Euler's formula, e to the pi i equals negative 1.

オイラーの公式では、円周率iに対するeはマイナス1に等しい。

As an anniversary of sorts, I want to revisit that same idea.

ある種の記念日として、私はこの同じ考えを再検討したい。

For one thing, I've always wanted to improve on the presentation, but I wouldn't rehash an old topic if there wasn't something new to teach.

ひとつには、私は常にプレゼンテーションを改善したいと思っているが、教えるべき新しいことがなければ、古いトピックを蒸し返したりしない。

The idea underlying that video was to take certain concepts from a field in math called group theory and show how they give Euler's formula a much richer interpretation than a mere association between numbers.

そのビデオの根底にあるアイデアは、群論と呼ばれる数学の分野からある概念を取り出し、それらがオイラーの公式に対して、単なる数字の連想よりもはるかに豊かな解釈を与えることを示すことだった。

And two years ago, I thought it might be fun to use those ideas without referencing group theory itself or any of the technical terms within it.

そして2年前、群論そのものやその中の専門用語に言及することなく、それらのアイデアを使うのは面白いかもしれないと思った。

But I've come to see that you all actually quite like getting into the math itself, even if it takes some time.

でも、たとえ時間がかかっても、皆さんは数学そのものに没頭するのが好きなんだとわかりました。

So here, two years later, let's you and me go through an introduction to the basics of group theory, building up to how Euler's formula comes to life under this light.

そこで、2年後の今、私とあなたで、群論の基本を紹介し、この光の下でオイラーの公式がどのように生命を吹き込まれるのかまで、考えてみよう。

If all you want is a quick explanation of Euler's formula, and if you're comfortable with vector calculus, I'll go ahead and put up a particularly short explanation on the screen that you can pause and ponder on.

オイラーの公式の簡単な説明が欲しいだけなら、そしてベクトル微積分に慣れているなら、私は先に、一時停止して熟考できるような特に短い説明をスクリーンに出しておこう。

If it doesn't make sense, don't worry about it, it's not needed for where we're going.

もしそれが意味をなさないものであったとしても、気にする必要はない。

The reason I want to put out this group theory view, though, is not because I think it's a better explanation.

とはいえ、私がこのグループ理論的な見解を出したいのは、それがより良い説明だと思うからではない。

Heck, it's not even a complete proof, it's just an intuition really.

完全な証明ですらなく、単なる直感に過ぎない。

It's because it has the chance to change how you think about numbers, and how you think about algebra.

数字についての考え方、代数についての考え方を変えるチャンスがあるからだ。

You see, group theory is all about studying the nature of symmetry.

群論は対称性の本質を研究するものだ。

For example, a square is a very symmetric shape, but what do we actually mean by that?

例えば、正方形は非常に対称的な形だが、実際にはどういう意味なのだろうか？

One way to answer that is to ask about what are all the actions you can take on the square that leave it looking indistinguishable from how it started?

その答えのひとつは、正方形にできるすべてのアクションのうち、スタート時と見分けがつかないようなものは何か、ということだ。

For example, you could rotate it 90 degrees counterclockwise, and it looks totally the same to how it started.

例えば、反時計回りに90度回転させても、最初とまったく同じに見える。

You could also flip it around this vertical line, and again, it still looks identical.

この縦線を中心に反転させても、やはり同じように見える。

In fact, the thing about such perfect symmetry is that it's hard to keep track of what action has actually been taken, so to help out I'm going to stick on an asymmetric image here.

実際、このような完璧なシンメトリーの場合、実際にどのようなアクションが取られたかを把握するのが難しいので、ここでは非対称の画像を貼り付けることにする。

We call each one of these actions a symmetry of the square, and all of the symmetries together make up a group of symmetries, or just group for short.

私たちは、これらの作用のひとつひとつを正方形の対称性と呼び、すべての対称性を合わせて対称性のグループ、略してグループと呼ぶ。

This particular group consists of 8 symmetries.

この特定のグループは8つの対称性で構成されている。

There's the action of doing nothing, which is one that we count, plus 3 different rotations, and then there's 4 ways you can flip it over.

何もしないアクションが1つ、それに3種類の回転、そして4種類のひっくり返し方がある。

And in fact, this group of 8 symmetries has a special name.

そして実は、この8つの対称性のグループには特別な名前がついている。

It's called the dihedral group of order 8.

これは次数8の二面体群と呼ばれる。

And that's an example of a finite group, consisting of only 8 actions, but a lot of other groups consist of infinitely many actions.

これはたった8つの行動からなる有限のグループの例だが、他の多くのグループは無限に多くの行動からなる。

Think of all possible rotations, for example, of any angle.

例えば、あらゆる角度の可能な回転を考えてみよう。

Maybe you think of this as a group that acts on a circle, capturing all of the symmetries of that circle, that don't involve flipping it.

これは、円に対して作用するグループであり、円の反転を伴わない対称性をすべて捉えていると考えてもいいかもしれない。

Here, every action from this group of rotation lies somewhere on the infinite continuum between 0 and 2π radians.

ここで、この回転グループのすべてのアクションは、0から2πラジアンの間の無限の連続体のどこかにある。

One nice aspect of these actions is that we can associate each one of them with a single point on the circle itself, the thing being acted on.

これらのアクションの良い点のひとつは、それぞれのアクションを、作用されるものである円そのものの一点に関連付けることができることだ。

You start by choosing some arbitrary point, maybe the one on the right here.

まず、任意のポイント（たぶん右のポイント）を選ぶ。

Then every circle symmetry, every possible rotation, takes this marked point to some unique spot on the circle, and the action itself is completely determined by where it takes that spot.

そして、あらゆる円の対称性、あらゆる可能な回転は、このマークされた点を円上のあるユニークな場所に持っていく。

This doesn't always happen with groups, but it's nice when it does, because it gives us a way to label the actions themselves, which can otherwise be pretty tricky to think about.

このようなことが常に起こるとは限らないが、そうなれば、アクションそのものにラベルを付けることができる。

The study of groups is not just about what a particular set of symmetries is, whether that's the 8 symmetries of a square, the infinite continuum of symmetries of the circle, or anything else you dream up.

群の研究とは、正方形の8つの対称性であれ、円の無限に続く対称性であれ、あるいはあなたが夢想する他のものであれ、特定の対称性の集合が何であるかということだけではない。

The real heart and soul of the study is knowing how these symmetries play with each other.

この研究の真髄は、これらの対称性が互いにどのように作用し合うかを知ることにある。

On the square, if I rotate 90 degrees and then flip around the vertical axis, the overall effect is the same as if I had just flipped over this diagonal line.

正方形の場合、90度回転させてから縦軸を中心に反転させると、全体的な効果はこの対角線の上を反転させたのと同じになる。

So in some sense, that rotation plus the vertical flip equals that diagonal flip.

つまり、ある意味では、この回転と垂直フリップは対角線フリップに等しい。

On the circle, if I rotate 270 degrees and then follow it with a rotation of 120 degrees, the overall effect is the same as if I had just rotated 30 degrees to start with.

円の場合、270度回転させた後に120度回転させても、全体の効果は最初に30度回転させたのと同じである。

So in this circle group, a 270 degree rotation plus a 120 degree rotation equals a 30 degree rotation.

つまり、このサークルグループでは、270度の回転と120度の回転を足すと30度の回転になる。

And in general, with any group, any collection of these sorts of symmetric actions, there's a kind of arithmetic where you can always take two actions and add them together to get a third one by applying one after the other.

そして一般的に、どのようなグループ、どのような種類の対称的なアクションの集まりでも、2つのアクションを1つずつ順番に適用していくことで、それらを足して3つ目のアクションを得ることができる。

Or maybe you think of it as multiplying actions, it doesn't really matter.

あるいは、アクションの掛け算だと考えてもいい。

The point is that there is some way to combine the two actions to get out another one.

ポイントは、2つのアクションを組み合わせて別のアクションを引き出す方法があるということだ。

That collection of underlying relations, all associations between pairs of actions and the single action that's equivalent to applying one after the other, that's really what makes a group a group.

根底にある関係の集合体、アクションのペアの間のすべての関連性、そして1つのアクションを次々に適用することに相当する1つのアクション、それこそがグループをグループたらしめているのだ。

It's actually crazy how much of modern math is rooted in, well, this, in understanding how a collection of actions is organized by this relation, this relation between pairs of actions and the single action you get by composing them.

現代数学のどれだけの部分が、この関係性、つまり行動のペアとそれらを組み合わせることによって得られる1つの行動との関係性によって、行動の集まりがどのように組織化されるかを理解することに根ざしているのか、実にクレイジーだ。

Groups are extremely general, a lot of different ideas can be framed in terms of symmetries and composing symmetries.

グループは極めて一般的なもので、対称性や対称性の構成という観点から、さまざまなアイデアを組み立てることができる。

And maybe the most familiar example is numbers, just ordinary numbers.

最も身近な例としては、数字が挙げられるだろう。

And there are actually two separate ways to think about numbers as a group, one where composing actions is going to look like addition, and another where composing actions will look like multiplication.

そして、数字をグループとして考えるには、実は2つの別々の方法がある。1つは、アクションを合成することが足し算のように見える方法、もう1つは、アクションを合成することが掛け算のように見える方法だ。

It's a little weird, because we don't usually think of numbers as actions, we usually think of them as counting things.

私たちは通常、数字を行動として考えることはなく、物を数えることとして考えるからだ。

But let me show you what I mean.

しかし、私が言いたいことをお見せしよう。

Think of all the ways you can slide a number line left or right along itself.

数直線を左右にスライドさせる方法を考えてみよう。

This collection of all sliding actions is a group, what you might think of as the group of symmetries on an infinite line.

このすべてのスライディングアクションの集合がグループであり、無限直線上の対称性のグループと考えることができるだろう。

And in the same way that actions from the circle group could be associated with individual points on that circle, this is another one of those special groups where we can associate each action with a unique point on the thing it's actually acting on.

サークルグループのアクションがサークル上の個々のポイントに関連づけられるのと同じように、これも特別なグループの1つで、各アクションを実際に作用するもの上のユニークなポイントに関連づけることができる。

So just follow where the point that starts at 0 ends up.

だから、0から始まる点がどこに行き着くかを追うだけでいい。

For example, the number 3 is associated with the action of sliding right by 3 units.

例えば、数字の3は、3単位分右にスライドする動作に関連している。

The number –2 is associated with the action of sliding 2 units to the left, since that's the unique action that drags the point at 0 over to the point at –2.

というのも、0にある点を-2にある点までドラッグする唯一の動作だからだ。

The number 0 itself, well, that's associated with the action of just doing nothing.

0という数字そのものは、何もしないという行為と結びついている。

This group of sliding actions, each one of which is associated with a unique real number, has a special name, the additive group of real numbers.

このスライディングアクションのグループは、それぞれがユニークな実数に関連付けられており、実数の加法グループという特別な名前を持っている。

The reason the word additive is in there is because of what the group operation of applying one action followed by another looks like.

加法的という言葉が入っているのは、あるアクションの後に別のアクションを適用するというグループ・オペレーションがどのようなものかを表しているからだ。

If I slide right by 3 units, and then I slide right by 2 units, the overall effect is the same as if I slid right by 3 plus 2, or 5 units.

3単位分右にスライドし、次に2単位分右にスライドした場合、全体的な効果は3＋2、つまり5単位分右にスライドした場合と同じになる。

Simple enough, we're just adding the distances of each slide, but the point here is that this gives an alternate view for what numbers even are.

単純に各スライドの距離を足しているだけなのだが、ここで重要なのは、数字とは何なのかという別の視点を与えてくれることだ。

They are one example in a much larger category of groups, groups of symmetries acting on some object, and the arithmetic of adding numbers is just one example of the arithmetic that any group of symmetries has within it.

そして、数を足し算する算術は、対称性のグループが持つ算術の一例に過ぎない。

We could also extend this idea, instead asking about the sliding actions on the complex plane.

この考えを拡張して、代わりに複素平面上のスライディングアクションについて尋ねることもできる。

The newly introduced numbers i, 2i, 3i, and so on on this vertical line would all be associated with vertical sliding motions, since those are the actions that drag the point at 0 up to the relevant point on that vertical line.

この垂直線上に新たに導入された数i、2i、3iなどは、すべて垂直方向のスライディングモーションに関連している。

The point over here at 3 plus 2i would be associated with the action of sliding the plane in such a way that drags 0 up and to the right to that point, and it should make sense why we call this 3 plus 2i.

この3プラス2iの地点は、0を上へ右へと引きずり出すように平面を滑らせる動作に関連しており、なぜこれを3プラス2iと呼ぶのかが理解できるはずだ。

That diagonal sliding action is the same as first sliding by 3 to the right, and then following it with a slide that corresponds to 2i, which is 2 units vertically.

この斜めのスライドは、まず右に3だけスライドし、その後に2i（縦に2単位）に相当するスライドをするのと同じである。

Similarly, let's get a feel for how composing any two of these actions generally breaks down.

同様に、これらのアクションのうち2つをどのように構成するか、一般的な感覚を掴んでみよう。

Consider this slide by 3 plus 2i action, as well as this slide by 1 minus 3i action, and imagine applying one of them right after the other.

この3プラス2iのスライドと、この1マイナス3iのスライドを考えてみてほしい。

The overall effect, the composition of these two sliding actions, is the same as if we had slid 3 plus 1 to the right, and 2 minus 3 vertically.

全体的な効果、つまりこれら2つのスライディング動作の組み合わせは、3プラス1を右に、2マイナス3を垂直にスライディングしたのと同じである。

Notice how that involves adding together each component.

各コンポーネントを足し算していることに注目してほしい。

So composing sliding actions is another way to think about what adding complex numbers actually means.

つまり、スライディング・アクションを構成することは、複素数の足し算が実際に何を意味するのかを考えるもう一つの方法なのだ。

This collection of all sliding actions on the 2D complex plane goes by the name the additive group of complex numbers.

この2次元複素平面上のすべてのスライディング作用の集まりは、複素数の加法群という名前で呼ばれている。

Again, the upshot here is that numbers, even complex numbers, are just one example of a group, and the idea of addition can be thought of in terms of successively applying actions.

繰り返しになるが、ここでの結論は、数、たとえ複素数であっても、それはグループの一例に過ぎず、足し算の考え方は、作用の連続的な適用という観点から考えることができるということである。

But numbers, schizophrenic as they are, also lead a completely different life as a completely different kind of group.

しかし、数字もまた、統合失調症的であるがゆえに、まったく異なる種類の集団としてまったく異なる人生を送っている。

Consider a new group of actions on the number line, all ways you can stretch or squish it, keeping everything evenly spaced and keeping that number 0 fixed in place.

数直線上で、あらゆる方法で伸ばしたり縮めたりすることができる、新しいアクションのグループを考えてみよう。

Yet again, this group of actions has that nice property where we can associate each action in the group with a specific point on the thing it's acting on.

繰り返しになるが、このアクションのグループには、グループ内の各アクションを、それが作用する対象物の特定のポイントに関連付けることができるという、すばらしい特性がある。

In this case, follow where the point that starts at the number 1 goes.

この場合、数字の1から始まる点がどこに行くかを追う。

There is one and only one stretching action that brings that point at 1 to the point at 3, for instance, namely stretching by a factor of 3.

例えば、1の点を3の点に近づける伸張作用は1つしかない。

Likewise, there is one and only one action that brings that point at 1 to the point at ½, namely squishing by a factor of ½.

同様に、1の点を½の点に近づける作用はひとつしかない。

I like to imagine using one hand to fix the number 0 in place, and using the other to drag the number 1 wherever I like, while the rest of the number line just does whatever it takes to stay evenly spaced.

片方の手で数字の0を固定し、もう片方の手で数字の1を好きなところにドラッグする。

In this way, every single positive number is associated with a unique stretching or squishing action.

このように、すべての正の数は、ユニークな伸縮作用と関連している。

Notice what composing actions look like in this group.

このグループの中で、コンポージングのアクションがどのように見えるかに注目してほしい。

If I apply the stretch by 3 action, and then follow it with the stretch by 2 action, the overall effect is the same as if I had just applied the stretch by 6 action, the product of the two original numbers.

ストレッチ・バイ・3を適用し、その後にストレッチ・バイ・2を適用した場合、全体的な効果は、元の2つの数字の積であるストレッチ・バイ・6を適用した場合と同じになる。

And in general, applying one of these actions followed by another corresponds with multiplying the numbers they are associated with.

そして一般的に、これらのアクションの1つを適用した後に別のアクションを適用することは、それらが関連する数字を乗算することに対応する。

In fact, the name for this group is the multiplicative group of positive real numbers.

実際、この群の名前は正の実数の乗法群である。

So multiplication, ordinary familiar multiplication, is one more example of this very general and very far-reaching idea of groups, and the arithmetic within groups.

つまり、掛け算、通常の身近な掛け算は、グループとグループ内の算術という、この非常に一般的で非常に広範囲に及ぶ考え方の、もうひとつの例なのだ。

And we can also extend this idea to the complex plane.

そして、この考えを複素数平面にも拡張することができる。

Again, I like to think of fixing 0 in place with one hand, and dragging around the point at 1, keeping everything else evenly spaced while I do so.

繰り返しになるが、私は片手で0を固定し、1のポイントを中心にドラッグし、その間に他のすべてを等間隔に保つことを考えたい。

But this time, as we drag the number 1 to places that are off the real number line, we see that our group includes not only stretching and squishing actions, but actions that have some rotational component as well.

しかし今回、数字の1を実数直線から外れた場所にドラッグしてみると、このグループには伸ばしたりつぶしたりする動作だけでなく、回転の要素を持つ動作も含まれていることがわかる。

The quintessential example of this is the action associated with that point at i, one unit above 0.

その典型的な例が、0より1つ上のiの点に関連するアクションである。

What it takes to drag the point at 1 to that point at i is a 90 degree rotation.

1の点をiの点にドラッグするのに必要なのは、90度の回転である。

So the multiplicative action associated with i is a 90 degree rotation.

つまり、iに関連する乗法作用は90度の回転である。

And notice, if I apply that action twice in a row, the overall effect is to flip the plane 180 degrees.

そして、この動作を2回連続で行うと、全体的な効果としてプレーンが180度反転することに注目してほしい。

And that is the unique action that brings the point at 1 over to negative 1.

そしてこれが、1のポイントをマイナス1まで引き上げる独自のアクションなのだ。

So in this sense, i times i equals negative 1, meaning the action associated with i, followed by that same action associated with i, has the same overall effect as the action associated with negative 1.

この意味で、i×iはマイナス1に等しく、iに関連する行動と、それに続くiに関連する同じ行動が、マイナス1に関連する行動と同じ全体的効果を持つことを意味する。

As another example, here's the action associated with 2 plus i, dragging 1 up to that point.

別の例として、2＋iに関連するアクションを紹介しよう。

If you want, you could think of this as broken down as a rotation by 30 degrees, followed by a stretch by a factor of square root of 5.

必要であれば、これを30度回転させ、その後に5の平方根の倍数だけ伸ばしたと考えることもできる。

In general, every one of these multiplicative actions is some combination of a stretch or a squish, an action associated with some point on the positive real number line, followed by a pure rotation, where pure rotations are associated with points on this circle, the one with radius 1.

一般に、これらの乗法的作用のひとつひとつは、ストレッチかスクイッシュの組み合わせであり、正の実数直線上の点に関連する作用と、それに続く純粋な回転である。

This is very similar to how the sliding actions in the additive group could be broken down as some pure horizontal slide, represented with points on the real number line, plus some purely vertical slide, represented with points on that vertical line.

これは、加法群のスライディング動作が、実数直線上の点で表される純粋な水平方向のスライディングと、その垂直線上の点で表される純粋な垂直方向のスライディングに分解できるのとよく似ている。

That comparison of how actions in each group break down is going to be important, so remember it.

各グループのアクションの内訳を比較することは重要なので、覚えておいてほしい。

In each one, you can break down any action as some purely real number action, followed by something specific to complex numbers, whether that's vertical slides for the additive group, or pure rotations for the multiplicative group.

加法群では垂直スライド、乗法群では純粋回転といった具合に、どのアクションも純粋な実数のアクションと、それに続く複素数特有のアクションに分解することができる。

So that's our quick introduction to groups.

これがグループについての簡単な紹介だ。

A group is a collection of symmetric actions on some mathematical object, whether that's a square, a circle, the real number line, or anything else you dream up.

群とは、正方形、円、実数直線、その他あなたが思いつくものなど、ある数学的対象に対する対称的作用の集まりである。

Every group has a certain arithmetic, where you can combine two actions by applying one after the other, and asking what other action from the group gives the same overall effect.

どのグループにもある種の算術があり、2つのアクションを1つずつ適用して組み合わせることができる。

Numbers, both real and complex numbers, can be thought of in two different ways as a group.

数は、実数も複素数も、グループとして2つの異なる方法で考えることができる。

They can act by sliding, in which case the group arithmetic looks like ordinary addition, or they can act by stretching, squishing, rotating actions, in which case the group arithmetic looks like multiplication.

この場合、群演算は通常の足し算のように見える。また、群演算は掛け算のように見える。

And with that, let's talk about exponentiation.

ということで、指数について話そう。

Our first introduction to exponents is to think of them in terms of repeated multiplication, right?

私たちが最初に指数に触れるのは、掛け算の繰り返しという観点から指数について考えることだ。

I mean, the meaning of something like 2³ is to take 2x2x2, and the meaning of something like 2⁵ is 2x2x2x2x2.

つまり、2³のようなものの意味は2x2x2を取ることであり、2⁵のようなものの意味は2x2x2x2x2である。

And a consequence of this, something you might call the exponential property, is that if

この結果、指数関数的性質と呼ばれるものが生じる。

I add two numbers in the exponent, say 2³ plus 5, this can be broken down as the product of 2³ times 2⁵.

指数で2つの数字を足す、例えば2³に5を足す、これは2³×2⁵の積として分解できる。

And when you expand things, this seems reasonable enough, right?

そして、物事を拡大するとき、これは十分に合理的に見えるだろう？

But expressions like 2½, or 2-1, and much less 2i, don't really make sense when you think of exponents as repeated multiplication.

しかし、2.5や2-1、ましてや2iのような式は、指数を掛け算の繰り返しと考えると、あまり意味をなさない。

What does it mean to multiply two by itself half of a time, or negative one of a time?

を掛けると1/2倍、マイナスにすると1/1倍とはどういうことか？

So we do something very common throughout math, and extend beyond the original definition, which only makes sense for counting numbers, to something that applies to all sorts of numbers.

そこで私たちは、数学全体に共通することを行い、数を数えることにしか意味をなさない本来の定義から、あらゆる種類の数に適用できる定義へと拡張するのである。

But we don't just do this randomly.

しかし、ただ漫然とやっているわけではない。

If you think back to how fractional and negative exponents are defined, it's always motivated by trying to make sure that this property, 2²x±, equals 2²x²y, still holds.

分数や負の指数がどのように定義されているかを思い返してみると、それは常に、2²x±が2²x²yに等しいというこの性質が依然として成り立つことを確認しようとすることに動機づけられている。

To see what this might mean for complex exponents, think about what this property is saying from a group theory light.

この性質が複素指数にとってどのような意味を持つのか、群論的に考えてみよう。

It's saying that adding the inputs corresponds with multiplying the outputs, and that makes it very tempting to think of the inputs not merely as numbers, but as members of the additive group of sliding actions, and to think of the outputs not merely as numbers, but as members of this multiplicative group of stretching and squishing actions.

入力を足し算することは、出力を掛け算することに対応すると言っているのだ。そして、入力を単に数字としてではなく、滑らせる動作という加法グループのメンバーとして考え、出力を単に数字としてではなく、伸ばしたり潰したりする動作という乗法グループのメンバーとして考えたくなる。

Now it is weird and strange to think about functions that take in one kind of action and spit out another kind of action, but this is something that actually comes up all the time throughout group theory, and this exponential property is very important for this association between groups.

ある種の作用を取り込み、別の作用を吐き出す関数について考えるのは奇妙でおかしいが、これは群論を通して実際によく出てくることであり、この指数特性はグループ間の関連付けにとって非常に重要である。

It guarantees that if I compose two sliding actions, maybe a slide by negative 1, and then a slide by positive 2, it corresponds to composing the two output actions, in this case squishing by 2 to the negative 1, and then stretching by 2².

これは、もし私が2つのスライド・アクション、例えばマイナス1だけスライドし、次にプラス2だけスライドするアクションを合成する場合、2つの出力アクションを合成することに相当し、この場合はマイナス1に対して2だけつぶし、次に2²だけ伸ばすことを保証する。

Mathematicians would describe a property like this by saying that the function preserves the group structure, in the sense that the arithmetic within a group is what gives it its structure, and a function like this exponential plays nicely with that arithmetic.

数学者はこのような性質を「関数が群構造を保持する」と表現する。つまり、群内の算術がその構造を与えるのであり、この指数関数のような関数はその算術とうまく調和するのである。

Functions between groups that preserve the arithmetic like this are really important throughout group theory, enough so that they've earned themselves a nice fancy name, homomorphisms.

このような算術を保存する群間の関数は、群論全体を通して非常に重要であり、同型という素敵な名前がついているほどだ。

Now think about what all of this means for associating the additive group in the complex plane with the multiplicative group in the complex plane.

ここで、複素数平面上の加法群と複素数平面上の乗法群を関連づけることの意味を考えてみよう。

We already know that when you plug in a real number to 2 to the x, you get out a real number, a positive real number in fact.

に実数を入れると、実数、実際には正の実数が得られることはすでに知っている。

So this exponential function takes any purely horizontal slide and turns it into some pure stretching or squishing action.

つまり、この指数関数は、あらゆる純粋な水平方向のスライドを、純粋な伸縮動作に変えてしまうのだ。

So wouldn't you agree that it would be reasonable for this new dimension of additive actions, slides up and down, to map directly into this new dimension of multiplicative actions, pure rotations?