super famous British mathematician and physicist.

そしてこちらは、ニュートン程で無いにせよ著名な

This is a picture of a Gottfried Leibnitz,

ドイツの哲学者、数学者のゴットフリート ・ ライプニッツの絵です。

super famous, or maybe not as famous,

彼はアイザック ・ ニュートンと同時期の人物です。

but maybe should be, famous German philosopher

この二人は共に、

and mathematician, and he was a contemporary of Isaac Newton.

微積分学の父と呼べます。

These two gentlemen together were really

彼らのほとんどの業績は 1600年後半 になされました。

the founding fathers of calculus.

こちらは、ウサイン ・ ボルトです。

And they did some of their-- most of their major work

業績を残し続けているジャマイカの短距離走者です。

in the late 1600s.

2012 年、2012 年の初期から、彼は今日の最速の人間とされています。

And this right over here is Usain Bolt, Jamaican sprinter,

彼はおそらく歴史上でも最速の人間でしょう。

whose continuing to do some of his best work in 2012.

これらの３人の関連はなんでしょう？

And as of early 2012, he's the fastest human alive,

彼らの共通点に気づく人は少ないと思います。

and he's probably the fastest human that has ever lived.

かれらは、微分の問題に取り付かれ、

And you might have not made the association with these three

とくに、問題となるものは瞬時速度です。

gentleman.

ウサイン ・ ボルトの場合、彼の瞬間速度です。

You might not think that they have a lot in common.

これは、過去の平均速度や、１０秒間の速度などではなく、

But they were all obsessed with the same fundamental question.

現時点でどのくらいの速く走っているかです。

And this is the same fundamental question

これが、微分の根本です。瞬時変化率,

that differential calculus addresses.

ニュートンの微分のための呼び名はフレキシオンです。

And the question is, what is the instantaneous rate

なんだか妙な言い方ですが、これは

of change of something?

この瞬間に、起こっていることに関する考察で、

And in the case of Usain Bolt, how fast is he going right now?

伝統的な代数学では、簡単に扱えない問題です。

Not just what his average speed was for the last second,

ここにグラフを描きましょう。

or his average speed over the next 10 seconds.

yを 距離とします。D = 距離ともできますが、dは特定の使用があるので、ここでは、

How fast is he going right now?

y＝距離とします。

And so this is what differential calculus is all about.

同様に、t＝時間ともできますが、ここでは、x＝時間とします。

Instantaneous rates of change.

ウサイン ・ ボルトの距離を時間の関数としてプロットしていた場合

Differential calculus.

x＝０では、走り始めていないの、距離はここ０になります。

Newton's actual original term for differential calculus

かれは、 9.58 秒で 100 メートルの走行能力があります。

was the method of fluxions, which

ここを秒単位とし、9.58 秒後で

actually sounds a little bit fancier.

100 メートルを行くことができます。100 メートル。

But it's all about what's happening in this instant.

この情報で、彼の平均速度を算出できます。

And to think about why that is not a super easy problem

この距離を時間で割れば、

to address with traditional algebra, let's

平均速度が得られます。

draw a little graph here.

変数を使用して y が距離であり、

So on this axis I'll have distance.

x のこのポイントからそのポイントの変化で、割ります。

I'll say y is equal to distance.

2 つのポイント間の斜面で、基礎的な代数学です。これら 2 つの点を結ぶ線を描けば

I could have said d is equal to distance,

この直線の傾きです。

but we'll see, especially later on in calculus,

Y の距離の変化 = 100 m を

d is reserved for something else.

時間の変化は 9.58 秒で割ります。

We'll say y is equal to distance.

y軸の上昇をxの移行で割ります。

And in this axis, we'll say time.

代数のクラスで 習っていますね。

And I could say t is equal to time,

100 メートル／9.58 秒 になります。

but I'll just say x is equal to time.

100 メートル／ 9.58 秒です。

And so if we were to plot Usain Bolt's distance

斜面は、単なる変化率です。

as a function of time, well at time zero

またはこれらの 2 つの点の間の変更の平均レートということもできます。

he hasn't gone anywhere.

この式から

He is right over there.

この速度の単位も得られます。

And we know that this gentleman is

方向も指定した場合は、これは、方向速度です。

capable of traveling 100 meters in 9.58 seconds.

これを、電卓を使用し、解きましょう。

So after 9.58 seconds, we'll assume

せて、それで...、電卓を画面に出しましょう。

that this is in seconds right over here,

9.58 秒に１00 メートル移動するので　約 10.4

he's capable of going 100 meters.

約 10.4 で、単位はメートル/秒です。

And so using this information, we

これは、彼の平均速度です。

can actually figure out his average speed.

次に、平均速度が、瞬時速度と どのように違うか見てみましょう。

Let me write it this way, his average speed

次に、平均速度が、瞬時速度と どのように違うか見てみましょう。

is just going to be his change in distance

その前に、これがどの程度速いか、見てみましょう。

over his change in time.

電卓を所用します。 これは、1 秒あたりのメートルです。

And using the variables that are over here,

1 時間に何メートル走るかを知りたい場合、

we're saying y is distance.

1 時間で 3600 秒です。

So this is the same thing as change

だからこれを 3600 倍しましょう。

in y over change in x from this point to that point.

これが、このスピードで１時間に走る

And this might look somewhat familiar to you

距離です。

from basic algebra.

マイルに換算すると

This is the slope between these two points.

1 マイルは約 1600m とし

If I have a line that connects these two points,

これを　１６００で割ります。

this is the slope of that line.

つまり、 約23 と1/2で

The change in distance is this right over here.

1 時間あたり約 23、1/2 マイル。

Change in y is equal to 100 meters.

約 23.5 mph 書きます。

And our change in time is this right over here.

上にあがります。

So our change in time is equal to 9.58 seconds.

1 時間あたりのマイル。

We started at 0, we go to 9.58 seconds.

車ほど速くはありませんが、

Another way to think about it, the rise over the run you might

とても速いです。

have heard in your algebra class.

これはどのように瞬時速度と違うでしょう。

It's going to be 100 meters over 9.58 seconds.

彼の時間を基準とする距離のプロットを考えましょう。

So this is 100 meters over 9.58 seconds.

すぐにその速度をでは走れません。

And the slope is essentially just rate of change,

発走と同時に平均速度へは至りません。

or you could view it as the average rate

この時点では、23、1/2 mphのはずはありません。

of change between these two points.

彼は加速して行きます

And you'll see, if you even just follow the units,

だから最初は、少し遅く走り始めます。

it gives you units of speed here.

この傾斜は少し低くなります。

It would be velocity if we also specified the direction.

平均の斜面より、少し遅くになります。

And we can figure out what that is,

それから、彼は加速を開始し、

let me get the calculator out.

傾斜がだんだんと急になっていきます。

So let me get the calculator on the screen.

多分終わり近くには、疲れてくるでしょう。

So we're going 100 meters in the 9.58 seconds.

そして、彼の時間に対する距離の曲線は

So it's 10.4, I'll just write 10.4, I'll round to 10.4.

このような感じです。

So it's approximately 10.4, and then the units

私たちはここで計算したのは、平均傾斜だけです。

are meters per second.

任意の時点での

And that is his average speed.

傾斜は、実際に異なります。

And what we're going to see in a second

初めは遅い速度で、

is how average speed is different

ここで彼は加速し、

than instantaneous speed.

ここで、彼の距離の変化率は、

How it's different than what the speed

このように見ることができます。

he might be going at any given moment.

この時点での接線の傾斜とは ―

And just to have a concept of how fast this is,

これは彼の平均よりも速いです。

let me get the calculator back.

彼は再び減速を開始します。

This is in meters per second.

平均 ２３．５mphになります。

If you wanted to know how many meters he's going in an hour,

ウサイン ・ボルトの瞬時速度は、

well there's 3,600 seconds in an hour.

彼のピークの瞬時速度で

So he'll be able to go this many meters 3,600 times.

実際には 1 時間あたり 30 マイル近いです。

So that's how many meters he can,

ここで傾斜は

if he were able to somehow keep up that speed in an hour.

23mphですが、

This is how fast he's going meters per hour.

しかし、9.58 秒間の瞬間の最速速度は、

And then, if you were to say how many miles per hour,

1 時間あたり 30 マイルに近いです。

there's roughly 1600-- and I don't know the exact number,

でもこれは簡単に求められません。

but roughly 1600 meters per mile.

では、ここの傾斜から、近似してみましょう

So let's divide it by 1600.

近似できるでしょうか？

And so you see that this is roughly a little over 23,

では、yの変化は何でしょう？

about 23 and 1/2 miles per hour.

ここでのxの変化で、 yの変化を割ったものは何でしょう。

So this is approximately, and I'll

ここでのxの変化で、 yの変化を割ったものは何でしょう。

write it this way-- this is approximately 23.5 miles

x の変化を取り、

per hour.

それに対するy の変化が 見つけます。

And relative to a car, not so fast.

これにより、近似値が得られます。

But relative to me, extremely fast.

この曲線の傾きは絶えず変化しています。

Now to see how this is different than instantaneous velocity,

取るxの変化が小さくして行くとどうなるでしょう？

let's think about a potential plot of his distance

取るxの変化が小さくなるにつれ、

relative to time.

近似の精度が上昇します。

He's not going to just go this speed immediately.

yの変更 も小さくなります。

He's not just going to go as soon as the gun fires,

これについて、

he's not just going to go 23 and 1/2 miles per hour all the way.

もっと詳しく見てみましょう。

He's going to accelerate.

dx をゼロに近い限界値を取るようにしましょう。

So at first he's going to start off going a little bit slower.

dxが０に近づくと、

So the slope is going to be a little bit lot lower

y ／ x が、その瞬時変化率をアプローチします。

than the average slope.

y ／ x が、その瞬時変化率をアプローチします。

He's going to go a little bit slower,

y ／ x が、その瞬時変化率をアプローチします。

then he's going to start accelerating.

瞬時時点でカーブの瞬時傾斜としてそれを見ることができます。

And so his speed, and you'll see the slope here

または、その時点での曲線に対する接線の傾き、

is getting steeper and steeper and steeper.

または微積分学の用語を使用すると、微分を取ると言えます。

And then maybe near the end he starts tiring off a little bit.

瞬時の斜面は、微分で、

And so his distance plotted against time

dy／dxの記号で表現されます。

might be a curve that looks something like this.

dy／dxの記号で表現されます。

And what we calculated here is just

これは、どのように用語”微分”に関連しますか。

the average slope across this change in time.

この dy は、差異です。

What we could see at any given moment

dx も差異です。これを概念化する方法の 1 つは、

the slope is actually different.

無限小の変化 y を 、 無限小の変化xにより割ります。

In the beginning, he has a slower rate

非常に小さいyの変化または 非常に小さいxの変化を、取ることで

of change of distance.

この瞬間の傾斜を得ることができます。

Then over here, then he accelerates over here,

この例の場合は

it seems like his rate of change of distance, which

ウサイン ・ ボルトの瞬時の速度が、得られます。

would be roughly-- or you could view it

単に０をここに置くことは、できません。

as the slope of the tangent line at that point,

ここに０を置くと、未定義の答えとなります。

it looks higher than his average.

ゼロを割ることができません。あなたは、極限値を取ります。

And then he starts to slow down again.

０へ近づくに関し より詳しく次のビデオで説明します。

When you average it out, it gets to 23 and 1/2 miles per hour.

And I looked it up, Usain Bolt's instantaneous velocity,

his peak instantaneous velocity, is actually

closer to 30 miles per hour.

So the slope over here might be 23 whatever miles per hour.

But the instantaneous, his fastest point

in this 9.58 seconds is closer to 30 miles per hour.

But you see it's not a trivial thing to do.

You could say, OK, let me try to approximate the slope right

over here.

And you could do that by saying, OK, well,

what is the change in y over the change of x right around this?

So you could say, well, let me take some change of x,

and figure out what the change of y is around it,

or as we go past that.

So you get that.

But that would just be an approximation,

because you see that the slope of this curve

is constantly changing.

So what you want to do is see what

happens as your change of x gets smaller

and smaller and smaller.

As your change of x get smaller and smaller and smaller,

you're going to get a better and better approximation.

Your change of y is going to get smaller

and smaller and smaller.

So what you want to do, and we're

going to go into depth into all of this,

and study it more rigorously, is you

want to take the limit as delta x approaches

0 of your change in y over your change in x.

And when you do that, you're going

to approach that instantaneous rate of change.

You could view it as the instantaneous slope

at that point in the curve.

Or the slope of the tangent line at that point in the curve.

Or if we use calculus terminology,

we would view that as the derivative.

So the instantaneous slope is the derivative.

And the notation we use for the derivative is a dy over dx.

And that's why I reserved the letter y.

And then you say, well, how does this

relate to the word differential?

Well, the word differential is relating--

this dy is a differential, dx is a differential.

And one way to conceptualize it, this

is an infinitely small change in y

over an infinitely small change in x.

And by getting super, super small changes in y

over change in x, you're able to get your instantaneous slope.

Or in the case of this example, the instantaneous speed

of Usain Bolt right at that moment.

And notice, you can't just put a 0 here.

If you just put change in x is zero,

you're going to get something that's undefined.

You can't divide by 0.

So we take the limit as it approaches 0.

And we'll define that more rigorously

in the next few videos.