Name: 定数係数を持つ2階均質線形微分方程式 (Second order homogeneous linear differential equations with constant coefficients)
Uploaded: 2024-08-17T09:01:32.000Z
Duration: 11 min 44 s

to 不定詞

In this video, I'll show you guys how to approach to solve a second-order linear differential equation with constant coefficients, and in this case, we want to focus on the right-hand side to be 0, and when the right-hand side is equal to 0, this is called a homogeneous situation.

このビデオでは、定数係数を持つ2階線形微分方程式の解き方を紹介します。この場合、右辺が0になることに注目します。右辺が0に等しいとき、これを同次状況と呼びます。

未来形

And once again, a, b, and c, they are constants, and in this case, we don't want a to be 0, otherwise this term will be gone, right?

もう一度言う、a、b、cは定数であり、この場合、aを0にはしたくない。

だから、それはもう二次的なものではない。

All right, as we can see, we have y, y' which is the first derivative, and this is y'', the second derivative.

見ての通り、y、y'が一次導関数で、これが二次導関数のy''である。

And it seems like these are just the constant multiples of the original first and the second derivative, right?

そして、これらは元の1次導関数と2次導関数の定数倍であるように思えるが？

Do we know a function so that its derivative is just a constant of its original?

微分が元の関数の定数になるような関数を知っているだろうか？

If I start with y equals to, well, if I have, let's say, e to some power times x, well, in this case, we use t, by the way, for second-order, use t.

yがxのe乗に等しいとすると、この場合はtを使う。

Well, if you differentiate that, you get y' and you know this is going to give you e to the 3t, the function part stays exactly the same, but the chain rule says I will have to multiply by 3, right?

これを微分するとy'になり、3tのeが得られることがわかる。関数の部分はまったく同じだが、連鎖法則では3を掛けなければならない。

じゃあ、ここに書いておこうか？

And you see, this 3 stays, and this is just the original, so 3 times y, right?

そして、この3つのステイ、これはただのオリジナルだから、Yの3倍だよね？

And likewise, I can do it again. y'' is going to be, we will keep this 3 times e to the 3t, but then we multiply this 3, right, for the derivative by the chain rule. 3 times 3 is 9, and e to the 3t is the original.

y''は3tに対するeを3倍したものになるが、この3倍を連鎖法則によって導関数にかける。3×3は9で、eを3tに変換したものが元となる。

And you see, whenever you have an e to some power, the first derivative, the second derivative, they are just going to be the constant multiple of the original, right?

そして、eのべき乗があるときはいつでも、1次微分、2次微分は元の微分の定数倍になるんだ。

So what this is telling me is that this will suggest, let me just put this down, this suggests that for the function, we should have the form y equals to e to some power times t.

つまり、この関数が示唆するのは、yはeのt乗に等しいということだ。

I don't know what this number should be, earlier I just used 3, right?

この数字が何であるべきかわからないんだけど、さっきは3だったよね？

So in general, let me put down r times t.

だから、一般的にはr回t回と書いておこう。

And once again, for the second-order situation, we usually use t because there are a lot of applications that impose time and things like that.

繰り返しになるが、2次の状況では通常tを使う。

とにかく、これが僕のスタートだ。

First of all, we begin by saying y is equal to e to the rt power, and the idea is that I'm just going to go ahead, differentiate this twice, and then plug in.

まず第一に、yはeのrt乗に等しいということから始める。

Hopefully, we can squeeze out some conditions that will help us to solve for this kind of differential equation.

うまくいけば、この種の微分方程式を解くのに役立つ条件を絞り出すことができるだろう。

All right, y' is going to be e to the rt times r, let me just put r in the front, and then y'' is going to be, this right here repeats, so r e rt, but then we multiply by another r, which will be r times r, which is r².

よし、y'はeにrtを掛けたものになる。rを前に置いて、y''はこの繰り返しになる。

And now, let me put all this into their corresponding.

そして今、このすべてを彼らの対応に当てはめてみよう。

Here we have a, y'' is r² e to the rt, and then we add it with b, so we put on plus b, y'' is r e to the rt, and then we continue, plus c, y is e to the rt, and this right here is equal to 0.

ここにaがあり、y''はr² e to the rtとなり、次にbと足し算をする。

And now, can we kind of squeeze out a condition?

さて、条件を絞り出すことはできるかな？

Every term has e to the rt, so we can factor it out, of course, e to the rt, and that will give us ar² plus br plus c equals to 0.

どの項もeをrtに持つので、もちろんeをrtに因数分解すれば、ar²＋br＋cが0になる。

All right, this is an exponential part, right?

これは指数関数的な部分だよね？

This right here, we know, is never 0, isn't it?

これは決して0ではないんだろう？

Never 0, let me just spell it out much better.

So, when we have this quantity times that quantity, since e to the rt is never 0, so you can either divide it out, or you can just forget about it, because we just want to focus on this.

つまり、この量にその量を掛けたとき、rtに対するeは決して0ではないので、割り算してもいいし、忘れてもいい。

So that means we must have this part, we must have, let me just write it down, we must have the situation that ar² plus br plus c equal to 0.

つまり、ar²＋br＋cが0になるような状況が必要なのだ。

In fact, this right here is the condition that we need, because from here, this is pretty much just a quadratic equation, isn't it?

実際、ここが必要な条件なんだ。ここから先は、ただの二次方程式にすぎないからね。

From here, we can solve for r, and we can just plug into the r here, and we can generate the building blocks of the solution.

ここからrを解くことができ、ここにrを差し込むだけで、解の構成要素を生成することができる。

And I'll show you guys what I mean by that.

そして、私が何を言いたいのか、皆さんにお見せしましょう。

And before I show you guys an example, let me tell you guys that this equation here has a name.

例をお見せする前に、この方程式には名前があることをお伝えしておこう。

This is called the characteristic equation, and this is also called the auxiliary equation.

これは特性方程式と呼ばれ、補助方程式とも呼ばれる。

And now, let's go ahead and solve this for y'' minus 5y' minus 6y is equal to 0.

次に、y''から5y'を引いた値から6yを引いた値が0になるように解いてみよう。

The first step is we have to take this and change it to its corresponding characteristic equation.

最初のステップは、これを対応する特性方程式に変えることだ。

Earlier, when we start with a y'', we will end up ar², right?

さっき、y''で始めると、最後はar²になるよね？

That means right here, the first term is going to give me 4r².

つまり、最初の項は4r²になる。

Minus 5, and the y' corresponds with r, we change that to r right here, and then minus 6.

マイナス5、そしてy'はrに対応しているので、ここでrに変更し、そしてマイナス6。

If you have y, we didn't have any r, right?

yがあれば、rはなかったよね？

つまり、これはちょうどマイナス6だ。

And now, we just have to solve this quadratic equation and do it whichever way that you would like, and I will factor this out for you guys.

あとは、この二次方程式を解いて、好きなようにやってください。

And I'll show you guys with the tic-tac-toe factoring, and to do so, I want to ask myself, what times 4 gives me 4r²?

そして、三目並べの因数分解で皆さんにお見せしましょう。そうするために、「4の何倍で4r²になるか？

And let me tell you guys the correct combination, which is 4r times r.

正しい組み合わせを教えよう。

そして、4にマイナス6をかけると？

And once again, let me tell you guys the correct combination, which is negative 2 plus 3 in these boxes like this, in this order.

そしてもう一度、正しい組み合わせを教えよう。このようなボックスの中に、この順番でマイナス2＋3である。

Well, I will convince you guys this is correct.

まあ、これが正しいということを君たちに納得してもらおう。

To do so, you cross multiply 4r times negative 2, which is negative 8r, and then you take 3 times r, which is 3r.

そのためには、4rにマイナス2を掛けてマイナス8rとし、さらにrを3倍して3rとする。

It is correct because negative 8r plus 3r is negative 5r, so this is correct, isn't it?

マイナス8rに3rを足すとマイナス5rになるので、これは正しいですよね？

And now we have to read the answers correctly from the boxes here.

そして今、私たちはここにある箱から答えを正しく読み取らなければならない。

その答えを読むには、この先に進む。

So the first factor is going to be 4r plus 3, and the second one is r minus 2, and we still have equal to 0, of course.

つまり、最初の因数は4rプラス3、2番目の因数はrマイナス2となり、もちろんまだ0に等しい。

All right, for the first one, we know r is equal to negative 3 over 4, and for the second one, we know r is equal to 2.

よし、最初のものについては、rは4に対してマイナス3、2番目のものについては、rは2に等しいことがわかった。

And you see, we end up with two different r values.

そして結局、2つの異なるr値が得られた。

In this case, we will end up with two different building blocks for the solution, e to the first r, which is this, and times t.

この場合、2つの異なる解の構成要素に行き着くことになる。

The second one is going to be e to the 2t, right?

So let me just write down the building blocks for you guys first.

だから、まず君たちのために構成要素を書いておこう。

This right here is going to give me e to the negative 3 over 4t, and the second one is going to give me e to the 2t.

この右足は、4tのマイナス3に対してeを与え、2つ目の右足は、2tに対してeを与える。

And I'm going to explain to you guys what do I mean by building blocks.

そして、私が言っている "ビルディング・ブロック "とはどういう意味なのか、皆さんに説明しようと思う。

First of all, let me just show you guys that both of them will satisfy the original differential equation, and just for simplicity purpose, let me just check this one for you guys only, okay?

まず最初に、この2つの微分方程式がどちらも元の微分方程式を満たすことをお見せしましょう。

そして、これは自分でできる。

だから、ここに書いておこう。

Let me just say this is the second one I get, so let me put down y2. y2 equals to e to the 2t, and then what I have to do is differentiate this, which is going to give me 2e2t, right?

y2は2tのeに等しく、これを微分すると2e2tになりますね。

And then I'll do it again. y2 double prime, which is 4e2t, right?

And now I will plug in all this into the original, and you see it will give me 4, right?

そして今、このすべてをオリジナルに差し込むと、4が表示されるのがわかるだろう？

And y double prime, which is that, so we multiply by 4e2t, and then minus 5y prime, which is that, which is times 2e2t, and then minus 6y, which is that, e to the 2t, like this.

そして、yの2倍素数、つまり、4e2tを掛けて、5yの素数をマイナス、つまり、2e2tを掛けて、6yをマイナス、つまり、eを2tに掛けて、このようになる。

This is 16 minus 10, which is 6, and then minus 6, of course, everything ends up to be 0, so 0 is equal to 0, so it checks.

これは16から10を引いたもので、6となり、それから6を引くと、もちろんすべてが0になる。

This right here definitely works, isn't it?

これは間違いなく機能するよね？

And you can do exactly the same thing for this, but you can also take my word for it, it will work out nicely as well.

これとまったく同じことができるが、私の言葉を信じることもできる。

All right, now, these are just the function parts.

さて、これらは機能部分だけだ。

What we'll be doing is that, well, remember, when we're solving differential equations, we have that constant, right?

微分方程式を解くとき、定数があるよね？

And keep in mind, whenever we have the second-order differential equation, we will have two different constants.

そして、2階微分方程式があるときはいつも、2つの異なる定数があることを覚えておいてほしい。

Well, do I put on plus C, or divide by C?

プラスCをつけるか、それともCで割るか？

The truth is, we multiply the function part by C1 and C2, so this right here is C1, and this right here is C2.

実際には、関数部分にC1とC2を掛けるので、ここがC1で、ここがC2だ。

So, let me just demonstrate this right here on the side for you guys real quick, because now, you see, when I multiply this function by C, so let me just put on C in black like this, guess what?

この関数にCを掛けると、どうなると思う？

I will just have to multiply everything by C, isn't it?

すべてをCで割るしかないでしょう？

So this right here will end up with C, C, C, C, C, C, C.

つまり、ここではC,C,C,C,C,C,C,C,Cとなる。

And then, pretty much this term, we'll now have C right here, and this function here, this part here, has a C here as well.

そして、今期はCがここにあり、この関数、この部分にもCがある。

This right here, just multiply by C, right?

ここにあるのは、Cを掛けるだけだろ？

We're just plugging everything accordingly.

私たちはただ、それに従ってすべてを突っ込んでいるだけだ。

When I have this C here, I will still end up with 0 on the left-hand side, of course still equal to 0.

このCをここに置くと、左辺は0になり、もちろんまだ0に等しい。

The point of that is to show you, these are the places where C should be.

そのポイントは、Cがあるべき場所を示すことだ。

C1 and C2 are just the multiple of the function part.

C1とC2は単に関数部分の倍数である。