In this case, we're going to have refraction across two boundaries.

この場合、2つの境界を越えて屈折することになる。

Here is a block of glass.

ここにガラスのブロックがある。

Index of refraction is 1.5.

屈折率は1.5。

We have our first boundary, we have our second boundary.

第一の境界線があり、第二の境界線がある。

Here's the incoming ray.

これが入射光線だ。

It goes through the glass and then out the glass on the other side.

ガラスを通り抜け、反対側のガラスから出てくる。

Notice that I used the numerics that the angle of incidence is theta sub 1, The angle of refraction across the first boundary is theta sub 2, then the angle of incidence on the second boundary is theta sub 3, and the angle of refraction across the second boundary is theta sub 4.

入射角はθsub1、第一の境界を横切る屈折角はθsub2、第二の境界への入射角はθsub3、第二の境界を横切る屈折角はθsub4という数値を使っていることに注目してほしい。

In line with that, the index of refraction on this side of the first boundary is n sub 1, the index of refraction on the other side of that boundary is n sub 2, the index of refraction on this side of the second boundary is n sub 3, which by the way of course is the same as n sub 2, as you're still inside the glass.

それに伴い、第一の境界のこちら側の屈折率はnサブ1、その境界の反対側の屈折率はnサブ2、第二の境界のこちら側の屈折率はnサブ3である。

And then the index of refraction on the second side of the second boundary is n sub 4, which is back to what we started with, with the air.

そして、2つ目の境界の2つ目の側の屈折率はnサブ4となり、最初の空気での屈折率に戻る。

Notice that when we have the first boundary, we're traveling from an index of refraction, which is low, to an index of refraction, which is high, which means that the beam bends or refracts towards the normal.

最初の境界があるとき、私たちは屈折率の低いところから屈折率の高いところへ移動している。

Here we're traveling from an index of refraction, which is high, to an index of refraction, which is slow, which means that the beam will refract or bend away from the normal.

ここでは、屈折率の高いところから、屈折率の遅いところへ移動している。

And so the question is, what will theta sub 4 be equal to?

では、シータサブ4は何に相当するのか？

To figure that out, we have to start with theta sub 1.

それを理解するためには、シータ・サブ1から始めなければならない。

Now theta sub 1 was not given, you're only given this angle right here.

シータサブ1は与えられず、この角度だけがここに与えられている。

And to help you out, we're going to continue drawing this line horizontally this way.

このように水平に線を引いていく。

Now notice that this line right here is parallel to this line right there.

ここで、この線がこの線と平行であることに注目してほしい。

And this angle here and this angle here are what we call alternate interior angles, which means that if this angle is 45 degrees, then this angle must be 45 degrees as well.

つまり、この角度が45度なら、この角度も45度でなければならない。

And since this here is a right angle by definition, because this is the normal to this side right here, if this is 45 degrees, then this must be 45 degrees as well, which means theta sub 1 is 45 degrees.

そして、この辺は定義上直角であり、この辺の法線はここなので、ここが45度ならここも45度でなければならず、つまりθサブ1は45度ということになる。

And now we can go ahead and try to figure out what theta sub 2 is equal to.

それでは、シータサブ2が何に等しいかを考えてみよう。

And for that, we use Snell's Law, n1 sine of theta 1 is equal to n2 sine of theta sub 2.

そのためにはスネルの法則を使う。θ1の正弦n1はθ2の正弦n2に等しい。

Since we're looking for theta sub 2, we're going to flip the equation around.

シータが2以下のものを探しているので、方程式を反転させる。

So n2 sine of theta 2 equals n1 sine of theta 1.

つまり、θ2の正弦n2はθ1の正弦n1に等しい。

Divide both sides by n sub 2, so we get the sine of theta sub 2 is equal to n1 over n2 times the sine of theta 1.

両辺をnサブ2で割ると、θサブ2の正弦は、θ1の正弦のn2倍のn1に等しくなる。

And finally, theta sub 2, therefore, is equal to the arc sine or the inverse sine of n1 over n2 times the sine of theta sub 1.

従って、シータサブ2は、アークサイン、またはシータサブ1のサインをn2倍したn1の逆サインに等しい。

And we plug in the numbers, it's the arc sine of n1 is equal to 1 and 2 is equal to 1.5.

n1のアークサインは1に等しく、2は1.5に等しい。

And notice how important it is that you do all the notations correctly right from the start.

そして、最初からすべての表記を正しく行うことがいかに重要であるかに気づいてほしい。

It makes it a lot easier to plug the numbers into the equation.

方程式に数字を差し込むのがとても簡単になる。

And of course, sine of theta 1 is the sine of 45 degrees.

そしてもちろん、θ1の正弦は45度の正弦である。

And that is equal to, and my calculator is right here.

私の計算機はここにある。

So 45, take the sine, divide by 1.5, and take the arc sine of that.

つまり、45の正弦をとり、1.5で割り、そのアークサインをとる。

And we have 28.1 degrees, so 28.1 degrees for theta sub 2.

そして、28.1度だから、θサブ2は28.1度。

All right.

分かった。

Now, if theta sub 2 is, and I'll write over here, is 28.1 degrees, how big is theta sub 3?

さて、シータサブ2が28.1度だとすると、シータサブ3はどのくらいだろう？

Hmm.

うーん。

Well, again, we use the same principle we did over here.

まあ、繰り返しになるけど、こっちでも同じ原則を使うんだ。

Notice that this line right here is parallel to this line right there.

この線がこの線と平行であることに注目してほしい。

And then we have the line coming across as the beam of light, which means that theta sub 3 here is the same as this angle right there.

つまり、シータサブ3はこの角度と同じということだ。

So this angle and this angle are equal to each other.

つまり、この角度とこの角度は互いに等しい。

Hmm.

うーん。

So what is this angle equal to?

では、この角度は何に等しいのか？

Well, let's see here.

さて、ここで見てみよう。

We know that this angle from there to there is 90 degrees.

あそこからあそこへの角度は90度である。

So this is a 90 degree angle.

つまり、これは90度の角度だ。

We also know that this here must be a 45 degree angle.

また、この角度は45度でなければならないことも分かっている。

Because these are opposite angles to each other.

なぜなら、これらは互いに逆角だからだ。

So this angle is 45 degrees, that means this angle is 45 degrees.

つまり、この角度は45度ということだ。

And that means that the sum of this angle plus theta sub 2 is also 45 degrees, which means if we take down the total, 45 degrees, and subtract from that theta sub 2, we get this angle right there.

つまり、この角度とシータサブ2の合計も45度であり、合計45度からシータサブ2を引くと、この角度になる。

And since these are alternate interior angles, that means theta sub 3 must also be 45 degrees minus theta sub 2.

そして、これらは交互の内角であるため、θサブ3も45度からθサブ2を引いた角度でなければならないことになる。

So theta sub 3 is equal to 45 degrees minus theta sub 2.

つまり、シータサブ3は45度からシータサブ2を引いたものに等しい。

Alright, and since theta sub 2 is 28.1 degrees, that means theta sub 3 is equal to 45 degrees minus 28.1 degrees.

さて、θサブ2は28.1度だから、θサブ3は45度から28.1度を引いたものに等しい。

And so 45 minus 28.1 equals theta sub 3 is equal to, let's do that again, 45 minus 28.1 equals 16.9 degrees.

つまり、45マイナス28.1イコールθサブ3は、45マイナス28.1イコール16.9度に等しい。

Alright, so now we have theta sub 3, which should allow us to find theta sub 4 again using Snell's Law.

さて、これでシータサブ3がわかったので、スネルの法則を使って再びシータサブ4を求めることができるはずだ。

So we have n1 sine of, oops, not n1, we're now going from 3 to 4, so let's call this n3.

つまり、n1の正弦は、おっと、n1ではなく、3から4に向かっているので、これをn3と呼ぶことにしよう。

So n3 sine of theta 3 is equal to n4 sine of theta sub 4.

つまり、シータ3の正弦n3は、シータサブ4の正弦n4に等しい。

We're looking for theta sub 4, so we can flip the equation around.

シータが4以下のものを探しているのだから、方程式を反転させればいい。

Sine of n4 sine of theta sub 4 equals n3 sine of theta sub 3.

シータサブ4の正弦n4の正弦は、シータサブ3の正弦n3に等しい。

And so sine of theta sub 4 is equal to, when we divide both sides by n sub 4, we get n sub 3 divided by n sub 4 times the sine of theta sub 3.

つまり、シータサブ4の正弦は、両辺をシータサブ4で割ると、シータサブ3をシータサブ3の正弦の4倍で割ったものになる。

And finally, we take the arc sine, and so we have theta sub 4 is equal to the arc sine or inverse sine of n3 over n4 times the sine of theta sub 3.

そして最後に、アークサインを取ると、シータサブ4は、シータサブ3のサインをn4倍したn3のアークサインまたは逆サインに等しくなる。

And plug in the numbers, that's equal to the arc sine of n3, which is 1.5, n4, which is 1, times the sine of theta sub 3, which we said was 16.9 degrees.

n3のアークサインは1.5、n4のアークサインは1、シータサブ3のサインは16.9度である。

Alright, so we take the sine of that, we multiply it times 1.5, and we take the arc sine of that number, and we get 25.6 degrees.

では、その正弦をとり、1.5倍して、そのアークサインをとると、25.6度になる。

So theta sub 4 equals 25.6 degrees, and that's our answer.

つまり、θの4乗は25.6度となり、これが答えとなる。

Alright, so you can see that the most difficult part of this problem is trying to find all the angles.

さて、この問題で最も難しいのは、すべての角度を見つけることであることがおわかりいただけただろう。

And of course, it's getting very busy in here, but let's quickly recap how we did that.

そしてもちろん、ここはとても忙しくなっているが、手短にその方法を振り返ってみよう。

We're given the angle of 45 degrees here, so we assume that's also a 45 degree angle over here.

ここでは45度の角度が与えられているので、ここも45度の角度だと仮定する。

This is a 90 degree angle.

これは90度の角度だ。

We draw the ray, the ray was coming in horizontally, so parallel to the bottom.

光線は水平に入ってくるので、底に平行に描きます。

And so, if we look at this side, and we look at this line and this line, we can call these alternate interior angles, so they must be equal to each other.

それで、この辺を見て、この線とこの線を見ると、これらを交互の内角と呼ぶことができる。

That means that this angle must also be 45 degrees, because this is a 90 degree angle.

つまり、この角度は90度なので、この角度も45度でなければならない。

So we determine theta sub 1.

そこでシータ・サブ1を決定する。

Then we calculated theta sub 2, which is the refracted angle by using Snell's Law.

そして、スネルの法則を使って屈折角であるシータサブ2を計算した。

Then we have to find out what theta sub 3 was equal to.

それなら、シータサブ3が何に等しかったかを調べなければならない。

And to do that, we realize that this here is a 90 degree angle.

そのためには、この角度が90度であることを理解しなければならない。

This was a 45 degree angle, so we know that this whole thing here was a 45 degree angle, which means that this angle here is 45 degrees minus theta sub 2.

つまり、この角度は45度マイナスθサブ2ということになる。

And then if we draw this line here and this line there, we see that theta sub 3 and this angle are alternate interior angles, so they must be equal to each other right here.

そして、この線とこの線を引くと、θサブ3とこの角度が交互に内角になることがわかる。

And since we knew what theta sub 2 was, we subtract from 45 degrees to find theta sub 3.

そして、シータサブ2はわかっていたので、45度から引いてシータサブ3を求める。

And then we use that in our equation right here to find theta sub 4.

そして、この方程式でシータサブ4を求める。

And that's how you do that problem.

そして、それがその問題を解決する方法なんだ。