We're break one of the rules of Numberphile.

Numberphileのルールの一つを破っている。

We're talking about something that isn't a number.

私たちは、数字ではないものについて話しています。

We're going to talk about infinity.

無限大の話をしようと思っています。

So infinity.

だから無限大。

Now like I said, infinity is not a number.

今言ったように無限大は数ではない。

It's a idea.

考えものです。

It's a concept.

コンセプトです。

It's the idea of being endless, of going on forever.

それは、終わりがない、永遠に続くという考えです。

I think everyone's familiar with the idea of

というのは誰もが知っていることだと思います。

infinity, even kids.

無限大、子供でも

You start counting 1, 2, 3, 4, 5--

1,2,3,4,5...

you might be five years old, but already you're thinking,

あなたは5歳かもしれませんが、すでにあなたは考えています。

what's the biggest number I can think of.

何が最大の数字なんだ？

And you go, oooh, it's 20.

そして、あなたは、それは20です。

You get a bit older, and you go, maybe it's a million.

少し年を取ってから行くと、多分100万だと思います。

It never ends, does it? 'Cause you can keep adding 1.

終わりがないんだよね '1を追加し続けられるから

So that's the idea of infinity.

それが無限大という考え方なんですね。

The numbers go on forever.

数字は永遠に続く。

But I'm going to tell you one of the more surprising facts

しかし、私はあなたにもっと驚くべき事実を教えてあげようと思います。

about infinity.

無限大について

There are different kinds of infinity.

無限大には様々な種類があります。

Some infinities are bigger than others.

無限に大きいものもある。

Let's have a look.

見てみましょう。

The first type of infinity is called countable.

無限大の最初のタイプは、カウント可能と呼ばれています。

And I don't like the name countable.

あと、名前が数えられるのが嫌なんだよね。

And Brady gave me a little bit of a hmm, just then.

その時、ブレイディがちょっとだけ、うーんと言ってくれました。

Because if you're talking about infinity, you can't

なぜなら、もしあなたが無限大について話しているのであれば、あなたは

count infinity, can you?

無限大の数を数えられるか？

Because it goes on forever.

それは永遠に続くからだ。

I think it's a terrible name.

ひどい名前だと思います。

I prefer to call it listable.

私はそれをリスト可能と呼ぶ方が好きです。

Can we list these numbers?

この数字をリストアップしてもいいですか？

All right.

いいだろう

Let's do these simple numbers, 1, 2, 3--

1,2,3という簡単な数字をやってみましょう。

BRADY HARAN: You're not gonna do all of them, are you James?

BRADY HARAN: 全部はやらないよね、ジェームス？

JAMES GRIME: 4.

JAMES GRIME：4.

How long have we got?

あとどのくらいだ？

BRADY HARAN: (LAUGHING) 10 minutes.

BRADY HARAN：（笑）10分。

JAMES GRIME: Right.

そうですね。

5, 6--

5, 6--

so you can list the whole numbers.

のように、整数をリストアップすることができます。

So this is called countable.

これをカウント可能といいます。

Listable, I prefer.

リスティング可能なのがいいですね。

What about the integers?

整数はどうなの？

All the integers.

すべての整数。

That's all the negative numbers as well.

それも全部マイナスの数字ですね。

So there's 0.

0があるんですね。

Let's have that.

それを持っていこう。

But there's 1 and minus 1, there's 2 and minus 2, there's

しかし、1とマイナス1があり、2とマイナス2があります。

3, and minus 3.

3、マイナス3である。

Now, that is an infinity as well.

さて、それも無限大です。

And in some sense, it's twice as big, because there seems to

そして、ある意味では、それは2倍の大きさです。

be twice as many numbers.

は2倍の数になります。

But it is infinity as well.

しかし、それは無限大でもあります。

They're both infinity, and they're both the

どっちも無限大で、どっちも

same type of infinity.

同型の無限大

They both can be listed.

どちらもリストアップできます。

Perhaps more surprisingly, the fractions can

おそらくもっと驚くべきことに、分数は

be listed as well.

も掲載されています。

But you have to be a bit clever about this.

でも、これはちょっと気を利かせないといけませんね。

Let's try and list the fractions.

端数をリストアップしてみましょう。

I'm going to write out a rectangle.

長方形を書き出してみます。

1 divided by 1.

1で割って1。

That's a fraction.

それは端数です。

[INAUDIBLE].

[INAUDIBLE]です。

Let's have 1 divided by 2, 1/3, 1/4, 1/7--

1を2で割ってみましょう、1/3, 1/4, 1/4, 1/7--。

OK, that goes on.

分かったわ

Let's do the next row and have two at the top.

次の列をやって、一番上に2つの列があるようにしましょう。

2/1, 2/2, 2/3, 2/4.

2/1, 2/2, 2/3, 2/4.

Let's do the next one.

次もやってみましょう。

3/1, 3/2.

3/1, 3/2.

4/6, 4/7.

4/6, 4/7.

That goes on and we can keep going.

それが続いていくことで、私たちは続けていくことができます。

So here, I've made some sort of an infinite rectangle array

そこで、ここでは、ある種の無限の矩形の配列を作ってみました。

of fractions.

分数の

Now if I want to make it a list like this, though, If I

さて、このようなリストにするにしても、もしも私が

went row by row, you're going to have a problem.

が一列一列になってしまったら、問題が発生してしまいます。

If you go row by row, I'll go--

順番に行ってくれれば......

there's 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/7-- and

1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/7--とあります。

I'll keep going forever.

これからもずっと続けていきたいと思います。

And I'm never going to reach the second row.

そして二列目には絶対に届かない。

I can't list them.

挙げられません。

Not that way.

そっちじゃない

You can't list them that way.

そのようにリストアップすることはできません。

You'll never reach the second row.

2列目には絶対に届かない。

This is how you list them.

こうやってリストアップしていくんですね。

Slightly more clever than that.

それよりも少しだけ賢い

You take the diagonal lines.

対角線を取るんだ

Now, I can guarantee that every fraction will appear on

これで、すべての端数が

one of those diagonal lines.

その対角線の一つ

And you list them diagonal by diagonal.

そして、それを対角線上にリストアップするんですね。

So that's the first diagonal.

それが最初の対角線なんですね。

Then you list the second diagonal-- there it is.

それから ２番目の対角線をリストアップして...そこだ

Then you list the third diagonal, then you take the

そして、第三の対角線をリストアップして、次に

fourth diagonal, and the fifth.

第四の対角線、第五の対角線。

So eventually, you are going to do this every fraction.

結局、これを端数ごとにやることになるわけですね。

Every faction appears on a diagonal, and you're

すべての派閥が対角線上に表示され、あなたは'RE

going to list them.

彼らをリストアップするつもりだ

Now, if you take all the numbers, right?

さて、全ての数字を取ると、ですよね？

That's the whole number line.

それは、数字の羅列です。

Let's try that.

試してみましょう。

Look, I'm going to draw it.

ほら、私が描くから。

It's a continuous line of numbers.

数字の連続です。

These are all your decimals.

これが全ての小数点以下の数字です。

You've got 0 there in the middle, and you'll

あなたは真ん中に0を持っています。

go 1 and 2 and 3.

1と2と3を行く。

But it has a 1/3.

でも1/3はある。

It will contain pi, and e, and all the

π、e、そしてすべての

irrational numbers as well.

非合理的な数字も

Can you list them?

リストアップしてくれないか？

How do you list them?

どうやってリストアップするの？

0 to start with, and then 1?

そもそも0で、1?

But hang on.

でも待ってて

We've missed a half.

半分を逃してしまいました。

So we put in the half.

だからハーフを入れた。

Hang on, we've missed the quarter.

待ってください、私たちは四半期を逃してしまいました。

We put in the quarter.

クォーターを投入しました。

But we've missed 0.237--

しかし、我々は0.237を逃してしまった--。

so how do you list the real numbers?

実数はどうやってリストアップするの？

It turns out you can't.

できないことがわかりました。

In fact, rather remarkably, I can show you that we can't

実際には、むしろ驚くべきことに、私たちができることをお見せすることができます。

list them, even though were talking about something so

挙げてみても

complicated as infinity.

無限大のように複雑な

BRADY HARAN: Do it, man!

やるんだ！

JAMES GRIME: We need paper.

紙が必要だ

BRADY HARAN: We need an infinite amount of

BRADY HARAN: 無限に必要なのは

paper here, I think.

ここの紙だと思います。

JAMES GRIME: (LAUGHING) It's a big topic.

JAMES GRIME: (笑) 大きな話題ですね。

Imagine we could list all the decimals, right?

小数点以下の数字を全てリストアップすることができると想像してみてください。

We can't, actually.

実はできないんです。

But pretend we can.

でも、できるふりをして。

What sort of--

どんな種類の...

what would it look like?

どう見えますか？

We'll start with all the 0-point decimals.

0点以下の小数から始めます。

Let's pick some decimals.

小数を選んでみましょう。

0.121--

0.121--

dot dot dot dot dot.

ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット・ドット

Let's pick the next one.

次を選ぼう。

Let's say the next one is 0.221--.

次は0.221だとしよう--。

Next one, let's do 0.31111129--.

次は0.31111129をやろう--。

And let's take another one, here.

そして、もう一本、ここで。

0.00176--.

0.00176--.

Now I'm going to make a number.

今から数字を作っていきます。

This is the number I'm going to make.

これは私が作る番号です。

I'm going to take the diagonals here.

ここでは対角線を取ることにします。

I'm going to take this number and this number and this

この番号とこの番号とこの番号とこの

number and this number and this number.

この数字とこの数字とこの数字。

And I am going to write that down.

そして、それを書き留めておこうと思います。

So what's that number I've made?

で、私が作ったその数字は何なの？

It's 0.12101--

0.12101だ

something, something, something.

何か、何か、何か、何か

Now this is my rule.

今はこれが私のルールです。

I'm going to make a whole new number from that one.

それを元に全く新しい番号を作ろうと思っています。

This is the number I'm going to make.

これは私が作る番号です。

If it has a 1, I'm going to change it to a 2.

1が付いていたら2に変えようと思っています。

And if it has a 2 or anything else, I will change it to a 1.

で、2とかあったら1に変更します。

So let's try that.

では、それをやってみましょう。

So I'm going to turn this into--

だから私はこれを...

0-point.

0点。

So if it has a 1, I'm going to turn it into a 2.

なので、1が付いていたら2にします。

If it's anything else, I'm going to turn it into a 1.

他に何かあれば1にします。

So that will be a 1.

ということで、1になります。

I'm going to change 1 here into a 2.

ここで1を2に変えてみます。

I'm going to change that one into a 1.

それを1に変えようと思っています。

I'm going to change that one into a 2-- that was my rule.

それを２に変えようと思ってたんだが...それが僕のルールだったんだ。

And I'll make something new.

そして、新しいものを作ります。

That does not appear on the list.

それはリストには載っていません。

That number is completely different from anything else

その数字は他の何かとは全く違う

on the list, because it's not the first number, because it's

リストの上では、それが最初の番号ではないからです。

different in the first place.

そもそも違う。

It's not the second number, because it's different in

で違うので、2番目の数字ではありません。

second place.

2位になりました。

It's not the third number, because it's different in the

で違うので、3番目の数字ではありません。

third place.

3位になりました。

It's not the fourth number because it's different in the

で違うので、4番目の数字ではありません。

fourth place.

4位です。

It's not the fifth number, because it's different in the

で違うので、5番目の数字ではありません。

fifth place.

5位。

You've made a number that's not on that list.

そのリストにない数字を作ってしまった。

And so you can't list all the decimals, in which case it is

そして、すべての小数をリストアップすることはできません。

uncountable.

数えられない

It is unlistable.

リストアップできません。

And that means it's a whole new type of infinity.

それはつまり、全く新しいタイプの無限大だということです。

A bigger type of infinity.

大きめのタイプの無限大。

BRADY HARAN: Surely we could, James, because all we've got

確かにそうですね、ジェームス、私たちが持っているのは全部ですから。

to do is keep doing your game and making them and adding

をすることは、あなたのゲームをやり続けて、それらを作って、追加することです。

them to the list.

リストに追加します。

And if we keep doing that, won't we get there eventually?

それを続けていれば、いずれはたどり着くのではないでしょうか？

JAMES GRIME: But you could then create another number

しかし、別の番号を作ることもできます。

that won't be on that list.

そのリストには載っていません。

And so the guy who came up with is a German mathematician

ドイツの数学者である

called Cantor.

カントーと呼ばれています。

Cantor lived 'round about the turn of the 20th century.

カントールは20世紀の変わり目頃に生きました。

He was ridiculed for this.

と揶揄されていました。

For this idea that there were different types of infinity,

無限大には様々な種類があったというこの考えに対して

he was called a charlatan.

彼はチャラ男と呼ばれていた

And he was called-- it was nonsense, it was called.

そして彼は呼ばれていた...ナンセンスだった、呼ばれていた。

And poor old Cantor was treated really badly by his

哀れなカントールは本当にひどい扱いを受けていた

contemporaries, and he spent a lot of his later life in and

同時代人である彼は、その後の人生の多くを

out of mental institutions, where he died, in the end.

精神病院を出て、そこで彼は死んだ。

Near the end of his life, it was recognized.

彼の人生の終わり近く、それは認識されていた。

It was true.

本当だったんですね。

It was recognized.

認識されていました。

And he had all the recognition that he deserved.

そして、彼はそれに相応しい全ての評価を得ていた。

BRADY HARAN: And now he's on Numberphile.

彼は今、Numberphileに出演しています。

JAMES GRIME: And now he's on Numberphile, the greatest

彼は今、Numberphileに出演しています。

accolade of all.

褒め称えられて

Georg Cantor.

ゲオルク・カンター