So first thing we'll do is talk about a procedure that we're going to follow to go through this.

まず最初に、これから行う手順についてお話ししましょう。

So first thing we're going to do is we're going to pretend that the A1, A2, Z, three-axis parallel pipette within the hexagonal unit cell is actually X, Y, Z orthogonal.

そこでまず、六角形のユニットセル内のA1、A2、Zの3軸平行ピペットを、実際にはX、Y、Zの3軸直交ピペットだと仮定します。

We're going to sort of imagine that that's where our direction exists, and then we're going to proceed from there and determine the three-index notation for that vector.

そこに方向があると想像して、そこから進んで、そのベクトルの3指標表記を決めるんだ。

Now we're going to call this sort of a temporary three-index system because we're not going to stop there.

ここでは、これを一時的な3指数システムと呼ぶことにする。

We could.

そうかもしれない。

In fact, a while ago, a few decades ago, people used to do that.

実際、少し前、数十年前は、みんなそうしていた。

But the convention nowadays is to go to four-axis system to avoid any confusion with cubic systems.

しかし、最近の慣例では、キュービックシステムとの混乱を避けるため、4軸システムに移行している。

So we'll take this temporary three-axis system then and then convert it to a four-axis system and then just enclose it.

そこで、この一時的な3軸システムを4軸システムに変換し、それを囲みます。

So it's sort of that straightforward.

だから、それはある意味簡単なことなんだ。

So let's go ahead and look at an example problem now.

では、問題の例を見てみよう。

So this first example problem, we've got a vector that originates off on the left-hand side of the base of the hexagonal unit cell and then travels up.

この最初の例題では、六角形のユニットセルの底面の左側を起点とし、上へ向かうベクトルがある。

And so what we have to do, the first step, and this is really I think the hard step, is we have to be able to picture that direction within the A1, A2, Z three-axis system.

そして、私たちがしなければならないこと、最初のステップは、これは本当に難しいステップだと思うが、A1、A2、Zの3軸システムの中でその方向をイメージできるようにすることだ。

Our conventional origin in the middle of the unit cell there, in the middle of the base of the unit cell, is usually a place that we're comfortable visualizing this.

従来の原点はユニットセルの真ん中、つまりユニットセルの底辺の真ん中にあった。

So what we could do is we could actually just translate that vector, translate it over, so that it now originates at our conventional origin, right in the very center of the basal plane.

つまり、このベクトルを平行移動させ、従来の原点、つまり基底面のちょうど中心を原点とするようにするのだ。

And if we do that, we'll see the direction that the vector travels up in the Z direction and directly over the negative Y, sorry, the negative A3 axis.

そうすると、ベクトルがZ方向に上昇し、負のY軸、失礼、負のA3軸の真上を通過する方向がわかるだろう。

And it travels by one step over in the horizontal direction, that is the A lattice parameter, and then during that distance, that travel, it travels up a rise of the lattice parameter.

そして、水平方向に一段階移動し、それがA格子定数となり、その移動距離の間に、格子定数の上昇分を移動する。

So if we look at that vector in the three-axis system now, it would be the vector that originates at the conventional origin and then travels one over in the X, one over in the Y, and one up in the Z.

つまり、そのベクトルを3軸システムで見ると、従来の原点を起点とし、Xに1つ、Yに1つ、Zに1つ移動するベクトルとなる。

So it's in fact one of those cube diagonals, and specifically, it's the 1, 1, 1 direction in a cubic system.

つまり、立方体の対角線の1つで、具体的には立方体の1、1、1の方向だ。

So U prime, V prime, and W prime are 1, 1, and 1.

つまり、Uプライム、Vプライム、Wプライムは1、1、1である。

So then all we need to do is convert that to the three-axis system.

だから、あとはそれを3軸システムに変換するだけだ。

And actually, another thing we could do, instead of shifting the vector over, another thing we could do is we could just define the origin of the vector as it originally sat as our 1, 1, A2 axis originating from that origin.

ベクトルをずらす代わりに、ベクトルの原点を1,1,A2軸として定義することもできる。

It's entirely equivalent.

まったく同等だ。

I either define a new origin or translate the vector over.

新しい原点を定義するか、ベクトルを平行移動させる。

They're the same thing.

同じことだ。

OK.

OKだ。

So anyway, we've got U prime, V prime, W prime, 1, 1, and 1.

とにかく、Uプライム、Vプライム、Wプライム、1、1、1が揃った。

So therefore, U is equal to 1 third times 2 times 1 minus 1.

したがって、Uは1の3分の1の2倍から1を引いたものに等しい。

V is, again, 1 third times 2 times 1 minus 1.

Vは、繰り返しになるが、1/3の2倍×1マイナス1である。

And T, the third, this new index, is, remember, it's equal to the sum of U and V made negative.

そして3つ目のT、この新しいインデックスは、UとVの合計をマイナスにしたものだ。

It's not U prime plus V prime made negative.

Uプライム＋Vプライムをマイナスにしたのではない。

So just make sure you don't make a mistake with that.

だから、それを間違えないようにしてほしい。

And so we'll have that U is 1 third.

それで、Uは1/3になる。

V is 1 third.

Vは1/3。

T, then, is negative 2 thirds.

つまり、Tはマイナス3分の2となる。

And W is just W prime, which is 1.

そしてWはただのWプライムで、1である。

So we're almost done.

だから、もうほとんど終わったんだ。

We've just got the 3 in the denominator there, a little pesky little 3.

分母に3が入っているだけだ。

And so we're going to just multiply across by 3 to clear the fractions.

そして、分数をクリアするために、横方向に3を掛けるだけだ。

And we're going to end up with 1, 1, negative 2, and 1.

そして、最終的には1、1、マイナス2、1となる。

Sorry, and 3. 1 times 3 is 3.

申し訳ないが、3.1×3は3。

So our enclosure, then, in square brackets, is going to be 1, 1, 2 bar, 3.

つまり、角括弧で囲むと、1、1、2、3となる。

All right, fantastic.

よし、素晴らしい。

Let's look at another vector now.

別のベクトルを見てみよう。

And this one is a little bit more challenging, perhaps.

そして、これは少し難しいかもしれない。

So what we have to do is we have to translate that into our A1, A2, Z, 3-axis system, or define a new origin around there.

つまり、それをA1、A2、Zの3軸システムに変換するか、そのあたりに新しい原点を定義する必要がある。

I think in this case, it's easier to translate the vector rather than draw the axes, but you could do either.

この場合、軸を描くよりもベクトルを平行移動させる方が簡単だと思うが、どちらでもできる。

Either one is the same.

どちらでも同じだ。

So if we translate it over, you can realize that, in fact, it resides entirely over the A2-axis.

つまり、A2軸の上にあるのだ。

So that means if you translate it back into space, back along the positive A2-axis, it'll just travel exactly over the A2-axis with no component hanging off into the A1 direction.

つまり、A2軸の正の方向に沿って空間に戻せば、A2軸の上を正確に移動するだけで、A1方向にぶら下がる成分はないということだ。

So when we translate it back by one A lattice parameter in the positive A2 direction, it now originates in the base, in the conventional origin, right in the very middle of the basal plane, and travels out.

A2方向にA格子定数を1つ戻すと、今度は基底面、従来の原点、つまり基底面のちょうど真ん中が原点となり、外に出ていく。

But you'll notice that it travels two steps before it makes one rise in the Z direction.

しかし、Z方向に1回上昇する前に2ステップ移動していることに気づくだろう。

Therefore, it's going to exit our unit cell at half the height.

したがって、ユニットセルから出る高さは半分になる。

So now we've got this vector that's going out straight along the A2 direction, with a rise for that one step in the A2 direction, a rise of 1 half.

このベクトルはA2方向に沿ってまっすぐ伸びている。

So that vector in a three-axis notation would be, well, it's got no component in X.

つまり、3軸表記でのベクトルは、Xに成分を持たないということになる。

It's got 1 in Y and 1 half in Z.

Yに1、Zに1ハーフある。

So we've got 0, 1, and 1 half.

つまり、0、1、1ハーフがある。

Multiply across by 2, we get 0, 2, 1.

横に2を掛けると、0, 2, 1となる。

So that's the 0, 2, 1 vector.

これが0、2、1のベクトルだ。

OK.

OKだ。

So then we just have to convert from U prime, V prime, W prime to UVTW for an index system.

ということは、Uプライム、Vプライム、WプライムからUVTWに変換してインデックス・システムにすればいいわけだ。

So let's do that.

だから、そうしよう。

And if we want to convert to U, we've got 1 third times 2 times U prime, which is 0.

そして、Uに変換したい場合、1/3の2倍のUプライムがあり、これは0である。

So minus 1 times 1 third is negative 1 third.

つまり、マイナス1×1/3はマイナス1/3となる。

And then, sorry, minus 2, minus 2.

それからマイナス2、マイナス2。

So it's negative 2 thirds.

つまり、マイナス3分の2だ。

And then we've got V being 1 third times 2 times 2 minus 0.

そして、Vは1/3倍×2倍×2マイナス0となる。

So that's 4 thirds.

つまり3分の4だ。

And then we sum U and V and make it all negative.

そして、UとVを合計し、すべてをマイナスにする。

So we've got 4 thirds minus 2 thirds is 2 thirds made negative.

つまり、3分の4から3分の2を引いた3分の2がマイナスになる。

So that's negative 2 thirds.

つまり、マイナス3分の2だ。

And then W is just W prime, which is just 1.

そしてWはただのWプライムで、これはただの1である。

So our indices are almost done.

だから、我々の指標はほぼ完成している。

Again, we've got to clear across to get rid of the 3 in the denominator.

ここでも、分母の3を取り除くために横をクリアしなければならない。

And so we're going to end up with 2 bar, 4, 2 bar, 3 once we've multiplied across by 3.

そうすると、2小節、4小節、2小節、3小節となる。

So that was fairly challenging.

だからかなり挑戦的だった。

Let's look at one more.

もうひとつ見てみよう。

And this one here, again, we've got to picture this somewhere within our A1, A2, Z 3-axis system somehow.

そして、これもまた、A1、A2、Zの3軸システムのどこかに描かなければならない。

So we could translate it over, or we could just define the origin where it exists, where the origination of the vector resides right now.

だから平行移動させることもできるし、原点を定義することもできる。

And I think that's probably the easiest way to do it.

それが一番簡単な方法だと思う。

So the start of the vector, let's call that the origin.

ベクトルの始点を原点と呼ぼう。

And we can draw in our A1, A2, Z parallelopiped around that.

そして、その周りにA1、A2、Zの平行四辺形を描くことができる。

Hopefully, you'll be able to see how that makes, or what that would look like in our XYZ orthogonal system.

XYZの直交システムでどのように見えるか、あるいはどのように見えるか、おわかりいただけると幸いです。

So in fact, it's traveling out along the positive A1 direction.

つまり、A1のプラス方向に沿って移動しているのだ。

It rises up a little bit.

少し上昇する。

It has a little component into positive y.

プラスYの要素が少しある。

But it's going to come out of that front face, essentially, of the XYZ cube or system, OK?

しかし、それはXYZキューブまたはシステムの、基本的にはそのフロントフェイスから出てくることになるんだ。

And so that's the first thing you need to picture is that.

だから、まずイメージする必要があるのはそのことだ。

It's a little difficult to see exactly where it's going to exit the unit cell.

ユニットセルのどこから出るのかを正確に見るのは少し難しい。

Hopefully, if you sketch in your axes around the origin of the vector, it'll be a little more clear.

うまくいけば、ベクトルの原点を中心に軸をスケッチすれば、もう少し明確になるだろう。

But you can see, if it actually traverses two steps along the A1 direction before it rises up 1 and Z, that means that you're going to have it exiting the front face at half the height.

しかし、実際にA1方向に2段トラバースしてから1段とZ段に上昇すると、フロントフェースから半分の高さで出ることになるのはおわかりだろう。

OK, so that means we've got this vector now that originates at the conventional origin of our cube and travels out towards us, towards you this way, I suppose, and rises up by half of the unit cell, half the height in the Z direction, before it exits that front face.

つまり、このベクトルは立方体の従来の原点を起点とし、こちら側、つまりあなたに向かって進み、単位セルの半分の高さ、つまりZ方向の半分の高さまで上昇してから、正面の面を出るということだ。

So the point coordinates of that point where the vector exits the unit cell, starting at 0, 0, 0, would be 1 in the X, 1 half in the Y, and 1 half in the Z.

つまり、0, 0, 0から始まるベクトルがユニットセルから出る点の座標は、Xに1、Yに1/2、Zに1/2となる。

So we've got a vector that you multiply across by 2.

つまり、ベクトルを2倍するんだ。

The vector in 3-space, or in the 3-axis system, is 2, 1, 1.

3空間、つまり3軸系でのベクトルは2, 1, 1である。

So then we just have to convert 2, 1, 1 into our 4-axis system.

つまり、2、1、1を4軸システムに変換すればいいわけだ。

So 1 third times 2 times 2 minus 1 is going to give us 4 minus 1, 3.

つまり、1/3×2×2マイナス1で、4マイナス1、3となる。

That's actually 1.

実は1だ。

That's actually 1, isn't it?

実は1なんでしょう？

And then V is going to be 1 third times 2 times 1 minus 2.

そして、Vは1/3の2倍×1マイナス2になる。

So that's 0.

だから0だ。

OK, so that's 0.

よし、これで0点だ。

It is 0, in fact.

実際には0だ。

And then T is 1 plus 0, made negative.

そしてTは1に0を足したマイナスになる。

So it's negative 1.

つまりマイナス1だ。

And W, of course, is just W prime, which was 1.

そしてWは、もちろんWプライム、つまり1である。

So our 4-axis notation now for that vector is just 1, 0, 1 bar, 1.

つまり、このベクトルの4軸表記は、1, 0, 1 bar, 1となる。

OK?

いいかい？

But that was hard.

でも、それは難しかった。

It looks like an easy answer, but it was a challenging question.

簡単な答えに見えるが、難しい質問だった。

I hope that helped.

お役に立てたなら幸いだ。

Thanks.

ありがとう。