Name: 部品ごとの統合 (Integration By Parts)
Uploaded: 2025-05-05T15:43:20.000Z
Duration: 32 min 52 s
Description: VoiceTubeの動画で発音を聞きながら英語表現を覚えよう！学べる英語：

So how can we find the indefinite integral of x times e raised to the x?

では、xにeを掛けたものの不定積分を求めるにはどうすればよいのだろうか。

To do this, we need to use something called integration by parts.

そのためには、部分積分というものを使う必要がある。

The integral of u dv is equal to u times v minus the integral of v du.

u dvの積分は、u×vからv duの積分を引いたものに等しい。

So we need to determine u, dv, v, and du.

そこで、u、dv、v、duを決定する必要がある。

So which one should we set equal to u and which one should we set equal to dv?

では、どちらをuとし、どちらをdvとすればいいのか？

It's best to set u equal to x because if we do so, du will simply be equal to 1 times dx.

uをxに等しく設定するのがベストだ。そうすれば、duは単純にdxの1倍に等しくなるからだ。

And when dealing with constants, they're a lot easier to integrate than variables.

定数を扱う場合、変数よりも積分の方がずっと簡単だ。

So we're going to make dv equal to e to the x dx.

そこで、dvをxのdxに対してeに等しくする。

The integral of e to the x is simply e to the x.

eのxに対する積分は、単にeのxに対する積分である。

So now using the formula, u times v, that's going to be x times e raised to the x minus the integral of v du. v is e to the x, du is 1 dx.

vはxに対してeであり、duは1dxである。

And the integral of e to the x is e to the x plus some constant c.

そして、xに対するeの積分は、xに対するeにある定数cを加えたものになる。

That's the integral of x times e raised to the x.

これはxにeを掛けた積分である。

x倍サインx dxを積分してみよう。

So what should we make u and dv equal to?

では、uとdvを等しくするにはどうすればいいのか？

So just like before, I'm going to make u equal to x so that du is going to be 1 dx.

だから、さっきと同じように、uをxに等しくして、duが1dxになるようにする。

さて、正弦波の積分とは何だろう？

The derivative of what function will give a sine?

どの関数の微分が正弦になるか？

正弦の積分は負の余弦となる。

The derivative of negative cosine is positive sine.

負の余弦の導関数は正の正弦となる。

So using the formula, the integral of u dv is equal to u times v minus the integral of v du.

つまり、公式を使えば、u dvの積分は、u×vからv duの積分を引いたものに等しい。

So u is x, v is negative cosine x, and then minus v, and du is 1 dx.

つまり、uはx、vは負の余弦x、そしてマイナスv、duは1dxとなる。

So far we have negative x cosine x, and then these two negative sines will become positive, so plus the integral of cosine x dx.

これまでのところ、負の余弦xがあり、この2つの負の正弦が正になるので、余弦xの積分dxを足す。

Now the antiderivative of positive cosine is positive sine.

さて、正の余弦の反約数は正の正弦である。

So the final answer is what you see here.

最終的な答えはここにある通りだ。

Negative cosine, I mean negative x cosine x plus sine x plus c.

負の余弦、つまり負のx余弦x＋正弦x＋c。

さて、ここでもうひとつ取り組むべき問題がある。

So what should we make u and dv equal to in this problem?

では、この問題でuとdvを等しくするにはどうすればいいのだろう？

If we make u equal to x squared, and we make dv equal to ln x dx, the integral of ln x will be quite difficult to do, unless you know what it is.

uをxの2乗に等しくし、dvをln x dxに等しくすると、ln xの積分は、それが何であるかを知らなければ、かなり難しくなる。

だから、そんなことはしない。

So it's best to make dv x squared dx, and u is going to be ln x, because we know the derivative of ln x.

したがって、dv xの2乗をdxとし、uをln xとするのがベストである。

The derivative of ln x is 1 over x, and the antiderivative of x squared, the antiderivative of dv will give us v, so the antiderivative of x squared dx is x cubed over 3.

ln xの導関数はxの上で1であり、xの2乗の反次導関数、dvの反次導関数はvを与えるので、xの2乗dxの反次導関数はxの3乗である。

では、計算式を使ってみよう。

So u times v, that's going to be ln x times x cubed over 3 minus the integral of v times du, and du is 1 over x.

つまり、u×vは、ln×x×xの3乗からv×duの積分を引いたものになり、duはxの1乗となる。

So this is equal to one-third x cubed times ln x, and then we could cancel an x, and so we have minus one-third the integral of x squared dx.

つまり、これはxの3乗×ln xの3分の1に等しく、xをキャンセルすれば、xの2乗dxの積分から3分の1を引いたものになる。

The integral of x squared is going to be x to the third over 3, and then plus some constant c.

xの2乗の積分は、xが3の3乗になり、それに定数cを足したものになる。

So the final answer is one-third x cubed ln x minus 1 over 9 x to the third plus c, and that concludes this problem.

従って、最終的な答えは、3分の1 x 3乗 ln x マイナス 1 over 9 x to third plus cとなり、これでこの問題は終了となる。

では、もう少し例を挙げてみよう。

What is the antiderivative of the natural log of x?

How can we use integration by parts to get this answer?

この答えを得るために、部分積分をどのように使えばいいのか？

Now, we can't make u equal, well, we can't make dv equal to ln x because we don't know the integral of ln x.

さて、uをln xと等しくすることはできない。dvをln xと等しくすることもできない。ln xの積分がわからないからだ。

それを解明しようとしているところだ。

So therefore, we have to make u equal to ln x.

したがって、uをln xに等しくしなければならない。

The derivative of that is 1 over x dx. dv has to be just, we can make dv dx if we want to, or 1 dx, and so v, the integral of 1 dx is just x.

dvはただでなければならない。dvをdxにしようと思えばできるし、1dxにしようと思えばできるのだから、v、1dxの積分はただxになる。

So now let's start with the formula, and so it's going to be u times v. u is ln x, and v is x minus the integral of v, and then du is 1 over x dx.

uはln xであり、vはxからvの積分を引いたものである。

So far we have x ln x, x times 1 over x, the x variables cancel, so we have the integral of 1 dx.

ここまでで、x ln x、xに1を掛けたもの、xの変数がキャンセルされ、1 dxの積分となる。

Now, the integral of 1 dx is x, so this is the final answer. x ln x minus x plus c.

さて、1 dxの積分はxであるから、これが最終的な答えである。

That is the integral of the natural log of x.

これはxの自然対数の積分である。

Let's find the indefinite integral of x squared sine x dx.

xの2乗正弦x dxの不定積分を求めよう。

So which part should be u, and which part is going to be dv?

では、どの部分がuで、どの部分がdvになるのか？

We need to make u equal to x squared, and we need to differentiate it twice to bring it down to a constant.

uをxの2乗に等しくする必要があり、それを定数にするために2回微分する必要がある。

So this is one of those problems where you have to use integration of, you know, integration of our parts two times. du is going to be 2x dx. dv is sine x dx.

duは2x dxとなり、dvは正弦x dxとなる。

So this is dv, and this is going to be u.

これがDVで、これがUになるわけだ。

So u times v, that's x squared, times negative cosine x minus the integral of v, which is negative cosine x, times du, that's 2x dx.

つまり、uにvを掛けたもの、つまりxの2乗に負の余弦xを掛けたものからvの積分値を引いたもの、つまり負の余弦xにduを掛けたもの、つまり2x dxである。

では、今あるものを整理してみよう。

Negative x squared cosine x, and then these two negative signs will become positive, so positive sine x dx.

負のxの2乗で余弦xとなり、この2つの負の符号が正になるので、正の正弦x dxとなる。

We can take the two and move it to the front, so it's just going to be x cosine x.

この2つを前に移動させれば、xコサインxとなる。

Now we need to use the integration by parts formula on the integral of x cosine x.

ここで、余弦xの積分について部分積分の公式を使う必要がある。

We're going to make u equal to x, and dv is going to be cosine x dx.

uをxに等しくし、dvを余弦x dxとする。

The integral of cosine is sine, and the derivative of x is 1 dx.

余弦の積分は正弦となり、xの導関数は1 dxとなる。

So using the formula, it's going to be u times v, which is x times sine x minus the integral of v du.

つまり、公式を使えば、u×vとなり、これはx×正弦xからv×duの積分を引いたものになる。

つまり、vは正弦x、duは単なるdxである。

So the integral of sine is negative cosine, and then plus c.

つまり、正弦の積分は負の余弦となり、それにcを足したものになる。

So now what we need to do is replace this part with what we have here.

では、この部分をここにあるものと置き換える必要がある。

So it's going to be plus, we need to distribute 2 to everything in here.

つまり、ここにあるすべてのものに2を分配する必要がある。

So it's going to be 2x sine x plus, this would be plus cosine x, but times 2, so plus 2 cosine x.

つまり、2xサインxプラス、これはプラス・コサインxとなるが、2倍なのでプラス2コサインxとなる。

And we don't need to multiply c by 2, because c is just some generic constant.

cは一般的な定数なので、cに2を掛ける必要はない。

And this whole thing is equal to the original integral, and so this is the answer.

そして、この全体が元の積分と等しくなり、これが答えとなる。

Negative x squared cosine x plus 2x sine x plus 2 cosine x plus c.

負のxの2乗の余弦xに2xの正弦xに2の余弦xにcを足したもの。

では、この問題に取り組んでみよう。

Let's say we have the integral of x squared e to the x dx.

例えば、x dxに対するxの2乗eの積分があるとしよう。

どうぞ、その問題を試してみてください。

では、まず計算式を書いてみよう。

さて、uを何と同等にするべきか？

I would prefer making dv e to the x dx, because once we integrate it, it's going to stay the same, and I want x squared to eventually become a constant.

私は、dvをxのdxに対してeにする方がいいと思う。一度積分すれば、それは変わらないだろうし、xの2乗が最終的に定数になるようにしたいからだ。

So this is one of those problems where you need to use the integration by parts formula twice.

つまりこれは、部分積分の公式を2回使う必要がある問題のひとつなのだ。

So we're going to make u equal to x squared. du is going to be 2x dx.

つまり、uはxの2乗に等しく、duは2x dxとなる。

So using the formula, it's going to be uv.

つまり、計算式ではuvとなる。

That's u. v is e to the x minus the integral of v, which is e to the x times du.

vはxに対するeからvの積分を引いたもので、xに対するeにduを掛けたものである。

Well, before we do that, let's use integration by parts one more time.

さて、その前にもう一度、部品による積分を使ってみよう。

So I'm going to make u equal to 2x. du is going to be the derivative of 2x, which is 2, but times dx. dv, we're going to make that equal to e to the x dx, just like we did before.

uを2xに等しくする。duは2xの導関数で、2であるが、dxの倍数である。dvは、前と同じように、xのdxに対するeに等しくする。

And the integral of that is simply e to the x.

そして、その積分は単純にxに対するeとなる。

So we're going to have x squared, e to the x, and then minus.

つまり、xの2乗、eをxに、そしてマイナスにする。

Now let's use the formula again for this part.

では、この部分にもう一度公式を使ってみよう。

字幕リスト動画再生

部品ごとの統合 (Integration By Parts)

eventually

equivalent

figure

constant