでしょう。

Because we can't have a 0 here in the denominator.

この問題と

So if it's greater than 0, then we just say greater than 3.

この問題を組み合わせですね。

And essentially just get rid of the equal signs right here.

1を｜x｜−３の平方根でわる場合

Let me erase it properly.

これは、０以上ではなく、

It's a slightly different color, but maybe

０より大きいです。いいですか？

you won't notice.

それは 0 より大きい値です。

So there you go.

分母を 0 にすることはできません。

Actually, we should do another example since we have time.

これが0 より大きい場合は、xは3 より大きく

Let me erase this.

本質的には、等号を取り除きます。

OK.

消すことができます。

Now let's say that f of x is equal to 2, if x is even,

いいですか？

and 1 over x minus 2 times x minus 1, if x is odd.

違った色で書きます。

So what's the domain here?

いいですか？

What is a valid x I can put in here.

いいですか？

So immediately we have two clauses.

時間があるので、別の例しましょう。

If x is even we use this clause, so f of 4 -- well,

時間があるので、別の例しましょう。

that's just equal to 2 because we used this clause here.

これを消去させてください。

But this clause applies when x is odd.

いいですか？

Just like we did in the last example, what are the

xが偶数では、f（x）＝２

situations where this kind of breaks down?

xが奇数では、f（x）＝１／（x−２）＊（x−１）

Well, when the denominator is 0.

ここでの定義域は何ですか？

Well the denominator is 0 when x is equal to 2, or

有効なxは何ですか。

x is equal to 1, right?

2 つの制約があります。

But this clause only applies when x is odd.

X が偶数では、f （４）は

So x is equal to 2 won't apply to this clause.

2 です。

So only x is equal to 1 would apply to this clause.

しかし、x が奇数であるときに、この式で、

So the domain is x is a member of the reals, such that

最後の例のように

x does not equal 1.

この式が解けないのは、どの場合でしょう？

I think that's all the time I have for now.

分母が 0 の場合です。

Have fun practicing these domain problems.

X が 2 またh１に等しい場合、