In fact it's pretty straightforward to understand the resonant phenomena now that we understood how to calculate the amplitude of the particular solution.

実際、特定の解の振幅を計算する方法を理解した今、共鳴現象を理解するのは非常に簡単だ。

So the amplitude of a particular solution will for example will be given by this equation we just calculated and we see that we see that this amplitude actually depends on the frequency and we can ask ourselves what's the resonant frequency in other words what's the frequency of the maximum amplitude and then we know since we have the numerator is a constant we just have to minimize the denominator.

例えば、ある特定の解の振幅は、今計算したこの式で与えられます。この振幅は実際に周波数に依存することがわかり、共振周波数は何か、言い換えれば振幅が最大になる周波数は何かと考えることができます。

This is a straightforward derivative so you try to minimize to make a derivative equal to zero and we find that the maximum of d will be obtained by frequency omega r is equal to omega zero square minus two beta square.

これは素直な導関数なので、導関数がゼロに等しくなるように最小化しようとすると、dの最大値は周波数ωrがωゼロの2乗からβ2乗を引いたものに等しいことがわかる。

So if you are driving your system at a frequency that's given by the equation here at the bottom of the slide this is when you have the maximum motion, maximum solution, maximum amplitude and motion.

ですから、スライドの一番下にある式で与えられる周波数でシステムを駆動している場合、これは最大の動き、最大の解、最大の振幅と動きを持つときです。

So we call this a resonant frequency omega r omega zero square minus two beta square and then we see that this resonant frequency can be modulated by changing the damping so there's a lot of damping.

そして、この共振周波数は減衰を変えることで変調できることがわかる。

I mean if the damping is fairly large not too large but let's say fairly large so that omega zero square minus two beta square is a positive still a positive number then the resonant frequency goes down.

つまり、減衰がかなり大きく、オメガゼロの2乗からベータ2乗を引いた値がプラスになるようにすれば、共振周波数は下がる。

There is no resonance however if two beta square is larger than omega zero square because in that case the resonant frequency is actually a complex number which actually it's an imaginary and then we would have a monotonic decrease.

しかし、ベータ2乗がオメガ0乗より大きければ共振は起きない。なぜなら、その場合、共振周波数は実際には複素数であり、実際には虚数であるため、単調減少することになるからだ。

So that's something that's important to notice.

だから、そのことに気づくことが重要なんだ。

Okay so just to summarize a little bit what we've done so far we've looked at a number of frequencies we've looked at when we looked at three oscillations no damping no force we found the natural frequency omega zero square equal k over m.

さて、これまでやってきたことを少しまとめると......いくつもの振動数を見てきた。減衰なし、力なしの3つの振動を見たとき、固有振動数ω（オメガ）がゼロの2乗に等しいことがわかった。

When we look at damping we find that we had an omega one square equal omega zero square one beta square.

減衰を見ると、オメガ1の2乗がオメガ0の2乗に等しいことがわかる。

This frequency omega one could be either an oscillation like in the under damping or it's no longer an oscillation when we are for example in over damping but in the under damping which is actually the solution that's written on this slide with the envelope function omega one is a frequency not so much of a periodicity of the response since the amplitude goes down so you don't repeat the same solution but as basically the frequency between maxima.

この周波数ω1は、減衰不足の場合のような振動か、あるいは例えば減衰過剰の場合はもはや振動ではなくなりますが、減衰不足の場合は、このスライドに書かれているエンベロープ関数の解であるω1は、振幅が下がるので同じ解を繰り返すことはありませんが、基本的には最大値と最大値の間の周波数として、応答の周期性とはあまり関係ない周波数です。

And finally for the driven oscillation we find another important frequency which is the resonant frequency.

そして最後に、駆動振動について、共振周波数であるもう一つの重要な周波数を見つける。

So you see when you look at these three frequencies which are typical frequencies for for our driven oscillation that omega zero is always larger than omega one and which is which is itself always larger than omega r.

つまり、駆動振動の典型的な周波数であるこれら3つの周波数を見ると、オメガゼロは常にオメガ1より大きく、オメガrは常にオメガrより大きいことがわかる。

Now it turns out that driving system at resonant frequency is something that's very important for devices and for to get the best response the maximum response from a system.

さて、共振周波数でシステムを駆動することは、デバイスにとって、またシステムから最高のレスポンス、最大のレスポンスを得るために非常に重要なことであることがわかった。

And so these are used in many many different situations like for example in loudspeakers or in quantum resonators where we want to have the maximum response.

例えば、ラウドスピーカーや量子共振器など、最大限のレスポンスを得たい様々な場面で使用される。

You see that as well even in NMR actually this is the way it works in the MRI nuclear magnetic resonance.

MRIの核磁気共鳴（NMR）でも同じことが言える。

Every time there's a resonance we would like to maximize the response.

共鳴があるたびに、私たちはその反応を最大化したい。

And so for this to maximize the response we call this quality factor and the quality factor Q is defined as the frequency of the resonance divided by twice the damping factor.

そして、レスポンスを最大化するために、これを品質係数と呼び、品質係数Qは共振周波数を減衰係数の2倍で割ったものと定義される。

Of course the quality factor will be much larger if we have very little damping very little loss right.

もちろん、減衰がほとんどなければ、クオリティ・ファクターはもっと大きくなる。

So if we have no damping in fact Q is going to be very large but if we have very large damping we can even end up in a situation when there is no more resonance.

減衰がない場合、Qは非常に大きくなるが、減衰が非常に大きい場合、共振がなくなってしまうことさえある。

And in fact you can see that very easily if you plot the amplitude D on this which is the left hand side.

実際、左側の振幅Dをプロットしてみると、それがよくわかる。

The resonance always shows as as a spike which is broader and broader as the damping increases.

共振は常にスパイクとして現れ、減衰が大きくなるにつれてその幅は広くなる。

So a greater as a larger damping means it's and in fact there is a place where beta is so large that there is no resonance as we discussed in the previous slide.

つまり、減衰が大きければ大きいほど、前のスライドで説明したように、実際にはベータが大きすぎて共振が起きない場所があるということです。

And on the right hand side you have the value of the D phasing delta which goes of course from the maximum at infinite quality.

そして右手にはDフェイシング・デルタの値があり、これはもちろん無限のクオリティで最大値から変化する。

In other words there's no damping to the flatter situation when there is a very very large damping at Q equals zero.

言い換えれば、Qがゼロに等しいときに非常に大きな減衰がある場合、より平坦な状況には減衰がない。

So as I mentioned oscillators can and resonators can be found in many different circumstances not just mechanical effect.

だから、私が述べたように、発振器や共振器は、機械的な効果だけでなく、さまざまな状況で見つけることができる。

Each time we have Newton's law where the Hooke's law we find situations like this.

ニュートンの法則とフックの法則があるたびに、私たちはこのような状況を発見する。

So in mechanical system like a loudspeaker the quality factor will be about 100 but in quantum devices could be up to 10 to power 14.

つまり、スピーカーのような機械的なシステムでは、品質係数は約100になるが、量子デバイスでは10～14乗になる可能性がある。

Electrical circuit is also well described so AC circuit also described as resonators.

電気回路もよく説明されるので、交流回路も共振器として説明される。

And so all those quality factors of course are very important so that we have a sharp response and a very large response.

もちろん、こうした品質的な要素はすべて、鋭い反応と非常に大きな反応を得るために非常に重要だ。

Now remember we are going to talk about one last thing which is the frequency for the kinetic energy resonance.

さて、最後にもうひとつ、運動エネルギー共鳴の周波数について話すことを忘れないでほしい。

Remember you have your system it's actually an oscillator which is damped and driven by an external force and we do not expect the energy to be constant of course because first of all we have an outside force which keeps pumping energy but also damping which keeps taking energy in friction and dissipation.

もちろん、エネルギーが一定であることは期待できない。なぜなら、まずエネルギーを送り続ける外力があり、さらに摩擦や散逸でエネルギーを奪い続ける減衰もあるからだ。

So we can ask if we were to monitor the kinetic energy resonance, is there a frequency at which there is a maximum kinetic energy.

運動エネルギーの共振をモニターするとしたら、運動エネルギーが最大になる周波数はあるのだろうか？

And so it's pretty easy to calculate because we know that the kinetic x dot is easy to calculate just like this.

というのも、このように運動学的なxドットは簡単に計算できることが分かっているからだ。

And if you calculate the square we obtain an equation like this.

そして、その2乗を計算すると、次のような式が得られる。

Now the problem is that we don't like equation like this because this is the kinetic energy as a function of time.

なぜなら、これは時間の関数としての運動エネルギーだからだ。

So we would like to get rid of the time so what it's typical to do is to calculate the average kinetic energy.

そこで、私たちは時間をなくしたいと考え、平均運動エネルギーを計算するのが一般的です。

And you calculate the average kinetic energy so basically average kinetic energy will be the average over one between two maxima if you will and so you obtain this by calculating the average of sine square.

そして平均運動エネルギーを計算するわけですが、基本的に平均運動エネルギーは2つの最大値の間の平均となり、正弦二乗の平均を計算することで得られます。

Why would we do sine square?

なぜ正弦二乗なのか？

Well because this is the only function that depends on time in the kinetic energy.

運動エネルギーの中で時間に依存する唯一の関数だからだ。

And so we end up the over a period of oscillation we find the average kinetic energy will be given by this equation which is of course depends on the frequency.

そうすると、振動の周期を考えると、平均運動エネルギーはこの式で与えられることになる。

Now let me reproduce that equation on the next slide.

では、その式を次のスライドに再現してみよう。

And so what we see is that in fact if you were to calculate the at what frequency the response the expectation value of kinetic energy is the maximum you will see that it will happen at omega equal omega naught which is the natural frequency of the system for undamped oscillation.

つまり、運動エネルギーの期待値が最大になるのはどの周波数なのかを計算すると、減衰のない振動の固有振動数であるオメガ・ナートに等しいオメガ・ナートで起こることがわかる。

So that's very interesting because this is different.

それはとても興味深いことだ。

So it turns out the maximum frequency at which the system has an average kinetic the maximum average kinetic energy is not the same frequency at which the displacement is the largest.

つまり、システムの平均運動エネルギーが最大となる最大周波数は、変位が最大となる周波数とは異なることがわかった。

So we can so this is interesting and on top of that we can also look at the other contribution to energy which is the potential energy.

その上、エネルギーへのもう一つの寄与であるポテンシャルエネルギーも見ることができる。

But that one is easy to see where the maximum contribution the potential energy will be because it will be the largest will be when the displacement is the largest and of course this person is the largest at omega r.

しかし、ポテンシャルエネルギーが最大になるのは、変位が最大になるときであり、もちろんこの人はωrで最大になる。

So you see energy and potential energy reach the maximum at different time.

つまり、エネルギーと位置エネルギーが最大になるタイミングは異なるということだ。

By the way this is not completely surprising that they do not happen at the same time since of course we do not have a conservative system at all.

ちなみに、保守的なシステムがまったくないわけではないから、この2つが同時に起こらないのはまったく不思議なことではない。

The total energy is not conserved we have damping and then we also have a pumping of energy.

全エネルギーは保存されず、減衰が生じ、さらにエネルギーがポンピングされる。

So this is pretty fascinating and it turns out the application of this of this framework is much much broader than than just mechanical systems.

このフレームワークの応用範囲は、単なる機械システムよりもはるかに広いことがわかった。

In fact the number of equations that you find in physics that will that will look very much like the ones we looked at today is very very large and it involves quantum system it involves mechanical system electrical system all sort of system where you have where you are pumping energy in the so dissipation of energy.

実際、物理学で今日見たような方程式の数は非常に多く、量子系や機械系、電気系など、エネルギーを送り込むシステム、エネルギーを散逸させるシステムなど、あらゆる種類のシステムに関係している。

So I hope it was clear I hope that you enjoyed this screencast and

このスクリーンキャストを楽しんでいただけたなら幸いです。