Now this one is a little bit more complicated.

さて、これは少し複雑だ。

Notice that we have a beam of light traveling through air coming on a boundary between air and glass.

空気中を進む光線が、空気とガラスの境界線上に来ていることに注目してほしい。

Here's a slab of glass that's 10 centimeters thick.

ここに厚さ10センチのガラスの板がある。

As it enters the glass, of course glass has a different index of refraction equal to 1.6 as opposed to equal to 1 for air.

ガラスに入るとき、もちろんガラスの屈折率は1.6であり、空気の屈折率は1である。

You can see that the light will bend, it will refract towards the normal so that the angle of refraction, theta sub 2, is smaller than the angle of incidence, theta sub 1.

光が曲がり、法線に向かって屈折し、屈折角θsub2が入射角θsub1より小さくなるのがわかるだろう。

Then it travels across the slab, then it reaches the second boundary where you go back from glass into air.

そしてスラブを横切り、ガラスから空気に戻る第二の境界に到達する。

And then it turns out since now the beam is traveling from a region where the index of refraction is larger to a region where the index of refraction is smaller, then the light will now bend away from the normal.

そして、ビームは屈折率が大きい領域から小さい領域へと進むため、光は法線から離れる方向に曲がることがわかった。

And it turns out since this is air and this is air on both sides of the slab, that the direction of the beam after it leaves the slab will be exactly the same as the direction of the beam as it enters the slab.

そして、これは空気であり、スラブの両側には空気があるため、スラブを出た後のビームの方向は、スラブに入った時のビームの方向とまったく同じになることがわかった。

The only difference is that because of the refraction, the difference, the change in direction here, there will be an offset if the beam had traveled straight across to where the beam is now.

唯一の違いは、屈折、違い、方向転換のため、ビームが今ある場所まで真横に進行していた場合、オフセットが生じることである。

There will be a difference, a distance, and your job here is to find out what that distance is, how far has that beam been offset by traveling through a 10 centimeter thick slab of glass with an index of refraction of 1.6.

屈折率1.6の厚さ10センチのガラス板を通過することで、ビームがどの程度オフセットしたのか。

So how do you do that?

では、どうすればいいのか？

Well the first thing we need to do is find out what theta sub 2 is.

まず最初にしなければならないのは、シータサブ2が何なのかを知ることだ。

And so therefore we're going to use Snell's Law.

したがって、スネルの法則を使うことになる。

So n1 sine of theta 1 is equal to n2 sine of theta sub 2.

つまり、シータ1の正弦n1は、シータサブ2の正弦n2に等しい。

Solving this for theta sub 2, we're going to switch the equation around so we have n2 sine of theta 2 equals n1 sine of theta 1.

これをシータサブ2について解くと、方程式を入れ替えて、シータ2の正弦n2とシータ1の正弦n1が等しくなる。

Dividing both sides by n2, we get sine of theta 2 equals n1 over n2 times sine of theta 1.

両辺をn2で割ると、θ2の正弦はθ1の正弦のn2倍のn1に等しい。

And finally, theta sub 2 is equal to the arc sine, the inverse sine, of n1 over n2 times sine of theta sub 1.

そして最後に、シータサブ2は、シータサブ1の正弦のn2倍のn1の逆正弦であるアークサインに等しい。

Plugging in the numbers to find out what that is equal to, this is equal to the arc sine of n1, which is 1, divided by n2, which is 1.6, times the sine of theta 1, which was given as 30 degrees.

これは、n1のアークサイン（1）をn2のアークサイン（1.6）で割ったものに、θ1のサイン（30度）を掛けたものに等しい。

And so this angle is equal to, here's my calculator, so the sine of 30 is 0.5 divided by 1.6.

そして、この角度は、ここに私の計算機があるように、30の正弦は0.5÷1.6に等しい。

And then take the arc sine of that, inverse sine, and we get 18.21 degrees.

そして、そのアークサイン（逆サイン）を取ると、18.21度となる。

So theta sub 2 equals 18.21 degrees.

つまり、シータサブ2は18.21度に相当する。

I added an extra significant figure so I don't have runoff error at the end.

最後にランオフエラーが出ないように、有効数字を1つ増やした。

Now, the ray travels across the glass at a slight angle, so this now will become the angle of incidence of the second boundary, so let's call that theta sub 3.

さて、光線はわずかな角度でガラスを横切るので、これが第二の境界の入射角となり、これをθサブ3と呼ぶことにしよう。

Now what is theta sub 3 equal to?

さて、シータサブ3は何に等しいか？

Well notice that we have two parallel lines here that are bisected by this ray of light right here, and so these two angles here are considered therefore to be what we call alternate, that's what it is, alternate interior angles.

つまり、この2つの角度は、いわゆる交互内角と呼ばれるものである。

I just lost it.

私はただ、それを失った。

So they're called alternate interior angles and, knowing geometry, those two angles therefore must be equal to each other.

したがって、この2つの角度は互いに等しくなければならない。

So theta sub 3 is therefore equal to theta sub 2, which therefore is equal to 18.21 degrees.

したがって、θサブ3はθサブ2に等しく、したがって18.21度に等しい。

Then we can see that the beam will then refract outward, and this will then be theta sub 4, and as we said before, theta sub 4 is expected to be the same as theta sub 1, but just so you can see that that's indeed the case, let's go ahead and calculate that.

先にも述べたように、θsub4はθsub1と同じになることが予想されますが、実際にそうであることがわかるように、先に進んで計算してみましょう。

So here we're going to say that N3 sine of theta sub 3 is equal to N4 sine of theta sub 4.

つまり、ここではシータサブ3の正弦N3はシータサブ4の正弦N4に等しいとする。

And so to help us with the index of refractions, notice that we're now going to be working on this boundary right here, so we're going to call this N sub 3, we're going to call this N sub 4, and N sub 3 is equal to 1.6, and N sub 4 is equal to 1, just so we keep things straight.

屈折率について説明するために、これからこの境界線で作業することになる。

Coming back over here, we're going to solve for sine of theta sub 4, so we have N4 sine theta sub 4 equals N3 sine of theta sub 3, so we have the sine of theta sub 4 equals N3 over N4 times sine of theta sub 3, and finally, theta sub 4 is equal to the arc sine of N3 over N4 times sine of theta sub 3.

ここに戻って、シータサブ4の正弦を解く。シータサブ4の正弦N4はシータサブ3の正弦N3に等しいから、シータサブ4の正弦はシータサブ3の正弦のN4倍上のN3に等しく、最後に、シータサブ4はシータサブ3の正弦のN4倍上のN3のアークサインに等しい。

There we go.

これでよし。

And plug in the numbers, that's equal to the arc sine of N3 is now 1.6, N4 is 1, times the sine of 18.21 degrees.

N3のアークサインは1.6、N4のアークサインは1、18.21度のサインに等しい。

Let's see what that is equal to, of course we expect that to be 30 degrees, let's find out.

それが何度に相当するか見てみよう。もちろん、30度であることを期待している。

So we take the sine of that, we multiply the times 1.6, and we take the arc sine of that, and sure enough, that's equal to 30 degrees, that's theta sub 4.

そこで、その正弦をとり、1.6倍して、そのアークサインをとると、案の定、それは30度に等しく、シータサブ4となる。

That's the exiting angle, the angle of refraction at the second boundary.

これが出射角であり、第二の境界での屈折角である。

Alright, now that we know that, we now need to figure out what D is equal to, so before we start with D, let's figure out what this distance is equal to, right here.

さて、それがわかったところで、次はDが何に等しいかを考える必要がある。Dを考える前に、この距離が何に等しいかを考えてみよう。

So let's call this distance right here X, and to find what X is equal to, let's draw this line all the way down here, and let's look at this big triangle first, so let's call this X sub, now let's call it X, and then this distance right here, let's call that Y, how about Y?

そこで、この距離をXと呼ぶことにしよう。Xが何に等しいかを見つけるために、この線をずっと下まで引いてみよう。まず、この大きな三角形を見てみよう。そこで、これをXサブと呼ぶことにしよう。次に、この距離をYと呼ぶことにしよう。Yはどうだろう？

Just any old variable will do, we'll just call it Y.

どんな古い変数でも構わないので、ここではYと呼ぶことにする。

So this distance right here is considered X, this distance right there is considered Y.

つまり、この距離はXとみなされ、この距離はYとみなされる。

So I think we can find Y first because we know that this distance here is 10 centimeters, we know that the angle right there between this line and that line is 30 degrees, so let's draw this triangle here on the side, so we have this triangle right here, this line right there, this triangle right here, we know that this here is 30 degrees, we know that this here is 10 centimeters, and this distance right here is equal to Y.

というのも、この距離は10センチメートルで、この線とこの線の間の角度は30度であることが分かっているからです。そこで、この三角形を側面に描いてみましょう。

Alright, so how do we find Y?

では、Yをどうやって見つけるか？

Well we have the opposite side, we have the adjacent side, we have the angle, so we can say that the tangent of 30 degrees is equal to the opposite side, which is Y, over the adjacent side, which is 10 centimeters, so Y is equal to 10 centimeters times the tangent of 30 degrees, and so therefore Y is equal to 30, take the tangent of that, and times 10 equals, and we have 5.77 centimeters.

つまり、30度の接線は、Yである反対側と、10センチメートルである隣接側とに等しいということができる。

Alright, so if we know what that is, then we can go ahead and figure out what this distance is, and let's call this distance Z.

では、この距離をZと呼ぶことにしよう。

I'm going to start running out of variables pretty soon, because then you realize that finally we can say that X is equal to Y minus Z.

そろそろ変数が足りなくなってきて、ようやくXはYからZを引いたものに等しいと言えることに気づくからだ。

So how do we find Z?

では、どうやってZを見つけるのか？

Well Z can be found by using a different triangle.

Zは別の三角形を使うことで見つけることができる。

Right here, we can use this triangle.

ここで、この三角形を使うことができる。

This is now theta sub 2, and theta sub 2 we found to be 18.21 degrees.

これはシータサブ2となり、シータサブ2は18.21度であることがわかった。

We know that this vertical side is still 10 centimeters, and this right here now becomes the side Z that we're trying to find out.

この縦の辺がまだ10センチであることは分かっている。

Alright, so let's find Z in this case, we know that the tangent of theta sub 2 is equal to the opposite side, which is Z, divided by the adjacent side, which is 10 centimeters, or Z is equal to 10 centimeters times the tangent of theta sub 2, which is 18.21 degrees.

さて、ではこの場合のZを求めよう。θサブ2の正接は、反対側の辺Zを隣接する辺10センチで割ったもの、つまりZは10センチにθサブ2の正接を掛けたものに等しく、その角度は18.21度であることがわかっている。

So Z is equal to, so we have 18.21, take the tangent of that, and multiply that times 10 centimeters, and we have Z to be 3.29 centimeters.

つまり、Zは18.21cmとなり、その接線に10cmを掛けると、Zは3.29cmとなる。

Okay, so now we found Y, we found Z, now we can find X, because X is simply going to be Y minus Z, so let me write that here, X is equal to Y minus Z, and Y is 5.77 centimeters, and Z is 3.29 centimeters, so 5.77 minus 3.29 equals 2.48 centimeters.

Xは単純にYからZを引いたものになるから、ここでこう書こう。Yは5.77センチ、Zは3.29センチだから、5.77から3.29を引くと2.48センチになる。

We're almost there, so now we have the value for X, so X now is 2.48 centimeters.

もう少しでXの値が出るので、Xは2.48センチになる。

So how do we find D?

では、どうやってDを見つけるのか？

Well now we have to make one more triangle.

さて、もうひとつ三角形を作らなければならない。

Let me use a slightly different color here, let's use red, so I'm going to draw a line straight across like this, the length of this red line is equal to D, we know the value for this portion right here, which we called X, and by putting that line there I just kind of destroyed my X, so there's my X.

この赤い線の長さはDに等しく、Xと呼ばれるこの部分の値はわかっている。この線を置くことで、Xを破壊したようなものだ。

So we know what X is, we know what D is, and what about this angle right here?

Xが何であるか、Dが何であるかは分かっている。

Well this angle has to be equal to this angle, which is equal to 30 degrees, so let me draw this little triangle here on the side, so we have this side here, we have this little line across here, and we have this line across here, and now notice that this line was D, this line was X, and this angle here is 30 degrees, because theta sub 4 is 30 degrees as we found, and this angle must equal this angle.

この角度はこの角度と等しくなければならない。この角度は30度に等しい。では、この小さな三角形を側面に描いてみよう。この側面がここにあり、ここに小さな線があり、ここにこの線がある。この線がD、この線がX、そしてこの角度が30度であることに注目してほしい。

And you say, well why is that so?

なぜそうなんだ？

Well notice that this line is perpendicular to this line, and this line is perpendicular to this line, so the angle between those two lines must equal to the angle between those two lines.

この直線はこの直線に垂直であり、この直線はこの直線に垂直である。

And so finding now what D is equal to, notice that X is the hypotenuse, D is the adjacent side, so we could say that D is equal to the hypotenuse X times the cosine of 30 degrees, because D is adjacent to the angle.

Dは角度に隣接しているので、Dは斜辺Xに30度の余弦を掛けたものに等しいと言える。

And so finally plugging in what X is equal to right here, which is 2.48 centimeters, so D is equal to 2.48 centimeters times the cosine of 30 degrees, and times 30 cosine equals, and now we found that D is equal to 2.15 centimeters, which is what we're trying to find in the first place.

つまり、Dは2.48センチに30度の余弦をかけ、30度の余弦をかけると2.15センチになる。

So notice that was not an easy problem.

だから、それは簡単な問題ではなかった。

Let's recap real quick what we just did.

今やったことを簡単に振り返ってみよう。

We had a light beam traveling through a slab that's 10 centimeters thick.

厚さ10センチのスラブの中を光線が進む。

It travels across the first boundary, since you're entering a region that has a high index of refraction, it refracts towards the normal, across the second boundary, since you're now traveling from a high index of refraction region to a low index of refraction region, it bends away from the normal, the exiting ray will be parallel to the entering ray, but they'll be offset by some distance D.

高屈折率の領域に入るので、法線に向かって屈折し、2つ目の境界を越えて、高屈折率の領域から低屈折率の領域に移動するので、法線から離れるように曲がる。

You have to find out what that is.

それが何なのかを見つけなければならない。

Then you have to find the dimensions of three triangles, this one, the big one, the smaller one, and then this one right here in succession, to find what D is equal to.

そして、この三角形、大きい三角形、小さい三角形、そしてこの三角形と、3つの三角形の寸法を求めなければならない。

And that's how you use refraction in a case like that.

そういう場合に屈折を使うんだ。