point or the slope of a curve at a certain point.

前回の動画では、私たちは特定の点の傾きについて学びました。

And the way we did, we said OK, well let's find the slope

その方法は、ここの点と遠く離れていない他の点の間の

between that point and then another point that's not too

その方法は、ここの点と遠く離れていない他の点の間の

far away from that point.

傾きを見つけるのでした。

And we got the slope of the secant

そしてセカント(1/cos)線の傾きを得るのでした。

line.

ここは奇妙に見えますが、これは単に大きく離れていない点のy値で

And it looks all fancy, but this is just the y value of the

こっちは、単に問題の点のy値でした。

point that's not too far away, and this is just the y value

こっちは、単に問題の点のy値でした。

point of the point in question, so this is

つまり、これは単にyの変化量です。

just your change in y.

そして、xの変化量でこれを割るのでした。

And then you divide that by your change in x.

私たちが行った例のように、hはこの2つのx値の

So in the example we did, h was the difference

差の事でした。

between our 2 x values.

この差は、hです。

This distance was h.

これによって、私たちはこの線の傾きを得られました。

And that gave us the slope of that line.

そしてこの点がこちらの点に限りなく近づくと

We said hey, what if we take the limit as this point

極限はどうなるのだったかな？

right here gets closer and closer to this point.

この点は、本質的には、ほとんどこの点と同じになると、

If this point essentially almost becomes this point, then

この傾きは、タンジェント線になるのでした。

our slope is going to be the slope of our tangent line.

そしてこれをこの関数の導関数と定義したのでした。

And we define that as the derivative of our function.

これをf ' (x)と言いましたね。

We said that's equal to f prime of x.

では、これらの公式を、この動画において

So let's if we can apply this in this video to maybe make

きみの頭の中で少しばかり具体的にしようと思います。

things a little bit more concrete in your head.

じゃ、始めよう。

So let me do one.

では最初に、正確にある点の傾きを見つけたい例から

First I'll do a particular case where I want to find the

始めましょう。

slope at exactly some point.

では、再び軸を描いていきます。

So let me draw my axes again.

では、再び軸を描いていきます。

Let's draw some axes right there.

そして曲線も描きます。これはy=xの2乗の曲線です。

Let's say I have the curve-- this is the curve-- y

そして曲線も描きます。これはy=xの2乗の曲線です。

is equal to x squared.

ここが、y軸で、こっちがx軸で、私が知りたいのは、

So this is my y-axis, this is my x-axis, and I want to know

点x=3の傾きです。

the slope at the point x is equal to 3.

私が傾きと言ったら、きみはタンジェント線をイメージする事が出来ます。

When I say the slope you can imagine a tangent line here.

このようなタンジェント線をイメージし、

You can imagine a tangent line that goes just like that, and

ここだと、わずかに触れているでしょう。

it would just barely graze the curve at that point.

ですが、ここのタンジェントの傾きは何でしょう？

But what is the slope of that tangent line?

ここの曲線の傾きと同じタンジェント線の傾きは何でしょう？

What is the slope of that tangent line which is the same

ここの曲線の傾きと同じタンジェント線の傾きは何でしょう？

as the slope of the curve right at that point.

それを知るためには、前に行ったのと同じ方法で行います。

So to do it, I'm actually going to do this exact technique that

それから、私たちは一般化してみましょう。それによって、

we did before, then we'll generalize it so you don't have

毎回特定の数のために行う必要が無くなりますからね。

to do it every time for a particular number.

では、他の点を取ってみましょう。

So let's take some other point here.

ここを、3+Δxと呼ぶとします。

Let's call this 3 plus delta x.

私は記法を変えてみました。ある本では、

I'm changing the notation because in some books you'll

hを見るでしょうし、他の本では、Δxを見るでしょう。

see an h, some books you'll see a delta x, doesn't hurt to

そのどちらでも困らないようにです。

be exposed to both of them.

なので、ここは3+Δxです。

So this is 3 plus delta x.

ではまず最初に、この点は何でしょうか？

So first of all what is this point right here?

この曲線は、y=x^2でしたので、f(x)=3^2です。

This is a curve y is equal to x squared, so f of x is 3

なので、この点は9です。

squared-- this is the point 9.

ここは座標3,9です。

This is the point 3,9 right here.

では、こちらの点はどうでしょうか？

And what is this point right here?

ここまで上がったら、この点は何でしょうか？

So if we were go all the way up here, what is that point?

このxは、3+Δxです。

Well here our x is 3 plus delta x.

これは前の点と同じです。

It's the same thing as this one right here,

xは

as x naught

+hが付きます。

plus h.

わかりやすいように、ここを3+hと呼ぶべきでしたね。

I could have called this 3 plus h just as easily.

なので、3+Δxです。

So it's 3 plus delta x up there.

では、このyの値は何になるでしょうか？

So what's the y value going to be?

xが何の値だったとしても、これは曲線なので、

Well whatever x value is, it's on the curve, it's going

二乗されるでしょう。

to be that squared.

なので、ここは3+Δxの二乗となるでしょう。

So it's going to be the point 3 plus delta x squared.

では、このセカント線の傾きを調べてみましょう。

So let's figure out the slope of this secant

では、このセカント線の傾きを調べてみましょう。

line.

わかりやすいように、少し拡大させてみます。

And let me zoom in a little bit, because that might help.

この曲線のこの部分を拡大させていくと、

So if I zoom in on just this part of the curve,

こんな風になるでしょう。

it might look like that.

そして、ここに点があって、もう一つの点はこっちにあります。

And then I have one point here, and then I have the

そして、ここに点があって、もう一つの点はこっちにあります。

other point is up here.

セカント線です。

That's the secant

セカント線です。

line.

こんな風にです。

Just like that.

この点は、3,9の座標でした。

This was the point over here, the point 3,9.

この上の点は、3+Δxなので、

And then this point up here is the point 3 plus delta x, so

単に3より大きな数として、その数が

just some larger number than 3, and then it's going to

二乗されているでしょう。

be that number squared.

なのでここは、(3+Δx)^2となります。

So it's going to be 3 plus delta x squared.

ここは何でしょう？

What is that?

ここは9となるでしょう。

That's going to be 9.

ここは、二回分配する事になります。

I'm just foiling this out, or you do the distribute

ここは、二回分配する事になります。

property twice.

(a+b)^2は、a^2 + 2ab + b^2でしたので、

a plus b squared is a squared plus 2 a b plus b squared, so

ここは9+これらの物が二回掛けられるでしょう。

it's going to be 9 plus two times the product

ここは9+これらの物が二回掛けられるでしょう。

of these things.

なので、+6Δx、それから +Δxの二乗です。

So plus 6 delta x, and then plus delta x squared.

これが、二本目の座標となります。

That's the coordinate of the second line.

見た目はややこしいですが、このxの値を取って、

This looks complicated, but I just took this x value and I

二乗しただけです。この曲線のyはx^2だからです。

squared it, because it's on the line y is equal to x squared.

なので、これがセカントの傾きです。

So the slope of the secant

この線はyの変化量/xの変化量となります。

line is going to be the change in y divided

この線はyの変化量/xの変化量となります。

by the change in x.

yの変化量は、このyの値、

So the change in y is just going to be this guy's y value,

9+6Δx+(Δx)^2

which is 9 plus 6 delta x plus delta x squared.

それがこの値でしたが、マイナス、ここのy値

That's this guy's y value, minus this guy's y value.

つまりマイナス9です。

So minus 9.

これがyの変化量です。

That's your change in y.

これをxの変化量で割るのでした。

And you want to divide that by your change in x.

では、xの変化量は何でしょうか？

Well what is your change in x?

これは実際にはとてもややこしいです。

This is actually going to be pretty convenient.

この大きいxの値、私たちはこの上の点から始めたので、

This larger x value-- we started with this point on the

下のこの点から始めないといけません。

top, so we have to start with this point on the bottom.

なのでここは、3+Δxです。

So it's going to be 3 plus delta x.

では、こっちのxの値は？

And then what's this x value?

-3だったよね？

What is minus 3?

それがここのxの値です。

That's his x value.

ではこれを簡略化するには？

So what does this simplify to?

分子の9と9は相殺できましたね。

The numerator-- this 9 and that 9 cancel out,

9-9は取れます。

we get a 9 minus 9.

では、分母はどうでしょうか？

And in the denominator what happens?

この3 と、-3は相殺できます。

This 3 and minus 3 cancel out.

なのでxの変化量は、最終的にはΔxになります。これは理にかなっています。

So the change in x actually end up becoming this delta x, which

なぜならば、Δxとは、本質的にはここの点が、こっちの点より

makes sense, because this delta x is essentially how much more

どれだけ差があるかを意味するからです。

this guy is then that guy.

なので、xの変化量は、Δxでないといけません。

So that should be the change in x, delta x.

こうして、セカント線の傾きは、

So the slope of my secant

6xの変化量 + x^2にxの変化量を割ると

line has simplified to 6 times my change in x, plus my change

簡略化することが出来ました。

in x squared, all of that over my change in x.

そして、さらに簡略化する事も出来ます。

And now we can simplify this even more.

では、分母と分子をxの変化量で割ってみましょう。

Let's divide the numerator and the denominator

では、分母と分子をxの変化量で割ってみましょう。

by our change in x.

単調になったので、色を変えてみましょう。

And I'll switch colors just to ease the monotony.

なので、このセカント線のタンジェントの傾きは、

So my slope of my tangent of my secant

この二つの点を貫いている線は、

line-- the one that goes through both of these-- is

イコール、分母と分子を割っていたら、

going to be equal if you divide the numerator and

6

denominator this becomes 6.

Δxで分母と分子を割ったので、

I'm just dividing numerator and denominator by delta

6 + Δxが残ります。

x plus six plus delta x.

これがセカント線の傾きです。

So that is the slope of this secant

この傾きはイコール 6 + Δxです。

line So slope is equal to 6 plus delta x.

それが、ここになります。

That's this one right here.

それが赤く描いた線です。

That's this reddish line that I've drawn right there.

では、この数は何になるでしょうか？　もしΔxが

So this number right here, if the delta x was one, if

3と4の間ならば、傾きは6 + 1になります。

these were the points 3 and 4, then my slope would be 6 plus

なぜなら、ここを4としたならば、Δxは

1, because I'm picking a point 4 where the delta x here

1になるでしょうから。

would have to be 1.

なので、この傾きは7になるでしょう。

So the slope would be 7.

ここでΔxが何であろうとも通用する一般式を得ました。

So we have a general formula for no matter what my delta

我々は3と3+Δxの傾きを見つける事が出来ます。

x is, I can find the slope between 3 and 3 plus delta x.

我々は3と3+Δxの傾きを見つける事が出来ます。

Between those two points.

では今度は、ちょうどここの傾きを知りたいです。

Now we wanted to find the slope at exactly that

では今度は、ちょうどここの傾きを知りたいです。

point right there.

もしΔxが小さく小さくなっていったら、どうなるでしょうか。

So let's see what happens when delta x get

もしΔxが小さく小さくなっていったら、どうなるでしょうか。

smaller and smaller.

これは、今のΔxです。

This is what delta x is right now.

この距離です。

It's this distance.

ですが、Δxが少しだけ小さくなっていたら、

But if delta x got a little bit smaller, then the secant

このセカント線はこうなっているでしょう。

line would look like that.

さらに小さくなっていたら、セカント線は

Got even smaller, the secant

このような見た目になるでしょう。さらに小さくなったら、

line would look like that, it gets even smaller.

タンジェント線に極めて近くなっているでしょう。

Then we're getting pretty close to the slope

タンジェント線に極めて近くなっているでしょう。

of the tangent line.

このタンジェント線はここにあります。

The tangent line is this thing right here that I

ここの傾きが知りたいのですね。

want to find the slope of.

ではΔxが0に近づく極限を見つけましょう。

Let's find a limit as our delta x approaches 0.

ではΔxが0に近づく極限を見つけましょう。

So the limit as delta x approaches 0 of our

ではΔxが0に近づく極限を見つけましょう。

slope of the secant

セカント線の6 + Δxは、イコール何になりますか？

line of 6 plus delta x is equal to what?

これはとても解りやすいですね。

This is pretty straightforward.

きみは単にここを0にして、イコール6になります。

You can just set this equal to 0 and it's equal to 6.

なので、x=3の点のタンジェントの傾きは、

So the slope of our tangent line at the point x is equal to

イコール6となります。

3 right there is equal to 6.

f(x)=x^2と書くなら、別の方法で書く事も出来るでしょう。

And another way we could write this if we wrote that f of

f(x)=x^2と書くなら、別の方法で書く事も出来るでしょう。

x is equal to x squared.

今や私たちは微分、点3の関数のタンジェントの傾きが、

We now know that the derivative or the slope of the tangent

私はたんにここの点3のみを評価しましたが、

line of this function at the point 3-- I just only evaluated

ここは、イコール6となりました。

it at the point 3 right there-- that that is equal to 6.

私はまだあらゆる点での線の傾きの一般式は、

I haven't yet come up with a general formula for the slope

教えていません。

of this line at any point, and I'm going to do that

それは次の動画で行うとしましょう。

in the next video.