And don't be afraid, it doesn't involve any integrals, it's really just very simple vectors and 1 by 2 vectors and 2 by 2 matrices.

怖がらないで、積分は関係ない。本当に単純なベクトルと1×2ベクトルと2×2行列だけなんだ。

So let's say that I have a plane wave, so I'm just going to it's moving in, let's call this the z-direction, that would make this the x-direction and this the y-direction.

つまり、平面波があるとすると、これをz方向と呼ぶことにします。

If we know the plane wave is moving in the z-direction, there's a bunch of ways the electric field could be pointing.

平面波がZ方向に動いていることがわかれば、電場の向きはいくらでも考えられる。

It could be pointing upwards in the x-direction, and in that case the h-field would be pointing this way in the in the y-direction, well let me label that x as y.

その場合、hフィールドはy方向にこのように向くことになる。

It could also be pointing that way in the y-direction, and then the h-field would be pointing in the minus x-direction, or it could be pointing somewhere in between.

また、y方向がその方向を向いていて、hフィールドがマイナスx方向を向いている可能性もあるし、その中間を向いている可能性もある。

So it could be pointing in the xy, anywhere really in the xy-plane, so anywhere in this plane, and then the h-field is just 90 degrees away from that.

つまり、xy平面のどこを指してもいいわけで、この平面のどこを指してもいいわけだ。

Now one of the many beautiful things about plane waves is that the electric field and the magnetic field are just related by a constant eta, and this was the wave impedance of free space.

さて、平面波の美しい点のひとつは、電場と磁場が一定のエータで関係していることである。

This only depends on the material that we're propagating through, so if we know what the e-field is, we automatically know what the h-field is, and similarly we know its direction because it has to be orthogonal to the electric field, and e cross h is pointing in the direction of propagation, so it's our pointing vector.

e-fieldが何であるかが分かれば、h-fieldが何であるかも自動的に分かります。同様に、h-fieldは電界と直交していなければならないので、その方向も分かります。

So knowing one of the fields of a plane wave fully determines the other, and so we're only going to worry about the electric field.

だから、平面波の場の一方を知れば、もう一方が完全に決まる。

We're just going to study the electric field.

我々は電場を研究するだけだ。

This is all we need to worry about in order to fully understand polarization.

偏光を完全に理解するためには、これだけを心配する必要がある。

So how do we go about representing that polarization?

では、その二極化をどう表現すればいいのか？

So let's say we know the direction of propagation of the plane wave, and let's say it's along the z-axis.

つまり、平面波の伝播方向がわかっていて、それがz軸に沿っているとしよう。

How many degrees of freedom do we have to deal with?

自由度はいくつあるのか？

Well, the electric field, like we just said, can be anywhere in this plane, so let's pretend now that it's pointing just straight up.

さて、電場は先ほど言ったように、この平面のどこにでもある。

It's pointing in the in the x-direction.

X方向を向いている。

How would we represent that in just mathematically?

それを数学的にどう表現するか？

And let's say it's got the amplitude e-naught.

そして、振幅がe-naughtだとしよう。

Well, the electric field is a vector, and it's pointing in the x-hat direction.

電場はベクトルであり、Xハット方向を向いている。

It's got amplitude e-naught, and then it's a traveling wave in the z-direction, so we're gonna write that in complex notation e to the j omega t minus kz.

これは振幅e-naughtを持ち、z方向に進行する波なので、jωtからkzを引いたものをeと複素数表記する。

And how would we represent it if it were pointing in the y-direction?

もしY方向を向いていたら、どのように表現するのだろうか？

So maybe it has amplitude e-naught in the y-direction.

ということは、Y方向に振幅のe-naughtがあるのかもしれない。

Well, then the electric field is just equal to y-hat times e-naught e to the j omega t minus kz.

そうすると、電場はy-hatのe-naught eからj-omega tを引いたkzに等しいことになる。

And in general, if it's pointing in some other direction, so it's got some component along x, so let's call that e-naught x, and some component along y, e-naught y, then we can write the total electric field as the x component, e-naught x, e to the j omega t minus kz, plus the y component, e-naught y, e to the j omega t minus kz.

一般に、この電場が他の方向を向いている場合、xに沿った成分をe-naught xと呼び、yに沿った成分をe-naught yと呼ぶと、全電場はx成分e-naught x, eからj ω tを引いたkzと、y成分e-naught y, eからj ω tを引いたkzと書くことができる。

Now notice that this e to the j omega t minus kz, this traveling wave component of the of the plane wave, is getting sort of redundant.

さて、このeからjωtマイナスkz、つまり平面波の進行波成分は、ある種冗長になってきていることに気づこう。

So the only real information that we're representing with our polarization is the x-hat part and the y-hat part.

つまり、私たちが偏光で表現している本当の情報は、Xハットの部分とYハットの部分だけなのだ。

So how much is pointing in x, how much is pointing in y?

では、どれだけがx方向を向いていて、どれだけがy方向を向いているのか？

We don't really care that the wave is traveling because we already knew that.

私たちは波が移動していることなど気にしていない。

So we might just be lazy and say that the electric field is just equal to x-hat e-naught x plus y-hat e-naught y.

つまり、電場はx-hat e-naught xにy-hat e-naught yを足したものに等しいということになる。

And if you were a lazy person that decided to do this, you'd be doing exactly what Jones did when he invented his calculus a long time ago, I think in the late 1900s.

そして、もしあなたが怠け者で、これをやろうと思ったのなら、ジョーンズが昔、1900年代後半に微積分を発明したときとまったく同じことをしていることになる。

And so this is a vector.

これはベクトルだ。

We can also write this as a column vector with just e-naught x and e-naught y.

これをe-naught xとe-naught yだけの列ベクトルとして書くこともできる。

And this is kind of cute because we have a three-dimensional problem, but because we assumed the direction of propagation, we only really have two degrees of freedom.

これは3次元の問題でありながら、伝搬方向を仮定しているため、実際には2つの自由度しかないのだ。

We only, our electric field can only be x and y.

電界はxとyしかない。

So if we know that it's a traveling wave, we know its frequency, we can fully capture all of the information just in this vector, which is really cool.

だから、進行波であることがわかれば、周波数がわかれば、このベクトルだけですべての情報を完全に捉えることができる。

You might also be wondering, well why is the electric field amplitude even important here?

なぜここで電界振幅が重要なのか？

Because all we care about is how much is contributed, or how much of the electric field is in the x direction, and how much of the electric field is in the y direction.

私たちが気にするのは、どれだけ寄与しているか、つまり電界がx方向にどれだけあり、電界がy方向にどれだけあるかだけだからだ。

So this is sort of the super compactness of the electric field.

これが電界の超コンパクトさだ。

Say it's pointing only in the x direction, so its equation, its mathematical description would be x-hat e-naught e to the j omega t minus kz.

その方程式、つまり数学的記述は、x-hat e-naught e to the j omega t minus kzとなる。

The Jones vector for that, or the vector that we would we would use if we weren't being super lazy, was just e-naught zero.

そのためのジョーンズ・ベクトル、つまり超怠け者でなければ使うであろうベクトルは、e-naught zeroだけだった。

So it's just got some component in the x direction.

つまり、X方向に何らかの成分があるだけだ。

But if we were to divide this by the total amplitude, so let's divide this by 1 over e-naught, we would get the Jones vector, which is just 1, 0.

しかし、もしこれを全振幅で割るとしたら、e-naughtでこれを1で割ると、ジョーンズ・ベクトルが得られ、それはちょうど1, 0となる。

And this is a normalized vector, so it's got length 1, and it just tells us in what direction the electric field is pointing.

これは正規化されたベクトルで、長さは1で、電場がどの方向を向いているかを示している。

So if we had an electric field pointing in the y direction, or a traveling wave in the y direction, our Jones vector would be 0, 1.

つまり、電場がy方向を向いている場合、あるいは進行波がy方向を向いている場合、ジョーンズ・ベクトルは0, 1となる。

If it were pointing half in the x direction, half in the y direction, 45 degrees, then this would be 1 over root 2, 1, 1.

もしX方向とY方向の半分ずつ、45度を向いているとしたら、これはルート2、1、1を1オーバーすることになる。

And that's just, this is just a normalized vector pointing at 45 degrees in x and y.

そして、これは単に正規化されたベクトルで、xとyの45度を指している。

Now all of these vectors are what's known as linearly polarized, and that just means that the electric field is pointing in some direction.

これらのベクトルはすべて直線偏光と呼ばれるもので、電場がある方向を向いていることを意味する。

And if you were to advance the plane wave, it would still be pointing in the same direction.

そして、もし平面波を進めたとしても、それは同じ方向を向いている。

So take our x example from before.

では、先ほどのXの例を見てみよう。

If we take one snapshot of the plane wave, which is pointing in, going in this direction, our electric field is pointing in the x-hat direction, so x, y, z.

この方向に向かう平面波のスナップショットを撮ると、電場はx-hat方向、つまりx、y、zを向いている。

And if we advance the plane wave, so we take it some time further, the electric field is in general going to have a different amplitude, because maybe this was at the maximum of the plane wave, so maybe this is slightly lower.

平面波を前進させ、さらに時間をかけると、電場は一般的に異なる振幅を持つことになる。

So let's say, where's, let's draw our E0 vector pointing downward now.

では、E0ベクトルを下向きに描いてみよう。

So this is E0, but it's still pointing in the x direction.

つまり、これはE0だが、まだX方向を向いている。

This is y, this is x.

これがyで、これがxだ。

It's still pointing in the x direction.

まだXの方向を向いている。

And so as the field, as we go in the z direction, the electric field stays pointing in the same direction.

電場がz方向に進むと、電場は同じ方向を向いたままになる。

So if we just draw what it looks like over all of the space between one plane that I've outlined and the other, this is what the electric field will trace out on its path in the z direction.

つまり、私が輪郭を描いた平面ともう一方の平面の間の空間全体がどのように見えるかを描くと、電場がZ方向に辿る経路はこのようになる。

This is what it'll look like if we freeze it in time, so at t equals 0.

これを時間的に凍結させるとこうなる。tは0に等しい。

And if we let it go in time, then it'll move forward, so the wave, the phase front will advance and the wave will go, all the electric fields will shift in space.

そして、このまま放っておくと、波が前進し、位相前線が進み、波が進み、すべての電場が空間に移動する。

And so this is linearly polarized light.

これが直線偏光だ。

And it doesn't have to be pointing just in the x direction to be linearly polarized.

また、直線偏光であるためには、X方向だけを向いている必要はない。

It could be pointing in the y direction, it could be pointing somewhere in between, it could be pointing anywhere in this two-dimensional plane.

Y方向を向いているかもしれないし、その中間を指しているかもしれないし、この2次元平面のどこを指しているかもしれない。

The thing that makes it linearly polarized is that it stays the same direction as it advances.

直線偏光になるのは、進むにつれて同じ方向に進むからだ。

And you might be asking, that seems really weird.

と聞かれるかもしれないが、それは本当に奇妙なことだ。

Why would it be able to change directions as it goes forward?

なぜ前進しながら方向を変えることができるのか？

And that's going to be the subject of the next video, and circularly polarized light, which is where things get really interesting and where Jones vectors start to become really, really valuable.

円偏光は、物事が本当に面白くなるところで、ジョーンズ・ベクトルが本当に本当に価値を持ち始めるところだ。

So I hope you enjoyed the video.

では、ビデオを楽しんでいただけたなら幸いです。

If you did, please give it a like down below and subscribe to my channel.

もしそうなら、下の「いいね！」を押して、僕のチャンネルを購読してください。

Also if you have any questions or comments, please feel free to post those down below and I'll try to get back to you as soon as I can.

また、何か質問やコメントがあれば、遠慮なく下に書き込んでください。

And thanks for watching.

そして見てくれてありがとう。

I'll see you next time.

また次の機会に