Name: Calculating slope of tangent line using derivative definition | Differential Calculus | Khan Academy
Uploaded: 2022-07-12T12:05:43.000Z
Duration: 8 min 28 s

In the last video we tried to figure out the slope of a

前回の動画では、私たちは特定の点の傾きについて学びました。

point or the slope of a curve at a certain point.

And the way we did, we said OK, well let's find the slope

その方法は、ここの点と遠く離れていない他の点の間の

between that point and then another point that's not too

そしてセカント(1/cos)線の傾きを得るのでした。

ここは奇妙に見えますが、これは単に大きく離れていない点のy値で

And it looks all fancy, but this is just the y value of the

こっちは、単に問題の点のy値でした。

point that's not too far away, and this is just the y value

point of the point in question, so this is

つまり、これは単にyの変化量です。

そして、xの変化量でこれを割るのでした。

And then you divide that by your change in x.

私たちが行った例のように、hはこの2つのx値の

So in the example we did, h was the difference

これによって、私たちはこの線の傾きを得られました。

そしてこの点がこちらの点に限りなく近づくと

We said hey, what if we take the limit as this point

極限はどうなるのだったかな？

right here gets closer and closer to this point.

この点は、本質的には、ほとんどこの点と同じになると、

If this point essentially almost becomes this point, then

この傾きは、タンジェント線になるのでした。

our slope is going to be the slope of our tangent line.

そしてこれをこの関数の導関数と定義したのでした。

And we define that as the derivative of our function.

では、これらの公式を、この動画において

So let's if we can apply this in this video to maybe make

きみの頭の中で少しばかり具体的にしようと思います。

things a little bit more concrete in your head.

では最初に、正確にある点の傾きを見つけたい例から

First I'll do a particular case where I want to find the

では、再び軸を描いていきます。

そして曲線も描きます。これはy=xの2乗の曲線です。

Let's say I have the curve-- this is the curve-- y

ここが、y軸で、こっちがx軸で、私が知りたいのは、

So this is my y-axis, this is my x-axis, and I want to know

私が傾きと言ったら、きみはタンジェント線をイメージする事が出来ます。

When I say the slope you can imagine a tangent line here.

このようなタンジェント線をイメージし、

You can imagine a tangent line that goes just like that, and

ここだと、わずかに触れているでしょう。

it would just barely graze the curve at that point.

ですが、ここのタンジェントの傾きは何でしょう？

But what is the slope of that tangent line?

ここの曲線の傾きと同じタンジェント線の傾きは何でしょう？

What is the slope of that tangent line which is the same

as the slope of the curve right at that point.

それを知るためには、前に行ったのと同じ方法で行います。

So to do it, I'm actually going to do this exact technique that

それから、私たちは一般化してみましょう。それによって、

we did before, then we'll generalize it so you don't have

毎回特定の数のために行う必要が無くなりますからね。

to do it every time for a particular number.

では、他の点を取ってみましょう。

ここを、3+Δxと呼ぶとします。

私は記法を変えてみました。ある本では、

I'm changing the notation because in some books you'll

hを見るでしょうし、他の本では、Δxを見るでしょう。

see an h, some books you'll see a delta x, doesn't hurt to

そのどちらでも困らないようにです。

ではまず最初に、この点は何でしょうか？

So first of all what is this point right here?

この曲線は、y=x^2でしたので、f(x)=3^2です。

This is a curve y is equal to x squared, so f of x is 3

では、こちらの点はどうでしょうか？

ここまで上がったら、この点は何でしょうか？

So if we were go all the way up here, what is that point?

It's the same thing as this one right here,

わかりやすいように、ここを3+hと呼ぶべきでしたね。

I could have called this 3 plus h just as easily.

では、このyの値は何になるでしょうか？

xが何の値だったとしても、これは曲線なので、

Well whatever x value is, it's on the curve, it's going

なので、ここは3+Δxの二乗となるでしょう。

So it's going to be the point 3 plus delta x squared.

では、このセカント線の傾きを調べてみましょう。

So let's figure out the slope of this secant

わかりやすいように、少し拡大させてみます。

And let me zoom in a little bit, because that might help.

この曲線のこの部分を拡大させていくと、

So if I zoom in on just this part of the curve,

そして、ここに点があって、もう一つの点はこっちにあります。

And then I have one point here, and then I have the

This was the point over here, the point 3,9.

And then this point up here is the point 3 plus delta x, so

単に3より大きな数として、その数が

just some larger number than 3, and then it's going to

なのでここは、(3+Δx)^2となります。

So it's going to be 3 plus delta x squared.

ここは、二回分配する事になります。

I'm just foiling this out, or you do the distribute

(a+b)^2は、a^2 + 2ab + b^2でしたので、

a plus b squared is a squared plus 2 a b plus b squared, so

ここは9+これらの物が二回掛けられるでしょう。

it's going to be 9 plus two times the product

なので、+6Δx、それから +Δxの二乗です。

So plus 6 delta x, and then plus delta x squared.

これが、二本目の座標となります。

That's the coordinate of the second line.

見た目はややこしいですが、このxの値を取って、

This looks complicated, but I just took this x value and I

二乗しただけです。この曲線のyはx^2だからです。

squared it, because it's on the line y is equal to x squared.

なので、これがセカントの傾きです。

この線はyの変化量/xの変化量となります。

line is going to be the change in y divided

So the change in y is just going to be this guy's y value,

which is 9 plus 6 delta x plus delta x squared.

それがこの値でしたが、マイナス、ここのy値

That's this guy's y value, minus this guy's y value.

これをxの変化量で割るのでした。

And you want to divide that by your change in x.

では、xの変化量は何でしょうか？

これは実際にはとてもややこしいです。

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Calculating slope of tangent line using derivative definition | Differential Calculus | Khan Academy

essentially

figure

technique

matter