We only get a glimpse at one corner of it, but the mathematics as a whole is a huge and

それは数学という学問の一部分をちらりと見ているだけにすぎず、実際の「数学」の全体像はとても巨大で

wonderfully diverse subject.

すばらしく多様な学問であります

My aim with this video is to show you all that amazing stuff.

私のこのビデオでの目的は、あなたに、この素晴らしい「数学」の全体像を見ていただくことです

We'll start back at the very beginning.

それでははじめましょう。

The origin of mathematics lies in counting.

数学の起源とは数を数えることです。

In fact counting is not just a human trait, other animals are able to count as well and

実際のところは、数えることは人間だけでなく、他の動物も数を数えることができます。

e vidence for human counting goes back to prehistoric times with check marks made in

人間が先史時代に数を数えるという行為を行ったとされる証拠は、骨にチェックマークがつけられていたという形跡があります。

bones.

人間が先史時代に数を数えるという行為を行ったとされる証拠は、骨にチェックマークがつけられていたという形跡がありますす。

There were several innovations over the years with the Egyptians having the first equation,

長い歴史の中で、数学に関しておおいなる革新がありました。エジプト人は「方程式」を最初に用い、

the ancient Greeks made strides in many areas like geometry and numerology, and negative

古代ギリシア人は幾何学や数秘術をはじめとした多くの分野の革新を成し遂げ、

numbers were invented in China.

中国では負の数が発明されました。

And zero as a number was first used in India.

そして、ゼロが数字としてインドで 最初に使われ、

Then in the Golden Age of Islam Persian mathematicians made further strides and the first book on

その後、イスラム黄金時代のペルシャの 数学者によって、数学はさらなる進歩を遂げ、

algebra was written.

最初の代数の本が書かれました。

Then mathematics boomed in the renaissance along with the sciences.

その後、数学は科学と共にルネサンス時代に急成長を遂げ

Now there is a lot more to the history of mathematics then what I have just said, but

私が今言及しなかったものにも、歴史の中には数学の多くの革新がありました。

I'm gonna jump to the modern age and mathematics as we know it now.

しかし、ここでは歴史についてはこのくらいにして、私たちの現代の数学へと話題を変えましょう。

Modern mathematics can be broadly be broken down into two areas, pure maths: the study

現代の数学は大きく分けて2つの分野があります。数学そのものの追求を目指した「純粋数学」と

of mathematics for its own sake, and applied maths: when you develop mathematics to help

現実世界の問題解決のために数学を利用し、その方法を研究する「応用数学」です。

solve some real world problem.

現実世界の問題解決のために数学を利用し、その方法を研究する「応用数学」です。

But there is a lot of crossover.

しかし、それらは互いに補完しあっています。

In fact, many times in history someone's gone off into the mathematical wilderness

実際、これまで歴史の中で幾度どなく、

motivated purely by curiosity and kind of guided by a sense of aesthetics.

好奇心と数学的美しさに魅了され、数学の自然的性質の追求に身をささげた多くの人が

And then they have created a whole bunch of new mathematics which was nice and interesting

素晴らしく面白い、新しい数学の世界を多く創造しました。

but doesn't really do anything useful.

その時には、それらの現実問題における有用性は特筆するようなものではありませんでした。

But then, say a hundred hears later, someone will be working on some problem at the cutting

しかし、その数百年後、物理​​学や コンピュータサイエンスといった最先端で種々の問題に取り組む人にとって、

edge of physics or computer science and they'll discover that this old theory in pure maths

これらの純粋数学において一昔前に構築された理論が、

is exactly what they need to solve their real world problems!

まさに今、目の前にしている現実世界の問題を解決するために必要なものであったのです！

Which is amazing, I think!

それは驚くべき事であると思います

And this kind of thing has happened so many times over the last few centuries.

そして、このようなことはここ数世紀に渡り何度も見られました。

It is interesting how often something so abstract ends up being really useful.

数学のとても抽象的な理論が、どのくらいの頻度で、最終的に現実的な問題解決に有用なものになるのかというのは、実に興味深いことです。

But I should also mention, pure mathematics on its own is still a very valuable thing

しかし、純粋数学、それ自体もまた非常に価値あるものであるという事は、もう一度言わねばなりません。

to do because it can be fascinating and on its own can have a real beauty and elegance

なぜなら、それは魅惑的であり、また それ自体が本当の美しさと優雅さを持ち、

that almost becomes like art.

まさに芸術であるからです。

Okay enough of this highfalutin, lets get into it.

さて、前置きはこれくらいにして、詳しい話にはいりましょう。

Pure maths is made of several sections.

純粋数学はいくつかのセクションに分けることができます。

The study of numbers starts with the natural numbers and what you can do with them with

数の研究は、自然数から始まり、算術的演算でそれらをどう扱えるかを考える分野です。

arithmetic operations.

数の研究は、自然数から始まり、算術的演算でそれらをどう扱えるかを考える分野です。

And then it looks at other kinds of numbers like integers, which contain negative numbers,

そして負の数を含む整数や、

rational numbers like fractions, real numbers which include numbers like pi which go off

分数のような有理数、円周率のような小数点以下無限に続く数字が含まれている実数、

to infinite decimal points, and then complex numbers and a whole bunch of others.

そして複素数やその他多くの「数」を扱います。

Some numbers have interesting properties like Prime Numbers, or pi or the exponential.

それらの数の中には素数や、または円周率、ネイピア数(e)など興味深いものが含まれています。

There are also properties of these number systems, for example, even though there is

また、それらの数に性質があります。例としては

an infinite amount of both integers and real numbers, there are more real numbers than

整数、実数ともに無限の数存在しますが、実数の方が整数よりも多くの数が存在します。

integers.

整数、実数ともに無限の数存在しますが、実数の方が整数よりも多くの数が存在します。

So some infinities are bigger than others.

よって、ある数の種類の無限よりも、別な数の種類の無限の方が大きい場合があります。

The study of structures is where you start taking numbers and putting them into equations

数理論理学は、数から出発し、それらを方程式の中に変数として代入する操作を考察します。

in the form of variables.

数理論理学は、数から出発し、それらを方程式の中に変数として代入する操作を考察します。

Algebra contains the rules of how you then manipulate these equations.

代数学は方程式を操作するルールを含みます。

Here you will also find vectors and matrices which are multi-dimensional numbers, and the

多次元における数の表記である、ベクトルと行列もこの分野です。

rules of how they relate to each other are captured in linear algebra.

ベクトルと行列がお互いにどのように関係しているかのルールは、線形代数によって記述されます。

Number theory studies the features of everything in the last section on numbers like the properties

数論は、前のセクションにおいて示した、数におけるすべての特徴を研究します。

of prime numbers.

一例は素数の性質です。

Combinatorics looks at the properties of certain structures like trees, graphs, and other things

組み合わせ数学は、木構造やグラフなどの

that are made of discreet chunks that you can count.

離散的なチャンクをどのように数えるかを見ていきます。

Group theory looks at objects that are related to each other in, well, groups.

群論は、互いに関連する対象を、「グループ」として考察する学問です。

A familiar example is a Rubik's cube which is an example of a permutation group.

よく知られている例は、ルービックキューブは置換群の一例であります。

And order theory investigates how to arrange objects following certain rules like, how

そして順序集合の理論は、対象がどのような特定のルールに従って配置されているのかを追及します。

something is a larger quantity than something else.

例えばある何かは、別の何かより大きい、などです。

The natural numbers are an example of an ordered set of objects, but anything with any two

自然数は、集合の一例ですが、

way relationship can be ordered.

その中の、どの2つの物も順序立てることが出来ます。

Another part of pure mathematics looks at shapes and how they behave in spaces.

純粋数学のもう一つのカテゴリーは、「形」を観察する分野で、それらが空間内でどのような挙動をするかを示します。

The origin is in geometry which includes Pythagoras, and is close to trigonometry, which we are

その起源は、ピタゴラスを含む幾何学であり、学校の授業で親しみのある三角法（三角形の理論）理論を含みます。

all familiar with form school.

その起源は、ピタゴラスを含む幾何学であり、学校の授業で親しみのある三角法（三角形の理論）理論を含みます

Also there are fun things like fractal geometry which are mathematical patterns which are

また、フラクタル幾何学のような、興味深い図形も含ます。

scale invariant, which means you can zoom into them forever and the always look kind

これはスケール不変の数学的なパターンであり、言い換えればどれほどズームをしても、同じ種類の形状が永遠に続きます。

of the same.

これはスケール不変の数学的なパターンであり、言い換えればどれほどズームをしても、同じ種類の形状が永遠に続きます。

Topology looks at different properties of spaces where you are allowed to continuously

位相幾何学（トポロジー）は、空間の性質を見ますが、

deform them but not tear or glue them.

そこでは、裂けたり接着したりすることなく、連続的な変形によって得られるものを考察します。

For example a Möbius strip has only one surface and one edge whatever you do to it.

例えば、あなたがどのような操作をしようとも、メビウスの輪には1つの表面と辺しかあらわれません。

And coffee cups and donuts are the same thing - topologically speaking.

位相幾何学的に言えば、コーヒーカップとドーナツは同じものです

Measure theory is a way to assign values to spaces or sets tying together numbers and

測度論は、空間や集合に値を割り当て、またそれらを同時に考察する方法です

spaces.

測度論は、空間や集合に値を割り当て、またそれらを同時に考察する方法です

And finally, differential geometry looks the properties of shapes on curved surfaces, for

そして最後に、微分幾何学は 曲面上の形状の性質を考察します。

example triangles have got different angles on a curved surface, and brings us to the

三角形を例にとると、曲面上では平面上とは異なる角度となります

next section, which is changes.

次のセクションでは、微分積分学を紹介します。

The study of changes contains calculus which involves integrals and differentials which

微分積分学は、微分と積分の学問で

looks at area spanned out by functions or the behaviour of gradients of functions.

関数の勾配や、関数で囲まれている領域を考察します。

And vector calculus looks at the same things for vectors.

そして、ベクトル解析は、微積分をベクトルに適用します。

Here we also find a bunch of other areas like dynamical systems which looks at systems that

またこれらは、多岐にわたる分野で使用され、例えば、力学系では

evolve in time from one state to another, like fluid flows or things with feedback loops

流体のようなある状態から別の状態へと時間によって変化していくシステムや

like ecosystems.

生態系のようなフィードバックを繰り返すシステムを考察します。

And chaos theory which studies dynamical systems that are very sensitive to initial conditions.

そして力学系の研究であるカオス理論では、初期状態の変化によって非常に敏感に変化する現象について扱います。

Finally complex analysis looks at the properties of functions with complex numbers.

最後に複素関数論では、複素数の関数の性質を研究します。

This brings us to applied mathematics.

次は応用数学です。

At this point it is worth mentioning that everything here is a lot more interrelated

この時点で言及しておくことがいいでしょうが、これまで紹介させていただいた分野は、私が紹介したよりもさらに相互関連があり、

than I have drawn.

この時点で言及しておくことがいいでしょうが、これまで紹介させていただいた分野は、私が紹介したよりもさらに相互関連があり、

In reality this map should look like more of a web tying together all the different

実際のところ、この地図はもっと蜘蛛の巣のようなものに仕上がる必要があるかもしれません。

subjects but you can only do so much on a two dimensional plane so I have laid them

しかし、二次元的な表面上での表現が扱いやすいので、そのような図にしました。

out as best I can.

しかし、二次元的な表面上での表現が扱いやすいので、そのような図にしました。

Okay we'll start with physics, which uses just about everything on the left hand side

さて、応用数学の分野の紹介という事で、物理学から始めましょう。物理学ではここまでに紹介した方法を広く使用しています。

to some degree.

さて、応用数学の分野の紹介という事で、物理学から始めましょう。物理学ではここまでに紹介した方法を広く使用しています。

Mathematical and theoretical physics has a very close relationship with pure maths.

数理物理学および理論物理学は、純粋数学との間に、非常に密接な関係があります

Mathematics is also used in the other natural sciences with mathematical chemistry and biomathematics

また数学は、数理化学と数理生物学のように、他の自然科学でも使われています。

which look at loads of stuff from modelling molecules to evolutionary biology.

それらの分野では、分子モデリングから進化生物学までの多くの課題について研究しています。

Mathematics is also used extensively in engineering, building things has taken a lot of maths since

数学は工学でも非常に広く使われています。ものづくりには多くの数学が利用されており

Egyptian and Babylonian times.

古代エジプトやバビロニアの時代から、すでに利用されていました。

Very complex electrical systems like aeroplanes or the power grid use methods in dynamical

飛行機や送電システムのような、非常に複雑な電気システムでは、

systems called control theory.

制御理論と呼ばれる力学系の手法を用いています。

Numerical analysis is a mathematical tool commonly used in places where the mathematics

数値解析は、数学的に完全に解決するには複雑になりすぎてしまった課題に対して、使用される数学的手法です。

becomes too complex to solve completely.

数値解析は、数学的に完全に解決するには複雑になりすぎてしまった課題に対して、使用される数学的手法です。

So instead you use lots of simple approximations and combine them all together to get good

シンプルな近似を多く行い、それらを組み合わせることによって

approximate answers.

より良い近似解を導く方法です。

For example if you put a circle inside a square, throw darts at it, and then compare the number

たとえば、四角の内側に円を置き、 それにダーツを投げて、円の中と外のダーツの数を比較することにより

of darts in the circle and square portions, you can approximate the value of pi.

円周率の値を近似することができます。

But in the real world numerical analysis is done on huge computers.

しかし現実世界では、数値解析は 巨大なコンピュータで行われています。

Game theory looks at what the best choices are given a set of rules and rational players

ゲーム理論は、一連のルールの元、合理的なプレーヤーが与えられた条件下、なにが最良の選択肢かを考える分野です。

and it's used in economics when the players can be intelligent, but not always, and other

経済学のように、プレーヤーが合理的であると仮定できる場合によく用いられますが、

areas like psychology, and biology.

常にそういう条件下での場合のみの適用に限らず、心理学や生物学のような分野でも応用されています。

Probability is the study of random events like coin tosses or dice or humans, and statistics

確率論は、ランダムな事象に関する研究です。例えば、コイントス、サイコロ目、または人間もその研究対象となります。

is the study of large collections of random processes or the organisation and analysis

統計は、ランダムなプロセスや構造を多くサンプリングし、そのデータを分析する分野です。

of data.

統計は、ランダムなプロセスや構造を多くサンプリングし、そのデータを分析する分野です。

This is obviously related to mathematical finance, where you want model financial systems

これは、金融システムのモデルを考える、数理ファイナンスに関連し、

and get an edge to win all those fat stacks.

貯められた非常に多くの積み重ねから、利益が得られる核心部分を見つけることが出来ます。

Related to this is optimisation, where you are trying to calculate the best choice amongst

これに関連し、最適化の分野では、最適な解を得れる選択肢を計算によって求めます。

a set of many different options or constraints, which you can normally visualise as trying

多くの異なるオプションや、また制限等を考慮し最適化することは

to find the highest or lowest point of a function.

関数の最高点または最低点を見つけることに帰着されます。

Optimisation problems are second nature to us humans, we do them all the time: trying

最適化の問題を考えることは、私たちの人間の習性であり、常にそれを行っています。

to get the best value for money, or trying to maximise our happiness in some way.

金銭的に最高の価値を得るために、 また何らかの形の幸福を最大にするために。

Another area that is very deeply related to pure mathematics is computer science, and

純粋数学に非常に深く関係している別の領域は、コンピュータサイエンスであり、

the rules of computer science were actually derived in pure maths and is another example

コンピュータサイエンスにおけるルールは、実際に純粋数学から派生したもので

of something that was worked out way before programmable computers were built.

プログラミング可能なコンピュータが作られる前に編み出されたものです。

Machine learning: the creation of intelligent computer systems uses many areas in mathematics

機械学習は知的なコンピュータシステムを創造する分野で、数学の多くの領域を応用しています。

like linear algebra, optimisation, dynamical systems and probability.

例えば、線形代数、最適化、力学系、そして確率論などです。

And finally the theory of cryptography is very important to computation and uses a lot

最後に、暗号理論は非常に重要な分野で

of pure maths like combinatorics and number theory.

組み合わせ論や数論などの純粋数学を多く利用しています。

So that covers the main sections of pure and applied mathematics, but I can't end without

これで純粋数学と応用数学の主要な部分をカバーしましたが、

looking at the foundations of mathematics.

私としては、数学基礎論を見ないでは終わることはできません。

This area tries to work out at the properties of mathematics itself, and asks what the basis

この分野は数学そのものの性質を学び、

of all the rules of mathematics is.

すべての数学の法則の基礎は何なのかを問うています。

Is there a complete set of fundamental rules, called axioms, which all of mathematics comes

全ての数学の根源となる、公理と呼ばれる基本的なルールの、完全なる集合は存在するのだろうか？

from?

全ての数学の根源となる、公理と呼ばれる基本的なルールの、完全なる集合は存在するのだろうか？

And can we prove that it is all consistent with itself?

そして、それがすべて一貫していることを、それだけを用いて証明できるだろうか？

Mathematical logic, set theory and category theory try to answer this and a famous result

数理論理学、集合論と圏論は、この疑問に答を出そうと試み、

in mathematical logic are Gödel's incompleteness theorems which, for most people, means that

数理論理学における有名なゲーデルの不完全性定理では

Mathematics does not have a complete and consistent set of axioms, which mean that it is all kinda

数学は、完全で一貫した公理の集合を持たないと結論づけました。

made up by us humans.

これは、理論はすべては私たち人間の介入によって構成されたことを意味します。

Which is weird seeing as mathematics explains so much stuff in the Universe so well.

これは数学が、宇宙の事物の多くをこれほどよく説明することを考えるとおかしな話です。

Why would a thing made up by humans be able to do that?

なぜ人間によって作られたものによって、 こんなことができるのだろうか？

That is a deep mystery right there.

それは深い謎です。

Also we have the theory of computation which looks at different models of computing and

また、我々は、計算の様々なモデルについて考える計算理論を考えており、

how efficiently they can solve problems and contains complexity theory which looks at

どのように効率的に問題を解決できるかを研究しています。また、それは複雑系の理論を含んでいて、

what is and isn't computable and how much memory and time you would need, which, for

これは計算可能なものと計算できないものを考え、またそれに対する必要とするメモリ量と時間を考えます。

most interesting problems, is an insane amount.

そして、最も興味深い問題にアプローチするには、非常識な量のメモリや時間等が必要となります。

Ending So that is the map of mathematics.

これが数学の地図です。

Now the thing I have loved most about learning maths is that feeling you get where something

私が数学を学習することについて最も大好きなことは、

that seemed so confusing finally clicks in your brain and everything makes sense: like

はじめはとても混乱しているものが、最終的はにすべての意味が通った、その時の感覚です

an epiphany moment, kind of like seeing through the matrix.

マトリックスを通して見るような、ひらめきの瞬間。

In fact some of my most satisfying intellectual moments have been understanding some part

実際、私の最も満足できる知的な瞬間は、数学のある部分を理解し、

of mathematics and then feeling like I had a glimpse at the fundamental nature of the

自然の基本的性質を垣間見ることができたと感じたときでした。

Universe in all of its symmetrical wonder.

すべての対称的な宇宙の神秘

It's great, I love it.

それは素晴らしいことであり、私はそれが大好きです。

Ending Making a map of mathematics was the most popular

数学の地図を作るということは、最も多くのリクエストがあったことであり

request I got, which I was really happy about because I love maths and its great to see

私は数学を考えるのが大好きなので、とても嬉しいことでした。

so much interest in it.

またそれに関して多くの興味が寄せられたことも喜びです。

So I hope you enjoyed it.

この数学の地図をお楽しみいただけたのなら幸いです。

Obviously there is only so much I can get into this timeframe, but hopefully I have

明らかに、この短い時間で紹介するには、あまりに多くのものがありますが、

done the subject justice and you found it useful.

主題を十分に扱うことができ、あなたが有用だと感じてくれることを願っています。

So there will be more videos coming from me soon, here's all the regular things and

私はこれからも多くのビデオの公開を、定期的に行っていきます。

it was my pleasure se you next time.

それは私の喜びです。また次回をお楽しみに。