where everything has length,

ここでは全てに

width,

長さと幅と

and height.

高さがあります

But what if our world were two-dimensional?

でも もし私達の世界が２次元ならどうでしょう

We would be squashed down

私達は 一枚の平面の中に

to occupy a single plane of existence,

ペッチャンコに収まってしまうでしょう

geometrically speaking, of course.

勿論 幾何学的に言ってですが

And what would that world look and feel like?

そこはどのように見え 感じる世界でしょう

This is the premise

これはエドウィン・アボットの短編小説 『フラットランド』の前提です

of Edwin Abbott's 1884 novella, Flatland.

これはエドウィン・アボットの短編小説 『フラットランド』の前提です

Flatland is a fun, mathematical thought experiment

『フラットランド』は三次元に晒された

that follows the trials and tribulations of a square

正方形の幾多の試練と苦難が続く

exposed to the third dimension.

数学的な思考実験です

But what is a dimension, anyway?

ともあれ 次元とは何でしょう

For our purposes, a dimension is a direction,

ここでは直線で表現される

which we can picture as a line.

方向としておきます

For our direction to be a dimension,

方向を次元にするには

it has to be at right angles to all other dimensions.

他の次元全てと直交しなければなりません

So, a one-dimensional space is just a line.

それで一次元の空間はただの線なのです

A two-dimensional space is defined

二次元の空間は

by two perpendicular lines,

互いに垂直に交わる ２本の線で定義されます

which describe a flat plane

それは紙の様な

like a piece of paper.

平面で表されます

And a three-dimensional space

そして三次元の空間は

adds a third perpendicular line,

さらに垂直に交わる３番目の線を加え

which gives us height

それが高さになり

and the world we're familiar with.

私達がよく知る世界になります

So, what about four dimensions?

それでは四次元の世界はどうでしょう

And five?

五次元の世界は

And eleven?

11次元の世界は

Where do we put these new perpendicular lines?

どこに新たに垂直な線を 引くことができるでしょう？

This is where Flatland can help us.

ここで『フラットランド』が助けてくれます

Let's look at our square protagonist's world.

主人公が正方形である 世界を見てみましょう

Flatland is populated by geometric shapes,

フラットランドは幾何学的な形で一杯で

ranging from isosceles trianges

二等辺三角形から

to equilateral triangles

正三角形

to squares,

正方形

pentagons,

五角形

hexagons,

六角形

all the way up to circles.

そして円と様々です

These shapes are all scurrying around a flat world,

これらの形は平らな世界を走り回り

living their flat lives.

平らな生活をしています

They have a single eye on the front of their faces,

彼らにはたった一つの目が顔にあります

and let's see what the world looks like

では彼らの観点から

from their perspective.

世界を見てみましょう

What they see is essentially one dimension,

彼らの見る物は基本的に一次元です

a line.

一本の線です

But in Abbott's Flatland,

でもアボットのフラットランドでは

closer objects are brighter,

近くにある物ほど明るく見えるので

and that's how they see depth.

これで奥行きを感じることができます

So a triangle looks different from a square,

それで三角形は正方形とは違って見え

looks different a circle,

円からも違って見え

and so on.

と続きます

Their brains cannot comprehend the third dimension.

彼らの脳は三次元を理解出来ないのです

In fact, they vehemently deny its existence

それどころか彼らは 三次元の存在を強く否定します

because it's simply not part of their world

それはただ彼らの世界ではなく

or experience.

彼らの経験にはないからです

But all they need,

でも彼らに必要なのは

as it turns out,

つまるところ

is a little boost.

ちょっと持ち上げてもらうだけでいいのです

One day a sphere shows up in Flatland

ある日フラットランドに ある一つの球が

to visit our square hero.

ヒーローの正方形を訪れます

Here's what it looks like

これが球がフラットランドを 通り抜けるのを

when the sphere passes through Flatland

これが球がフラットランドを 通り抜けるのを

from the square's perspective,

正方形の観点から見た様子です

and this blows his little square mind.

小さな正方形はひどく驚きます

Then the sphere lifts the square

そして球は正方形を三次元の空間に

into the third dimension,

持ち上げます

the height direction where no Flatlander has gone before

どんなフラットランド人も 行った事のない高かさへと

and shows him his world.

そして球の住む世界を見せます

From up here, the square can see everything:

ここから正方形は全てが見えます

the shapes of buildings,

建物の形

all the precious gems hidden in the Earth,

地球に隠されている貴重な宝石全て

and even the insides of his friends,

そして恐らく変な気持ちでしょうが

which is probably pretty awkward.

彼の友人たちの中身さえ見えるのです

Once the hapless square

その不運な正方形は

comes to terms with the third dimension,

三次元に馴染むやいなや

he begs his host to help him

球に四次元やもっと上の次元に

visit the fourth and higher dimensions,

連れてってくれと頼みます

but the sphere bristles at the mere suggestion

でも球は三次元より上の次元を

of dimensions higher than three

提案されただけで苛立ち

and exiles the square back to Flatland.

正方形をフラットランドに追放します

Now, the sphere's indignation is understandable.

球の憤慨は解ります

A fourth dimension is very difficult

四次元は私達の世界の経験と

to reconcile with our experience of the world.

調和させる事は大変難しいのです

Short of being lifted into the fourth dimension

超立方体を訪ねて四次元に

by visiting hypercube,

持ち上げてもらうのは問題外―

we can't experience it,

我々はそんなことは経験出来ません

but we can get close.

でも類似の体験はできます

You'll recall that when the sphere

球が二次元の世界を

first visited the second dimension,

初めて訪れた時を思い出してください

he looked like a series of circles

彼はフラットランドにタッチした時

that started as a point

一点から始まり

when he touched Flatland,

次第に大きくなる円に見えました

grew bigger until he was halfway through,

そして半分まで行った時を最大として

and then shrank smaller again.

それからまた 小さくなっていきました

We can think of this visit

これは３次元物体を

as a series of 2D cross-sections of a 3D object.

一連の２次元断面図で 表したもの考えることが出来ます

Well, we can do the same thing

さて 同様なことを

in the third dimension with a four-dimensional object.

四次元の物体に対し 三次元の中で行ってみましょう

Let's say that a hypersphere

例えば 超立方体は

is the 4D equivalent of a 3D sphere.

三次元の球に相当する四次元物体です

When the 4D object passes through the third dimension,

四次元物体が三次元を通り抜ける時

it'll look something like this.

この様になるでしょう

Let's look at one more way

四次元物体を表す もう一つの方法を見てみましょう

of representing a four-dimensional object.

四次元物体を表す もう一つの方法を見てみましょう

Let's say we have a point,

一点があるとします

a zero-dimensional shape.

ゼロ次元の形です

Now we extend it out one inch

それを１インチ伸ばすと

and we have a one-dimensional line segment.

一次元の線の部分が出来ます

Extend the whole line segment by an inch,

その線全体を１インチ伸ばして

and we get a 2D square.

二次元の正方形が出来ます

Take the whole square and extend it out one inch,

その正方形全体を１インチ伸ばして

and we get a 3D cube.

三次元の立方体が出来ます

You can see where we're going with this.

これで次はどうなるか解りますね

Take the whole cube

立方体全体を

and extend it out one inch,

１インチ伸ばしてください

this time perpendicular to all three existing directions,

この時 ３方向全てに垂直にです

and we get a 4D hypercube,

すると四次元の超立方体が出来ます

also called a tesseract.

四次元超立方体とも呼ばれます

For all we know,

おそらく

there could be four-dimensional lifeforms

どこかに四次元の

somewhere out there,

生き物がいるでしょう

occasionally poking their heads

彼らは 私達の慌ただしい三次元の世界で 一体何が起きているのかと

into our bustling 3D world

彼らは 私達の慌ただしい三次元の世界で 一体何が起きているのかと

and wondering what all the fuss is about.

時々 頭を突き出している かもしれませんよ

In fact, there could be whole

実際 私達が感知出来ない

other four-dimensional worlds

様々な四次元の世界があり

beyond our detection,

それは私達の自然な感覚では

hidden from us forever

理解出来ない

by the nature of our perception.

永遠に隠れた物かもしれません

Doesn't that blow your little spherical mind?

あなたのちっちゃな球状の頭が 驚いていませんか