in our algebra careers, but I figure it never hurts

ですが、ここで少し復習するのは苦にならないでしょう。

to review it a bit.

ですが、ここで少し復習するのは苦にならないでしょう。

So let me draw some axes.

では、軸を描いていくとしましょう。

That is my y-axis.

これはy軸です。

Maybe I should call it my f of x-axis.

おそらく、f(x)の軸と呼ぶべきかもしれません。

y is equal to f of x.

y=f(x)だからです。

Let me draw my x-axis, just like that, that is my x-axis.

ではx軸を描いて行きましょう。こういう風に。これがx軸です。

And let me draw a line, let me draw a line like this.

そして線を引きます。こういう風に。

And what we want to do is remind ourselves, how do we

そしてここから私たちが行いたいのは、

find the slope of that line?

この線の傾きを計る方法です。

And what we do is, we take two points on the line,

その為には、この線において二つの点を選びます。

so let's say we take this point, right here.

なので、私たちはここの点を取りましょう。

Let's say that that is the point x is equal to a.

この点xは、イコールaとします。

And then what would this be?

それから次に、y軸はどうでしょうか？

This would be the point f of a, where the function is

ここはf(a)となるでしょう。この関数はある線となります。

going to be some line.

ここはf(a)となるでしょう。この関数はある線となります。

We could write f of x is going to be equal to mx plus b.

私たちはf(x)を、=mx+bと書く事が出来るでしょう。

We don't know what m and b are, but this is all

私たちはmとbの値は知りません。

a little bit of review.

ですが、これはすべて簡単な復習です。

So this is a.

なので、これはaです。

And then the y-value is what happens to the function when

そしてyの値はaの値を評価する関数の結果です。

you evaluated it at a, so that's that point right there.

なので、この点はここです。

And then we could take another point on this line.

そして、私たちはこの線上にある他の点も取る事が出来ます。

Let's say we take point b, right there.

では、ここの点bを取るとしましょう。

And then this coordinate up here is going to be

そして、この座標は上のここになります。

the point b, f of b.

bとf(b)の座標の点です。

Right?

ですよね？

Because this is just the point when you evaluate

なぜなら、ここはf(b)の関数を評価した場所だからです。

the function at b.

なぜなら、ここはf(b)の関数を評価した場所だからです。

You put b in here, you're going to get that point right there.

きみはbをここに置いて、この点を得るわけです。

So let me just draw a little line right there.

では、小さな線をここに描いておきましょうか。

So that is f of b, right there.

ここが、f(b)です。

Actually, let me make it clear that this coordinate right

じゃあ、a,f(a)の座標の方も明確にしておきましょうか。

is the point a, f of a.

じゃあ、a,f(a)の座標の方も明確にしておきましょうか。

So how do we find the slope between these 2 points, or more

では、私たちはこの2つの点の間の傾き、あるいはもっと一般的に、この線全体の傾きを

generally, of this entire line?

どうやって見つけるのでしょうか？

Because whole the slope is consistent the

線の傾きは全面的に継続しているので、

whole way through it.

線の傾きは全面的に継続しているので、

And we know that once we find the slope, that's

傾きを見つけたならば、

actually going to be the value of this m.

実際には、このmの値の事になりますが、

That's all a review of your algebra, but how do we do it?

これが、代数学の復習です。では、どうやって見つけるのでしょうか？

Well, a couple of ways to think about it.

これは幾つかの方法があります。

Slope is equal to rise over run.

傾きは、イコール上昇/横の移動です。

You might have seen that when you first learned algebra.

これは君も代数学で既に習っているかもしれないね。

Or another way of writing it, it's change in

あるいは、別の方法で描くとしたら、

y over change in x.

yの変化量/xの変化量です。

So let's figure out what the change in why over the change

では、この場合でのyの変化量/xの変化量を

in x is for this particular case.

計算してみましょう。

So the change in y is equal to what?

では、yの変化量はイコール何でしょう？

Well, let's just take, you can take this guy as being the

では、この点を最初の点として、

first point, or that guy as being the first point.

あるいはこっちの点を最初の点としましょう。

But since this guy has a larger x and a larger y,

ですが、こっちの方のxとyは大きいので、

let's start with him.

ここから始めるとしましょう。

The change in y between that guy and that guy is this

なので、ここと、こっちのyの変化量は、

distance, right here.

この距離となります。

So let me draw a little triangle.

ここに小さな三角形を描きます。

That distance right there is a change in y.

この距離は、yの変化量となります。

Or I could just transfer it to the y-axis.

あるいは、単にここをy軸に移す事も出来ます。

This is the change in y.

ここがyの変化量です。

That is your change in y, that distance.

ここがyの変化量、距離です。

So what is that distance?

では、この距離は何でしょうか？

It's f of b minus f of a.

これは、f(b) - f(a) です。

So it equals f of b minus f of a.

なので、イコールf(b)-f(a)

That is your change in y.

これがyの変化量です。

Now what is your change in x The slope is change

では、この傾き、yの変化量/xの変化量の、

in y over change in x.

xの変化量は何でしょうか？

So what our change in x?

では、xの変化量は何でしょうか？

What's this distance?

この距離は何でしょうか？

Remember, we're taking this to be the first point,

この点を最初のポイントにしていたのを思い出してください。

so we took its y minus the other point's y.

ここのy - 他の点のyでした。

So to be consistent, we're going to have to take this

なので、一貫するように、私たちはこの点のx - こっちの点のxにしないといけません。

point x minus this point x.

なので、一貫するように、私たちはこの点のx - こっちの点のxにしないといけません。

So this point's x-coordinate is b.

この点のxはbです。

So it's going to be b minus a.

なので、b - a となるでしょう。

And just like that, if you knew the equation of this line, or

この線の方程式を知っていたならば、

if you had the coordinates of these 2 points, you would just

これらの2つの点の座標を知っていたならば、

plug them in right here and you would get your slope.

単純にこれらをここに代入して、傾きを知る事が出来ます。

That straightforward.

このように簡単なものです。

And that comes straight out of your Algebra 1 class.

これは、代数1クラスから持ってきたものです。

And let me just, just to make sure it's concrete for you, if

では、具体的な例でやってみましょうか。

this was the point 2, 3, and let's say that this, up here,

この点が(2,3)座標で、この上の点は、(5,7)座標だとしましょう。

was the point 5, 7, then if we wanted to find the slope of

そして、この線の傾きを知りたいなら、

this line, we would do 7 minus 3, that would be our change in

7 - 3をして、これがy軸の変化量となります。

y, this would be 7 and this would be 3, and then we

ここは7で、こっちは3ですね。それから、

do that over 5 minus 2.

この変化量/ 5 - 2となります。

Because this would be a 5, and this would be a 2, and so this

なぜなら、こっちは5で、こっちは2だからです。

would be your change in x.

そしてこれがxの変化量となります。

5 minus 2.

5 - 2

So 7 minus 3 is 4, and 5 minus 2 is 3. so your

なので、7 - 3 は 4、そして 5 - 2 は 3。

slope would be 4/3.

なので、この傾きは、4/3となります。

Now let's see if we can generalize this.

では、これを一般化してみましょう。

And this is what the new concept that we're going

これは微分を学んでいく上での、新しいコンセプトになります。

to be learning as we delve into calculus.

これは微分を学んでいく上での、新しいコンセプトになります。

Let's see if we can generalize this somehow to a curve.

ええっと、では、何らかの曲線を作るとしましょう。

So let's say I have a curve.

曲線があるとします。

We have to have a curve before we can generalize

まずは曲線を描く必要がありますね。

it to a curve.

まずは曲線を描く必要がありますね。

Let me scroll down a little.

少しスクロールダウンさせますか。

Well, actually, I want to leave this up here, show

ええっと、やはりこの上に描くとします。

you the similarity.

隣と似ているのを見れるようにね。

Let's say I have, I'll keep it pretty general right now.

では、ここに、私はかなり一般的な曲線にするようにしていますよ。

Let's say I have a curve.

では、曲線があるとします。

I'll make it a familiar-looking curve.

よく知られている曲線にしようとしています。

Let's say it's the curve y is equal to x squared, which

では、xの2乗の曲線にしましょう。それは

looks something like that.

こんな感じですね。

And I want to find the slope.

そして私はこの傾きを知りたいのです。

Let's say I want to find the slope at some point.

では、この点における傾きを知りたいとしましょう。

And actually, before even talking about it, let's even

では、実際に話す前に、曲線の傾きを知るとは、

think about what it means to find the slope of a curve.

そもそもどういう意味なのかを考えましょう。

Here, the slope was the same the whole time, right?

左側の直線では、傾きは全体的に同じだよね？

But on a curve your slope is changing.

ですが曲線においては、傾きは変わっていくのです。

And just to get an intuition for that means, is, what's

では、これがどういう意味なのかを詳しく調べてみましょう。

the slope over here?

ここの傾きは何でしょうか？

Your slope over here is the slope of the tangent line.

この傾きは、タンジェントの線となりますね。

The line just barely touches it.

タンジェントの線は、わずかに曲線に触れています。

That's the slope over there.

これが、ここの傾きです。

It's a negative slope.

それは、マイナスの傾きとなっています。

Then over here, your slope is still negative, but it's a

でも、ここにおいては、傾きはまだマイナスですが、

little bit less negative.

少しだけ上向きになっています。

It goes like that.

このようになっています。

I don't know if I did that, drew that.

このように描いたかわかりづらいかな。

Let me do it in a different color.

違う色で描いてみましょうか。

Let me do it in purple.

紫でやってみよう。

So over here, your slope is slightly less negative.

なので、ここの傾きは、前よりも少しだけ上向きです。

It's a slightly less downward-sloping line.

これは少しだけ下向きが減った線になっています。

And then when you go over here, at the 0 point, right here,

そして、さらに曲線を追っていくと、0ポイント、ここですね。

your slope is pretty much flat, because the horizontal line, y

傾きは水平になっています。なぜなら、ここは水平線なので、

equals 0, is tangent to this curve.

y=0が、ここの曲線のタンジェントになります。

And then as you go to more positive x's, then your

そして、x軸の右へ進んでいくと、

slope starts increasing.

傾きは上昇していきます。

I'm trying to draw a tangent line.

私はタンジェント線を描きましょうか。

And here it's increasing even more, it's increased even more.

そして、ここではさらに上昇しています。

So your slope is changing the entire time, and this is kind

このように、傾きは全体的に変化しています。

of the big change that happens when you go from a

そしてこれが直線から曲線へ移った時の

line to a curve.

大きな違いなのです。

A line, your slope is the same the entire time.

直線においては、傾きは全て同じでした。

You could take any two points of a line, take the change in y

どの場所の2つの点を取っても、

over the change in x, and you get the slope for

yの変化量/xの変化量を調べても、

the entire line.

全体の線の傾きを得られました。

But as you can see already, it's going to be a little

ですが、既に見てきたとおり、曲線においては

bit more nuanced when we do it for a curve.

少しだけ面倒になっています。

Because it depends what point we're talking about.

なぜなら、曲線の傾きは、どこの点について話すかにかかっているからです。

We can't just say, what is the slope for this curve?

曲線の傾きについて単純に話す事は出来ません。

The slope is different at every point along the curve.

曲線の場所によって、傾きは違っています。

It changes.

傾きは変化し続けているのです。

If we go up here, it's going to be even steeper.

私たちがここから上がっていったら、傾きはさらに険しくなっていくでしょう。

It's going to look something like that.

こういう風になります。

So let's try a bit of an experiment.

では、もう少し実験をしてみましょうか。

And I know how this experiment turns out, so it won't

私はこの実験がどうなるかを知っているので、

be too much of a risk.

そんなにリスクにならないでしょう。

Let me draw better than that.

では、これよりもマシに描いてみます。

So that is my y-axis, and that's my x-axis.

ここがy軸で、こちらがx軸です。

Let's call this, we can call this y, or we can call

ここをy、あるいはf(x)軸としましょう。

this the f of x axis.

ここをy、あるいはf(x)軸としましょう。

Either way.

どちらでも構いません。

And let me draw my curve again.

そして、再び曲線を描いてみます。

And I'll just draw it in the positive coordinate, like that.

今度は、プラスの座標にのみ描いて行きます。

That's my curve.

これが曲線です。

And what if I want to find the slope right there?

では、ここの傾きを知りたいとしましょう。

What can I do?

どうすれば得られるでしょうか？

Well, based on our definition of a slope, we need 2 points

傾きの定義から、傾きを知るにはまず

to find a slope, right?

2つの点が必要だったよね？

Here, I don't know how to find the slope with 1 point.

1つの点だけでは、傾きを知る事は出来ません。

So let's just call this point right here,

なので、この点をxとしてみましょう。

that's going to be x.

なので、この点をxとしてみましょう。

We're going to be general.

一般的にするようにします。

This is going to be our point x.

ここが点xとしましょう。

But to find our slope, according to our traditional

ですが傾きを知るためには、伝統的な代数1の定義においては

algebra 1 definition of a slope, we need 2 points.

2つの点が必要でしたよね。

So let's get another point in here.

なので、別の点をここにするとしましょう。

Let's just take a slightly larger version of this x.

ここは、少しだけxより大きなものにします。

So let's say, we want to take, actually, let's do it even

なので、ここに点を取るとしましょう。

further out, just because it's going to get messy otherwise.

実際はさらに少し離れて描きましょう、他の部分を汚さないように。

So let's say we have this point right here.

なので、ここに点があるとしましょう。

And the difference, it's just h bigger than x.

そしてこれらの違いは、hはxよりも大きいので、

Or actually, instead of saying h bigger, let's just, well

いや、hは大きいと言うよりも、うーんと、

let me just say h bigger.

やっぱりhは大きいとします。

So this is x plus h.

なので、ここはx + hです。

That's what that point is right there.

これが、この点です。

So what going to be their corresponding y-coordinates

では、曲線上の、これらと関連するy座標はどうなるでしょうか？

on the curve?

では、曲線上の、これらと関連するy座標はどうなるでしょうか？

Well, this is the curve of y is equal to f of x.

曲線のyは、イコールf(x)なので、

So this point right here is going to be f of our

この点は、f(x)となります。

particular x right here.

この点は、f(x)となります。

And maybe to show you that I'm taking a particular x, maybe

そして特定のxについて話すので、ここに

I'll do a little 0 here.

小さな0を加えるとしましょう。

This is x naught, this is x naught plus h.

これはx0です。ここは、x0 + hです。

This is f of x naught.

ここは、f(x0)です。

And then what is this going to be up here, this point up

そしてこの上は、上のこの点は、

here, that point up here?

ここの点になるよね？

Its y-coordinate is going to be f of f of this x-coordinate,

このy軸は、x軸から少しずれた場所のfになるでしょう。

which I shifted over a little bit.

このy軸は、x軸から少しずれた場所のfになるでしょう。

It's right there. f of this x-coordinate, which is

それはここです。x座標、x0+hの関数です。

f of x naught plus h.

それはここです。x座標、x0+hの関数です。

That's its y-coordinate.

ここがそのy座標になります。

So what is a slope going to be between these two points that

では、これらの2つの点、比較的近くにある、

are relatively close to each other?

これらの間の傾きはどうなるでしょうか？

Remember, this isn't going to be the slope

これは、この点の傾きとならない事を忘れないでください。

just at this point.

これは、この点の傾きとならない事を忘れないでください。

This is the slope of the line between these two points.

これは、これらの2つの点の間の線の傾きです。

And if I were to actually draw it out, it would actually be a

実際に描くとしたら、それは曲線のこの間の

secant line between, to the curve.

割線となるでしょう。

So it would intersect the curve twice, once at this point,

なので、これは曲線を二回交差します。まずは、この点、

once at this point.

そしてこっちの点です。

You can't see it.

見れないので、

If I blew it up a little bit, it would look

少しだけ拡大するならば、

something like this.

こんな風になるでしょう。

This is our coordinate x naught f of x naught, and up here

ここが(x0, f(x0))の座標で、

is our coordinate for this point, which would be, the

ここが(x0, f(x0))の座標で、

x-coordinate would be x naught plus h, and the y-coordinate

こっちのx座標はx0 + h, y座標は、f(x0+h)でしょう。

would be f of x naught plus h.

こっちのx座標はx0 + h, y座標は、f(x0+h)でしょう。

Just whatever this function is, we're evaluating it at this

どんな関数にせよ、このx座標について評価するだけなのです。

x-coordinate That's all it is.

それだけの事です。

So these are the 2 points.

なので、ここに2つの点があるので、

So maybe a good start is to just say, hey, what is the

おそらく始点にするのは、単に

slope of this secant line?

割線の傾きは何でしょうか？

And just like we did in the previous example, you find the

前までの例と同様に、

change in y, and you divide that by your change in x.

yの変化量を見つけ、それをxの変化量で割るのでしたね。

Let me draw it here.

では描いていきましょう。

Your change in y would be that right here, change in y, and

yの変化量は、ここになります。

then your change in x would be that right there.

そしてxの変化量は、ここになるでしょう。

So what is the slope going to be of the secant line?

では、割線の傾きはどうなるでしょうか？

The slope is going to be equal to, let's start with this

この傾きは、イコール……では、ここを始点として、

point up here, just because it seems to be larger.

なぜなら単に、こっちが大きいからですが、

So we want a change in y. so this value right here, this

yの変化量を知りたいので、ここの値、このy値は、

y-value, is f of x naught plus h.

f(x0+h)となります。

I just evaluated this guy up here.

ここの評価をしました。

Looks like a fancy term, but all it means is, look.

少し変わった言い方でしたが、実際の意味は、

The slightly larger x evaluate its y-coordinate.

少しだけ大きなx座標で、y座標を評価するのです。

Where the curve is at that value of x.

そこがxの値にある曲線となります。

So that is going to be, so the change in y is going to be

そして、yの変化量は、

a f of x naught plus h.

f(x0+h)です。