I mean they look pretty similar all over and there are patches that are perfect matches, but if you slide the whole thing over and around, it will never completely line up with itself.

つまり、全体的にかなり似ていて、完全に一致するパッチもあるのですが、全体をスライドさせても、完全に自分と並ぶことはないのです。

Again, patterns like this that go on forever and feel like they should repeat, but don't are called quasi periodic, but I never really felt like I understood these power patterns.

繰り返しになりますが、このように永遠に続く、繰り返すはずなのに繰り返さないパターンを準周期的と言いますが、私はこのパワーパターンを理解した気がしませんでした。

Like how do you make them?

どうやって作るんですか？

How do we know they don't ever repeat?

繰り返さないというのは、どうしたらいいのでしょうか？

I just had to take somebody's word for it that they worked the way people say they do until recently when I learned there's a hidden pattern inside penrose stylings, a Penta grid and it's quite possibly the best way to understand penrose stylings, at least.

ペンローズスタイリングには、ペンタグリッドという隠れたパターンがあることを最近知って、少なくともペンローズスタイリングを理解するのに一番いい方法だと思うようになるまで、私は誰かの言葉を信じるしかありませんでした。

It's what finally helped me feel like I understood them.

それでようやく、彼らを理解できたような気がしたんです。

Here's how you find the Penta grid start with a single tile and highlight neighboring tiles whose edges are parallel and their neighbors, and you end up with a wobbly rib of tiles that snakes around a bit, but overall follows a straight path.

ペンタグリッドの見つけ方は、1枚のタイルから始めて、端が平行な隣のタイルとその隣のタイルをハイライトすると、少し蛇行しながらも全体的にはまっすぐな道をたどるタイルのリブができあがります。

And if you pick another tile with the same orientation, you can make a ribbon that's parallel to the first and you can keep going.

そして、同じ向きの別のタイルを選べば、最初のタイルと平行にリボンを作ることができるので、どんどん進めていくことができます。

Here's a whole set of parallel ribbons.

こちらは平行リボン一式です。

Of course we could have started with the other edges of our original tile and ended up with a different ribbon of tiles and there's a whole parallel set of these ribbons to in fact jumping ahead a little bit if we make a slightly more complicated version of the penrose tiling and color the tiles based on how their ori, you see a whole mess of ribbons jump out at you.

もちろん、元のタイルの他の辺から始めて、別のリボンのようなタイルを作ることもできますし、このようなリボンのセットが平行して存在します。

These ribbons are the key to understanding penrose tiling because the ribbons form a pentagram and what exactly is a Penta grid.

このリボンが五芒星を形成し、ペンタグリッドとは一体何なのか、ペンローズタイリングを理解するための鍵になるのです。

If you take a regular array of parallel lines, you can copy and rotate it.

平行線の規則的な配列を取れば、コピーして回転させることができる。

So it forms a grid, you're probably most familiar with a square grid, where two sets of lines have been evenly rotated from one another and intersect at 90 degrees.

2組の線が互いに均等に回転し、90度で交差する正方形のグリッドを形成しています。

You might also have seen a triangular grid where three sets of lines have been evenly rotated and intersect at 60 degrees.

また、3組の線を均等に回転させ、60度で交差させた三角形のグリッドを見たことがあるかもしれません。

And if you create a grid with five sets of lines evenly rotated from each other and intersecting at either 36 or 72 degrees.

そして、互いに均等に回転し、36度または72度のいずれかで交差する5組の線でグリッドを作成すると。

You get a Penta grid.

ペンタグリッドを手に入れることができる。

Penta grids are made up of five sets of parallel lines, and penrose tiling are made up of five sets of parallel ribbons of tiles because they're actually the same.

ペンタグリッドは5組の平行線、ペンローズタイルは5組の平行なリボンのタイルで構成されており、実は同じものだからです。

To make a penrose tiling.

ペンローズタイルにすること。

All you have to do is start with a pen to grid and then at every point where two lines intersect, you draw a tile oriented, so the sides of the tiles are perpendicular to the two lines.

ペンでグリッドを描き、2本の線が交差するポイントごとに、タイルの側面が2本の線に垂直になるように向きを変えて描くだけです。

This way at the next intersection.

次の交差点はこちらです。

Along the line, the sides of that tile will be parallel to the sides of the first tile and the same at the next intersection and so on and you can slide them all together into a ribbon and if you do the same for the next line up in the pen to grid, you get another ribbon and another.

線に沿って、そのタイルの側面は最初のタイルの側面と平行になり、次の交差点でも同じように、それらをすべてスライドさせてリボンにし、ペンでグリッドに次のラインアップに同じようにすれば、別のリボン、別のリボンが出てきます。

And if you also do it for all the other lines, in the other directions, all the ribbons combined together.

そして、他のラインもすべて同じようにすると、他の方向のリボンもすべて一緒になってしまいます。

Make a penrose tiling.

ペンローズタイルを作る。

You can also just add a tile to every intersection and slide them all together along the grid lines.

また、すべての交差点にタイルを追加し、グリッド線に沿ってすべてスライドさせることも可能です。

Either way you get a penrose tiling.

いずれにせよ、ペンローズのタイリングを得ることができます。

Every penrose tiling is made out of five infinite sets of parallel, infinitely long ribbons because every penrose tiling is a Penta grid in disguise, of course you don't have to use this particular Penta grid.

すべてのペンローズタイリングはペンタグリッドを装っているので、平行で無限に長いリボンの5つの無限集合からできています。もちろん、この特定のペンタグリッドを使う必要はありません。

We can also shift the various different sets of lines by random amounts and get a beautiful new tiling that's slightly different from penrose tiling.

また、様々な異なる線のセットをランダムにずらすことで、ペンローズタイリングとは少し異なる美しい新しいタイリングを得ることができます。

And we're not limited to a Penta grid, Here's a hep to grid and its corresponding penrose like tiling and here's an Octa grid, a non a grid, a deck, a grid and so on.

また、ペンタグリッドに限らず、ヘプトグリッドとそれに対応するペンローズライクタイリング、オクタグリッド、ノンアグリッド、デッキ、グリッドなど、さまざまなグリッドを用意しています。

And that beautiful ribbon pattern we showed before was from a grid with 17 different sets of lines.

そして、先ほどお見せした美しいリボン模様は、17組の線からなるグリッドのものでした。

My friend Otis made an interactive website where you can play around with all of this and make your own penrose like patterns, you can highlight the grid lines and see their counterpart tiles and vice versa.

友人のオーティスが作ったインタラクティブなウェブサイトでは、このグリッド線をハイライトして対応するタイルを見たり、その逆をしたりと、ペンローズのようなパターンを作って遊べます。

You can change the coloring is to bring out different aspects of the patterns.

カラーリングを変更することで、パターンのさまざまな側面を引き出すことができます。

You can use it to generate a bunch of other famous patterns.

これを使えば、他にも有名なパターンをたくさん生成することができます。

You can save them for a phone or computer background or to print on the shirt or whatever.

スマホやパソコンの背景にしたり、シャツなどにプリントして保存しておくと便利です。

It's really great.

本当に素晴らしいです。

And as you've probably noticed it's where all the visuals in this video are from.

そして、お気づきのように、この映像のビジュアルはすべてここから来ているのです。

But there's one more thing, remember how I said that Penta grids helped me see why these patterns never repeat themselves.

でも、もうひとつ、ペンタグリッドのおかげで、なぜこのようなパターンが繰り返されないのかがわかった、と言ったのを覚えていますか？

This isn't a proof, but it at least gives you a flavor of the non repetition.

これは証明にはならないが、少なくとも繰り返しのないことの味を知ることができる。

So start with a single ribbon.

だから、まずはリボン1本から。

If the ribbon ever did repeat itself, then after a certain point in time you'd have the same pattern of thin and wide tiles over again and again and again.

もしリボンが繰り返されることがあれば、ある時期を過ぎると、薄いタイルと広いタイルの同じパターンが何度も何度も繰り返されることになるのです。

So the ratio of thin to wide tiles would be a rational number.

だから、薄いタイルと広いタイルの比率は、有理数になってしまう。

The number of thin tiles in a given chunk divided by the number of white tiles.

ある塊の中にある薄い牌の数を白い牌の数で割ったもの。

In this example, there are six wide tiles for every four thin ones.

この例では、薄いタイル4枚に対して、広いタイルが6枚あります。

In an actual penrose tiling.

実際のペンローズタイリングでは

We can directly calculate the ratio of thin tiles to wide tiles.

薄いタイルと広いタイルの比率を直接計算することができるのです。

Since the ribbons of tiles correspond to the intersections along the line of the Penta grid, the white tiles are from the intersections with the 72 degree lines and the thin tiles from the 36 degree lines.

タイルのリボンはペンタグリッドの線に沿った交点に対応しているので、白いタイルは72度の線との交点から、細いタイルは36度の線からのものである。

Some basic trigonometry shows that the spacing between 36 degree lines is one over the sine of 36 degrees.

基本的な三角法で、36度の線の間隔は、36度の正弦の1倍であることがわかる。

And the spacing between 72 degree lines is we One over the sine of 72°. So the ratio of wide tiles too thin tiles is the ratio of these, which happens to be the golden ratio, which is irrational.

そして、72度の線の間隔は、72度の正弦を1つ越えたところです。つまり 幅の広いタイルと薄いタイルの比率は これらの比率になり たまたま黄金比となり 不合理になるのです。

So there's no way the pattern could ever repeat.

だから、このパターンが繰り返されることはありえないんです。

If it did, the golden ratio would have to be rational.

もしそうだとしたら、黄金比は合理的でなければならない。

Remember if the pattern did repeat, the ratio of wide thin tiles would have to be rational.

もし、パターンが繰り返されるなら、幅の広い薄いタイルの比率は合理的でなければならないことを忘れないでください。

Which the golden ratio isn't.

黄金比はどっちなんだ。

Of course this just proves the Thailand can't repeat in one direction.

もちろん、これはタイが一方向に繰り返すことができないことを証明しているに過ぎない。

The whole proof a little bit more than we want to get into here.

全体の証明は、ここでは少し触れません。

The Penta grid allows us to directly calculate that as you go out along any ribbon in a penrose tiling for every 10 thin tiles.

ペンタグリッドを使うと、ペンタローズタイルで任意のリボンに沿って出て行くときに、薄いタイル10枚ごとにそれを直接計算することができるのです。

You see there are on average 16.18 wide tiles, a golden ratio worth.

平均16.18幅のタイル、黄金比の価値があることがわかりますね。

And because the golden ratio is irrational, sometimes there are slightly more wide tiles for every 10 thin ones and sometimes there are slightly fewer in a way that is perfectly predicted by the value of the golden ratio, but never repeats.

そして、黄金比は不合理なので、薄いタイル10枚に対して、広いタイルが少し多いときもあれば、少し少ないときもあり、黄金比の値から完全に予測される方法で、決して繰り返されることはないのです。

And the more tiles you look at the more closely their ratio matches the golden ratio.

そして、タイルを見れば見るほど、その比率は黄金比に近くなっていきます。

Of course there's nothing special about the golden ratio here.

もちろん、ここでいう黄金比は特別なものではありません。

It happens to show up a lot when you have five sided things for the hep to grid or deck a grid or whatever the ribbons.

ヘップ・トゥ・グリッドやデック・ア・グリッドなど、リボンのために5面のものがあると、たまたまよく現れるんです。

Still don't repeat because the ratio of the spacings of the grids and the ratios of the numbers of types of tiles is some other irrational number.

それでも繰り返さないのは、格子の間隔とタイルの種類の数の比が、他の不合理な数になっているからです。

All these patterns are quasi periodic, they may never repeat, but they also aren't just a random jumble of tiles.

これらのパターンはすべて準周期的なもので、決して繰り返さないかもしれませんが、ただランダムにタイルが並んでいるわけでもありません。

Alright, go play with the beautiful penrose tile patterns over at dot com slash pattern collider and send the prettiest ones to me on Patreon at metaphysics.

さて、ドットコムスラッシュパターンコライダーで美しいペンローズタイルのパターンで遊んで、一番きれいなものをパトレイバーのメタフィジックスで私に送ってください。

And speaking of beautiful geometric patterns head over to brilliant.

そして、美しい幾何学模様といえば、brilliantへ。

This video's sponsor for their interactive course on beautiful geometry.

このビデオのスポンサーは、美しい幾何学についてのインタラクティブなコースです。

You'll explore how to make test relations fractals, infinite tile ing's and more brilliant has dozens of courses covering broad swaths of math and science and there's something for everyone from entertaining puzzles, too clever, problem solving strategies for high school math competitions, two black holes.

テスト関係フラクタル、無限タイルingの作り方などを探ります。 数学と科学の広い範囲をカバーする数十のコースがあり、楽しいパズル、あまりにも賢い、高校数学コンテストの問題解決戦略、2つのブラックホールからみんなのために何かがあります。

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