In this playlist we're going to take a closer look at simple harmonic motion and in particular how the equation is derived what it means physically relative to what's happening when there's simple harmonic motion and then we're also going to look at it in terms of the damping because a lot of simple harmonic motion involves damping and we want to see how the equation itself is derived and how to utilize that equation as well and there's several solutions that we need to look at depending upon what kind of damping we're dealing with.

このプレイリストでは、単純調和運動について詳しく見ていこうと思う。特に、方程式がどのように導き出されるのか、単純調和運動が起こっているときに物理的にどのようなことが起こっているのか、そして減衰の観点からも見ていこうと思う。単純調和運動の多くには減衰が含まれるため、方程式自体がどのように導き出されるのか、そしてその方程式をどのように利用するのかを見ていこうと思う。また、どのような減衰を扱うのかによって、いくつかの解を見る必要がある。

But before we look at the details of damping let's take a look again at the general undamped simple harmonic motion equation.

しかし、減衰の詳細を見る前に、一般的な減衰なしの単純調和運動方程式をもう一度見てみよう。

So here we graphically show when we have an object hanging from a spring the spring has a certain amount of spring constant K and the object has a certain amount of mass M.

そこでここでは、物体がバネにぶら下がっているとき、バネが一定のバネ定数Kを持ち、物体が一定の質量Mを持つことをグラフで示します。

Once we allow it to balance so let's say we hang it on the at the equilibrium point then we can give it a push upward or we can pull downward and then it'll begin to oscillate up and down.

平衡点に吊るした後、上方に押すか、下方に引くかすれば、上下に振動し始める。

The gravity portion is is then negated by the fact that the spring has been extended somewhat before we start the oscillatory motion.

重力の部分は、振動運動を始める前にバネがいくらか伸びているという事実によって否定される。

Here at this position this position in this position that the mass is what we call at the equilibrium point.

この位置で、この位置で、質量はいわゆる平衡点にある。

That is where there is no net force acting on the object and therefore no acceleration and the position is therefore at zero.

つまり、物体に作用する正味の力はなく、したがって加速度もなく、位置はゼロとなる。

That's the equilibrium point and in this particular example let's assume that the motion is upward so velocity in this point is upward.

これが平衡点であり、この例では運動が上向きであると仮定しよう。

It will then reach its maximum distance away from the equilibrium point when X equals the amplitude of the motion capital A stands for amplitude.

そして、Xが運動の振幅に等しいとき、平衡点からの距離が最大になる。

At that moment V will be zero and the acceleration will be in the negative direction.

その瞬間、Vはゼロになり、加速度はマイナス方向になる。

As long as the object is above the equilibrium point acceleration will be negative.

物体が平衡点より上にある限り、加速度は負になる。

When it's below the equilibrium point like like it is over here then the acceleration will be in the positive direction.

平衡点を下回ると、加速はプラス方向になる。

Notice it'll be coming back down moving through the equilibrium point but in this case it's moving on downward negative velocity.

均衡点を通過して下降してくるが、この場合は下向きの負の速度で移動していることに注意。

At this moment in time the position is zero the acceleration is zero then it reaches its maximum elongation below the equilibrium point when X equals negative the amplitude.

この瞬間、位置はゼロ、加速度もゼロとなり、Xが振幅のマイナスに等しくなったとき、平衡点以下で最大伸びに達する。

So we have positive amplitude negative amplitude at this moment the velocity is zero the acceleration is upward and then it reaches back to the equilibrium point just like it was over here with an upward velocity X is equal to zero and there's no acceleration that moment because there's no net force acting on the mass.

つまり、この瞬間は正振幅負振幅で、速度はゼロ、加速度は上向きで、その後、こちらと同じように平衡点に戻り、上向きの速度Xはゼロに等しく、質量に作用する正味の力がないため、その瞬間は加速度がない。

And so that's how it is continuous up and down and notice that there's some relationship to a sine or a And then we moved a paper past that pencil at a constant speed as this is oscillating up and down you would actually the pen would actually make that sine wave or that cosine wave as the paper is moving and as the object is oscillating up and down.

そして、これが上下に振動しているときに、紙を一定の速度で鉛筆の前に移動させると、紙が移動して物体が上下に振動しているときに、ペンが正弦波や余弦波を作ることになります。

So there's some relationship between simplomatic motion and the sine or the cosine function.

つまり、単純運動と正弦関数や余弦関数には何らかの関係があるということだ。

Now we'll see mathematically why that is the case.

では、なぜそうなるのかを数学的に見てみよう。

Starting with Newton's second law where f equals ma we can turn the ma equals f and then we know that the force exerted on the mass by the spring is equal to minus kx. k is the spring constant and X is a distance away from the equilibrium point.

ニュートンの第二法則では、fはmaに等しいことから、maはfに等しく、バネが質量に及ぼす力はマイナスkxに等しいことがわかる。

Notice the negative sign because if the mass is in a positive position the spring is then pushing in the negative direction that's why the negative is there.

負の符号に注目してほしい。質量が正の位置にある場合、スプリングは負の方向に押されるからである。

Then we realize that the acceleration is essentially the second derivative of position with respect to time so we can replace a by that and then notice that if we move the minus kx to the left we end up with an equation here equal to zero and also notice if we divide everything by m then we have d square x dt square with other words the second derivative of x with respect to time plus k over m times x equals zero.

また、すべてをmで割ると、d平方x dt平方、つまり、xの時間に対する2階微分とkをm倍したものがゼロになることに気づく。

Again this is an undamped case and if we then replace this with x double dot. x double dot simply means the second derivative of x with respect to time and then if we allow Omega to be equal to the square root of k over m which essentially that's the definition of Omega we can now write this as x double dot plus Omega squared x equals zero which is the second order differential equation of an undamped system.

もしオメガがm上のkの平方根に等しいと仮定すれば、オメガの定義は本質的にこれであり、xの2乗にオメガの2乗を足したものがゼロに等しいと書くことができる。

Now the solution to that can either be the sine or the cosine.

その解はサインかコサインになる。

Why is there a potential for a sine or cosine?

なぜサインやコサインの可能性があるのか？

Well it depends on the initial condition, the initial time.

まあ、それは初期状態、初期時間による。

If time equals zero here notice that the amplitude is zero when time equals zero.

ここで時間がゼロに等しい場合、振幅がゼロになることに注目してほしい。

Well that would happen when we have a sine function.

正弦関数があれば、そうなるだろうね。

When time equals zero the sine of zero is zero and x will be at zero so that's what we have over here.

時間がゼロに等しいとき、ゼロの正弦はゼロとなり、xはゼロになる。

However if time equals zero when the object is up here then we have a cosine function because notice now when time equals zero the cosine of zero is one and x equals a which is what we have over here.

なぜなら、時間がゼロに等しいとき、ゼロの余弦は1であり、xはaに等しいからである。

So whether or not we use the sine or the cosine to describe the oscillatory motion or the simple harmonic motion simply depends on the initial condition.

つまり、振動運動や単純調和運動を表現するのにサインを使うかコサインを使うかは、単に初期条件次第ということになる。

Where's the object when time equals zero?

時間がゼロに等しい時、その物体はどこにある？

Now of course it could be over here on the way down it could be over here at time equals zero and then we have to modify the equation by putting a negative sign in front or by having a phase angle and we'll show you how to do that in the later video.

その場合、負の符号を前に付けるか、位相角を持たせるかして方程式を修正しなければならない。

Now we want to show you also that these two solutions are indeed solutions of this second order differential equation.

ここで、この2つの解が本当にこの2階微分方程式の解であることも示したい。

How do we know that?

なぜそんなことがわかるのか？

Well first of all we can take the first derivative with respect to time and the derivative of the sine is the cosine and the derivative of the angle omega t is omega so end up with a omega cosine of omega t.

まず第一に、時間に関して一次導関数をとり、正弦の導関数は余弦となり、角度ωtの導関数はωとなるので、ωtのω余弦となる。

If we then take the second derivative the derivative of cosine is the negative sign and again we have to multiply times the derivative of the omega square sine of omega t.

次に2次導関数を取ると、余弦の導関数は負の符号となり、再びωtのω平方正弦の導関数を掛けなければならない。

Then realizing that a sine omega t, a sine omega t is equal to x we can replace that so we're left with minus omega squared times x.

それから、正弦のωt、正弦のωtはxに等しいことを理解し、それを置き換えれば、マイナスωの2乗×xが残る。

And then if we move to the left side then we end up with x double dot plus omega squared x equals zero which is exactly what we had over there.

そして、左側に移動すると、xの2倍のドットにオメガの2乗を足したものがゼロになる。

So therefore we understand that this is indeed a solution to this second order differential equation.

したがって、これは確かにこの2階微分方程式の解であると理解できる。

We can do the same with the cosine function.

コサイン関数でも同じことができる。

Again take the first derivative with respect to time.

再び時間に関して一次導関数をとる。

The derivative of the cosine is the negative sine.

コサインの微分は負のサインである。

The derivative of omega t is omega.

ωtの導関数はωである。

Do it a second time.

2回目もやるんだ。

X double dot as we call it is equal to again the derivative of sine is the negative cosine.

Xのダブルドットは、正弦の微分である負の余弦に等しい。

That's where the negative came from.

そこからネガティブになった。

Oh no I'm sorry.

いやあ、申し訳ない。

Take that back.

撤回しよう。

The derivative of the sine is the positive cosine.

正弦の導関数は正の余弦である。

We already had a negative sine.

すでに負のサインは出ている。

And then we'll multiply the times the derivative of omega t which is omega.

そして、ωtの導関数であるωを掛ける。

That's where omega square comes from.

それがオメガスクエアの由来だ。

And cosine of omega t is equal to x.

そしてωtの余弦はxに等しい。

We make that substitution.

私たちはその代役を務める。

We have x double dot equals minus omega squared x.

xの二重ドットがxのマイナス・オメガの二乗に等しい。

Move to the left side.

左サイドに移動。

Now you can see again we get the exact same second order differential equation showing that x equal a cosine of omega t is also a solution of this differential equation.

さて、xがωtの余弦に等しいことも、この微分方程式の解であることを示す、まったく同じ2階微分方程式が得られることが再びわかるだろう。

So that's the basic differential equation describing the oscillator motion of an object.

これが物体の振動運動を記述する基本的な微分方程式だ。

Remember that k is the spring constant. m is the mass.

mは質量である。

And the square root of k over m. m is indeed the angular speed or the angular frequency of the motion.

mは角速度または運動の角周波数である。

Again we'll show you more about that.

これについてはまた改めて詳しく紹介しよう。

But that's the basic construct of symplemonic motion as we use the equation f equals ma which is then converted to the second order differential equation in terms of omega which is the angular frequency or angular speed of the oscillator motion.

しかし、これが共振運動の基本的な構成であり、fはmaに等しいという方程式を用い、これを振動子の角周波数または角速度であるωの観点から2階微分方程式に変換する。

And that is how it's done.

そして、これがそのやり方だ。