So far, we have looked at an oscillator with a force that depends on the separation, basically to the equilibrium point, Hooke's law.

ここまでは、基本的に平衡点までの分離に依存する力を持つ振動子、フックの法則について見てきた。

Then we added some damping, which was a force that was actually trying to reduce, was against the velocity, so a force that was proportional to the velocity but with a minus sign.

ダンピングとは、速度に逆らう力のことで、速度に比例するが符号はマイナスである。

And finally, we want to see how we can actually include energy into the system, so how we can inject energy into the system.

そして最後に、どのようにしてエネルギーをシステムに組み込むことができるのか、つまり、どのようにしてシステムにエネルギーを注入することができるのかを見てみたい。

And we are going to do this by including a sinusoidal driving force.

そして、正弦波の駆動力を加えることでこれを実現するつもりだ。

So basically what we are doing, we are including energy into the system in an oscillatory manner.

つまり、基本的に私たちがやっているのは、振動的にエネルギーをシステムに取り込むことなのだ。

So now that we've said this, we can write the equation, Newton's law.

これで、ニュートンの法則という方程式を書くことができる。

And what we see, the three terms on the left, the terms that we saw before for the damped oscillator, so just as a reminder, the acceleration, Hooke's law, and the damping factor, and the right-hand side will be a driving force.

左側の3つの項は、前に見た減衰振動子の項、つまり加速度、フックの法則、減衰係数、そして右側は駆動力です。

So we are starting to accumulate the frequencies and symbols and so on.

だから、周波数やシンボルなどを蓄積し始めているんだ。

So I'd like to insist on the fact that omega, in this case, is a parameter, if you will.

だから私は、この場合、オメガはパラメータであるという事実を主張したい。

It's an external, it's the frequency at which you're actually applying the force.

それは外部的なもので、実際に力を加える周波数だ。

So omega is a parameter of the problem.

つまり、オメガは問題のパラメータなのだ。

And you see that the force is actually time-dependent.

そして、その力は実際には時間に依存していることがわかる。

So it's an oscillatory force, F0 being a constant.

つまり、F0は定数であり、振動力なのだ。

Now we are going to rewrite this equation again so that we put an x dot dot without a pre-factor.

では、この方程式をもう一度書き直し、前因数分解をせずにxのドットを置くことにしよう。

So we end up with this equation.

つまり、この方程式に行き着く。

We've done this a number of times already.

もう何度もやっている。

And we need to solve this problem.

そして、この問題を解決する必要がある。

And we have to find a solution to this differential equation.

そして、この微分方程式の解を見つけなければならない。

Well, the solution to this equation is the usual approach that we learn in ordinary differential equation.

さて、この方程式の解法は、常微分方程式で習う通常のアプローチである。

We have two parts.

私たちには2つのパートがある。

The first is a solution.

1つ目は解決策だ。

Sorry about that.

申し訳ない。

The first is a solution to the equation without the right-hand side, which we actually know already because this is the damped oscillator that we saw in the previous screencast.

一つ目は、右辺を除いた方程式の解である。これは、前のスクリーンキャストで見た減衰振動子なので、実はすでに知っている。

And two, we want a solution that reproduces the right-hand side.

そして2つ目は、右辺を再現する解が欲しいということだ。

So we call that a complementary function and then a particular function.

だから、私たちはそれを補完機能、そして特定機能と呼んでいる。

So the complementary function, we've discussed it at length in the damped oscillator screencast, where we have the under-damped, over-damped, and critically damped.

補関数については、減衰振動子のスクリーンキャストで詳しく説明しましたが、そこではアンダーダンピング、オーバーダンピング、そしてクリティカルダンピングがあります。

The solution is here.

解決策はここにある。

So this is a solution of the equation in the blue box without the right-hand side.

つまり、これは右辺のない青枠の方程式の解である。

And the particular solution, we are going to try as a solution a cosine.

そして特別な解決策として、コサインを試してみることにする。

And we are going to see that the cosine actually should work.

コサインは実際に機能するはずだ。

But we are going to study this.

しかし、我々はこれを研究するつもりだ。

So the particular solution, let's try to see how this particular solution that we suggest here with d and delta being elements that we have to determine, let's see if it's a possible solution to the equation in blue.

そこで、dとデルタを決定しなければならない要素として、ここで提案する特定の解が、青字の方程式の可能な解になるかどうか試してみよう。

So we are going to introduce the solution xp in that equation and see if it's possible.

そこで、この方程式に解xpを導入し、それが可能かどうかを確認することにする。

So as always, I know that students always remember trigonometry very well.

だから、生徒たちはいつも三角法をよく覚えている。

But it's probably a good idea to remember that trigonometry is always your friend.

しかし、三角法はいつでもあなたの味方であることを覚えておくといいかもしれない。

So some equations that you might find useful.

そこで、役に立つかもしれない方程式をいくつか紹介しよう。

And then what we do, we insert xp as a possible solution on the equation on the top.

そして、私たちがすることは、xpを上の方程式の可能解として挿入することである。

And then we end up with those two solutions, that equation.

そして、この2つの解、つまり方程式に行き着く。

And so what we see here is something that's interesting, is that we have a term in front of cosine omega t and a term in front of sine omega t.

つまり、コサイン・オメガtの前に項があり、サイン・オメガtの前に項があるということだ。

However, cosine omega t and sine omega t are linearly independent functions.

しかし、余弦ωtと正弦ωtは線形独立関数である。

Therefore, in order for this equation to be always true for any time, we need the two coefficients in front of cosine omega t and in front of sine omega t to be zero.

したがって、この方程式がどの時間に対しても常に成り立つためには、余弦ωtの前と正弦ωtの前の2つの係数がゼロである必要がある。

And in fact, by doing so, we will be able to determine the two unknowns, which are d and delta.

そして実際、そうすることで2つの未知数、dとデルタを決定することができる。

So let's start with the simplest one, which is this term.

では、最もシンプルなもの、つまりこの言葉から始めよう。

So this term should be equal to zero.

だから、この項はゼロに等しいはずだ。

In order to ensure that the function is zero, the other term will also need to be zero.

関数がゼロであることを保証するためには、もう一方の項もゼロである必要がある。

We'll discuss that in a few minutes.

それについては数分後に話そう。

So we see directly that for this to be zero, if we divide by cosine delta left and right, we see that we find that the tangent of delta should be two omega beta divided by omega zero squared minus omega squared.

つまり、これがゼロになるためには、コサイン・デルタを左右に割れば、デルタの接線は2つのオメガ・ベータをオメガ・ゼロの2乗で割ったものからオメガの2乗を引いたものになることが直接わかる。

Just to remind you, omega zero is the natural frequency of the undamped oscillator that we've discussed since the beginning of this chapter.

念のため言っておくが、オメガゼロとは、この章の冒頭で説明した減衰のない振動子の固有振動数である。

Omega is the frequency of the driving force that we have introduced.

オメガは導入した駆動力の周波数である。

And delta is really, when you think about it, when you go back to the equation that we used as xp, delta is a de-phasing between the application of the driving force and the response.

そしてデルタとは、xpとして使った式に立ち戻って考えてみると、駆動力の印加と反応との間の位相のずれのことである。

So delta is really kind of a delay, if you will, between the application of the force and the maximum of the response.

つまりデルタとは、力を加えてから反応が最大になるまでの遅れのようなものだ。

So we have this solution.

そこで、このような解決策を用意した。

Again, it's a good idea to remember some trigonometry.

ここでも三角法を覚えておくといいだろう。

And that allows us to calculate sine delta and cosine delta.

これにより、サイン・デルタとコサイン・デルタを計算することができる。

This is pretty elementary from trigonometry.

これは三角法の初歩的なことだ。

So we had this equation that has to be equal to zero.

つまり、この方程式はゼロに等しくなければならないのだ。

We already focused on the second part.

私たちはすでに第2部に焦点を当てた。

Now let's look at this first part.

では、この最初の部分を見てみよう。

So we want this to be equal to zero.

つまり、この値がゼロになるようにするのだ。

And that allows me to find the value of a, actually the value of d as a function of a.

それでaの値、実際にはaの関数としてのdの値を求めることができる。

And then when we see this, we see that in the denominator, we have a cosine delta and a sine delta.

そしてこれを見ると、分母にコサイン・デルタとサイン・デルタがあることがわかる。

But we already calculated sine delta and cosine delta in the previous slide.

しかし、前のスライドですでにサイン・デルタとコサイン・デルタを計算した。

So when we substitute, we find that the value of d, which is the amplitude of the solution, the particular solution, is going to be given by this equation here.

そこで代入してみると、解の振幅であるdの値は、この方程式で与えられることがわかる。

So the amplitude is going to depend on a number of things.

だから、振幅はいろいろなことに左右される。

It's going to depend on the damping, it's going to depend on the driving frequency, and also on the natural frequency.

減衰に依存し、駆動周波数に依存し、固有周波数にも依存する。

So when we put everything together, we see that the particular solution of the problem is completely known now.

だから、すべてをまとめてみると、問題の特定の解決策はもう完全にわかっていることがわかる。

The particular solutions are completely known because we just described delta and we described d.

デルタとdを説明しただけなので、特定の解は完全にわかっている。

So this is the solution, this exact solution.

だから、これが解決策なんだ。

And then as I discussed already, delta will be the phase difference between the maximum of the driving force and the maximum of the resultant motion.

そして、すでに述べたように、デルタは駆動力の最大値と結果としての運動の最大値との間の位相差となる。

Interestingly enough, this phase difference, delta, actually depends on the driving frequency.

興味深いことに、この位相差デルタは駆動周波数に依存する。

Now, for example, I'm sorry, for example, just an example on the last slide, on the last line of this slide, we see that if there is no driving frequency, of course, there is no delay, obviously, there is a delay of pi over 2 at the frequency omega equal omega 0 and a dephasing of pi when the frequency is extremely large.

このスライドの最後の行にあるように、駆動周波数がない場合、もちろん遅延はありませんが、明らかに、周波数ωがω0に等しいときに2以上のπの遅延があり、周波数が極端に大きいときにπのデフェーズがあります。

So that's going to give, you know, like the response of the system is actually delayed compared to the application of the force.

つまり、力を加えるのに比べてシステムの反応が遅れてしまうんだ。

So what have we done in the past seven minutes and a half?

では、この7分半の間に我々は何をしたのか？

Well, we found a solution to the damped oscillator with a driving force.

さて、我々は駆動力を持つ減衰振動子の解を見つけた。

And we saw that the solution is the sum of a particular solution and of the complementary solution.

そして、解は特定の解と相補的な解の和であることを見た。

So Xc is what we did in the previous screencast and Xp is the particular solution.

つまり、Xcは前のスクリーンキャストでやったことで、Xpは特定のソリューションだ。

So here is something that's very important to notice.

ここで、非常に重要なことに気づいてほしい。

What I'm going to argue about now is that in steady state, so in the long time scales, what matters is Xp.

私が今論じているのは、定常状態、つまり長い時間スケールにおいて重要なのはXpだということだ。

In fact, Xc, the complementary, represents a transient effect.

実際、補完的なXcは過渡的な効果を表している。

So transient effect, I affect the die out quickly.

だから一過性の効果で、すぐに枯れてしまうんだ。

And let me explain to you why.

その理由を説明しよう。

So I reproduce the plot there that we saw in the previous screencast into the damped oscillator.

そこで、前のスクリーンキャストで見たプロットを、減衰オシレーターに再現します。

And we see that in each case, the amplitude after a while goes to zero.

いずれの場合も、しばらくすると振幅がゼロになることがわかる。

So Xc, after a sufficiently long time, Xc will go to zero.

だからXcは、十分に長い時間が経てばゼロになる。

So after you start the motion, if you wait long enough, the solution in blue will actually no longer matter.

だから、モーションを開始した後、十分な時間待てば、青い部分の解は実はもう問題ではなくなる。

So these effects will die out.

だから、これらの効果は消えていく。

And so the only thing that's going to survive is Xp.

だから、生き残るのはXpだけだ。

So this is the situation in the steady state.

これが定常状態での状況だ。

And you can ask, what is long enough time?

そして、十分な時間とは何なのか？

Well, the time that's long enough will be the one where the exponential, which remember the exponential was e to the power minus beta t, when that exponential is low enough.

十分長い時間というのは、指数関数が十分低いときに、指数関数がeのマイナスベータt乗であったことを覚えている。

So in other words, when the time, when beta t is large enough, so in other words, when the time is much larger than 1 over beta.

つまり、ベータtが十分に大きいとき、言い換えれば、ベータtが1よりはるかに大きいときである。

So if you have a very damp situation, so beta is very large, the time it takes to get to steady state is very small.

つまり、非常に湿った状況でベータ値が非常に大きければ、定常状態になるまでの時間は非常に短くなる。

So at that time, we are going to suppose that the blue solution is actually not going to matter anymore because we waited long enough so that the exponential got to zero.

つまり、その時点では、指数関数がゼロになるのに十分な時間を待ったので、青い解は実はもう問題ではない、と仮定することになる。

So we only have to worry about Xp.

だから、Xpだけを心配すればいい。

And when we do that, we see that depending on the frequency at which we drive the system, we are going to see that Xc is going to go to zero.

そうすると、システムをドライブする周波数によって、Xcがゼロになることがわかる。