Name: The Map of Mathematics
Uploaded: 2022-07-02T13:07:08.000Z
Duration: 11 min 6 s

程度の副詞

The mathematics we learn in school doesn't quite do the field of mathematics justice.

私たちが学校で学ぶ数学では、数学の本質的な議論にほとんど立ち入ってはいません。

様態の副詞

We only get a glimpse at one corner of it, but the mathematics as a whole is a huge and

それは数学という学問の一部分をちらりと見ているだけにすぎず、実際の「数学」の全体像はとても巨大で

すばらしく多様な学問であります

My aim with this video is to show you all that amazing stuff.

私のこのビデオでの目的は、あなたに、この素晴らしい「数学」の全体像を見ていただくことです

The origin of mathematics lies in counting.

数学の起源とは数を数えることです。

In fact counting is not just a human trait, other animals are able to count as well and

実際のところは、数えることは人間だけでなく、他の動物も数を数えることができます。

e vidence for human counting goes back to prehistoric times with check marks made in

人間が先史時代に数を数えるという行為を行ったとされる証拠は、骨にチェックマークがつけられていたという形跡があります。

人間が先史時代に数を数えるという行為を行ったとされる証拠は、骨にチェックマークがつけられていたという形跡がありますす。

There were several innovations over the years with the Egyptians having the first equation,

長い歴史の中で、数学に関しておおいなる革新がありました。エジプト人は「方程式」を最初に用い、

the ancient Greeks made strides in many areas like geometry and numerology, and negative

古代ギリシア人は幾何学や数秘術をはじめとした多くの分野の革新を成し遂げ、

中国では負の数が発明されました。

And zero as a number was first used in India.

そして、ゼロが数字としてインドで 最初に使われ、

Then in the Golden Age of Islam Persian mathematicians made further strides and the first book on

その後、イスラム黄金時代のペルシャの 数学者によって、数学はさらなる進歩を遂げ、

最初の代数の本が書かれました。

Then mathematics boomed in the renaissance along with the sciences.

その後、数学は科学と共にルネサンス時代に急成長を遂げ

Now there is a lot more to the history of mathematics then what I have just said, but

私が今言及しなかったものにも、歴史の中には数学の多くの革新がありました。

I'm gonna jump to the modern age and mathematics as we know it now.

しかし、ここでは歴史についてはこのくらいにして、私たちの現代の数学へと話題を変えましょう。

Modern mathematics can be broadly be broken down into two areas, pure maths: the study

現代の数学は大きく分けて2つの分野があります。数学そのものの追求を目指した「純粋数学」と

of mathematics for its own sake, and applied maths: when you develop mathematics to help

現実世界の問題解決のために数学を利用し、その方法を研究する「応用数学」です。

しかし、それらは互いに補完しあっています。

In fact, many times in history someone's gone off into the mathematical wilderness

実際、これまで歴史の中で幾度どなく、

motivated purely by curiosity and kind of guided by a sense of aesthetics.

好奇心と数学的美しさに魅了され、数学の自然的性質の追求に身をささげた多くの人が

And then they have created a whole bunch of new mathematics which was nice and interesting

素晴らしく面白い、新しい数学の世界を多く創造しました。

その時には、それらの現実問題における有用性は特筆するようなものではありませんでした。

But then, say a hundred hears later, someone will be working on some problem at the cutting

しかし、その数百年後、物理​​学や コンピュータサイエンスといった最先端で種々の問題に取り組む人にとって、

edge of physics or computer science and they'll discover that this old theory in pure maths

これらの純粋数学において一昔前に構築された理論が、

is exactly what they need to solve their real world problems!

まさに今、目の前にしている現実世界の問題を解決するために必要なものであったのです！

それは驚くべき事であると思います

And this kind of thing has happened so many times over the last few centuries.

そして、このようなことはここ数世紀に渡り何度も見られました。

It is interesting how often something so abstract ends up being really useful.

数学のとても抽象的な理論が、どのくらいの頻度で、最終的に現実的な問題解決に有用なものになるのかというのは、実に興味深いことです。

But I should also mention, pure mathematics on its own is still a very valuable thing

しかし、純粋数学、それ自体もまた非常に価値あるものであるという事は、もう一度言わねばなりません。

to do because it can be fascinating and on its own can have a real beauty and elegance

なぜなら、それは魅惑的であり、また それ自体が本当の美しさと優雅さを持ち、

Okay enough of this highfalutin, lets get into it.

さて、前置きはこれくらいにして、詳しい話にはいりましょう。

純粋数学はいくつかのセクションに分けることができます。

The study of numbers starts with the natural numbers and what you can do with them with

数の研究は、自然数から始まり、算術的演算でそれらをどう扱えるかを考える分野です。

And then it looks at other kinds of numbers like integers, which contain negative numbers,

rational numbers like fractions, real numbers which include numbers like pi which go off

分数のような有理数、円周率のような小数点以下無限に続く数字が含まれている実数、

to infinite decimal points, and then complex numbers and a whole bunch of others.

そして複素数やその他多くの「数」を扱います。

Some numbers have interesting properties like Prime Numbers, or pi or the exponential.

それらの数の中には素数や、または円周率、ネイピア数(e)など興味深いものが含まれています。

There are also properties of these number systems, for example, even though there is

また、それらの数に性質があります。例としては

an infinite amount of both integers and real numbers, there are more real numbers than

整数、実数ともに無限の数存在しますが、実数の方が整数よりも多くの数が存在します。

So some infinities are bigger than others.

よって、ある数の種類の無限よりも、別な数の種類の無限の方が大きい場合があります。

The study of structures is where you start taking numbers and putting them into equations

数理論理学は、数から出発し、それらを方程式の中に変数として代入する操作を考察します。

Algebra contains the rules of how you then manipulate these equations.

代数学は方程式を操作するルールを含みます。

Here you will also find vectors and matrices which are multi-dimensional numbers, and the

多次元における数の表記である、ベクトルと行列もこの分野です。

rules of how they relate to each other are captured in linear algebra.

ベクトルと行列がお互いにどのように関係しているかのルールは、線形代数によって記述されます。

Number theory studies the features of everything in the last section on numbers like the properties

数論は、前のセクションにおいて示した、数におけるすべての特徴を研究します。

Combinatorics looks at the properties of certain structures like trees, graphs, and other things

組み合わせ数学は、木構造やグラフなどの

that are made of discreet chunks that you can count.

離散的なチャンクをどのように数えるかを見ていきます。

Group theory looks at objects that are related to each other in, well, groups.

群論は、互いに関連する対象を、「グループ」として考察する学問です。

A familiar example is a Rubik's cube which is an example of a permutation group.

よく知られている例は、ルービックキューブは置換群の一例であります。

And order theory investigates how to arrange objects following certain rules like, how

そして順序集合の理論は、対象がどのような特定のルールに従って配置されているのかを追及します。

something is a larger quantity than something else.

例えばある何かは、別の何かより大きい、などです。

The natural numbers are an example of an ordered set of objects, but anything with any two

自然数は、集合の一例ですが、

その中の、どの2つの物も順序立てることが出来ます。

Another part of pure mathematics looks at shapes and how they behave in spaces.

純粋数学のもう一つのカテゴリーは、「形」を観察する分野で、それらが空間内でどのような挙動をするかを示します。

The origin is in geometry which includes Pythagoras, and is close to trigonometry, which we are

その起源は、ピタゴラスを含む幾何学であり、学校の授業で親しみのある三角法（三角形の理論）理論を含みます。

その起源は、ピタゴラスを含む幾何学であり、学校の授業で親しみのある三角法（三角形の理論）理論を含みます

Also there are fun things like fractal geometry which are mathematical patterns which are

また、フラクタル幾何学のような、興味深い図形も含ます。

scale invariant, which means you can zoom into them forever and the always look kind

これはスケール不変の数学的なパターンであり、言い換えればどれほどズームをしても、同じ種類の形状が永遠に続きます。

Topology looks at different properties of spaces where you are allowed to continuously

位相幾何学（トポロジー）は、空間の性質を見ますが、

そこでは、裂けたり接着したりすることなく、連続的な変形によって得られるものを考察します。

For example a Möbius strip has only one surface and one edge whatever you do to it.

例えば、あなたがどのような操作をしようとも、メビウスの輪には1つの表面と辺しかあらわれません。

And coffee cups and donuts are the same thing - topologically speaking.

位相幾何学的に言えば、コーヒーカップとドーナツは同じものです

Measure theory is a way to assign values to spaces or sets tying together numbers and

測度論は、空間や集合に値を割り当て、またそれらを同時に考察する方法です

And finally, differential geometry looks the properties of shapes on curved surfaces, for

そして最後に、微分幾何学は 曲面上の形状の性質を考察します。

example triangles have got different angles on a curved surface, and brings us to the

三角形を例にとると、曲面上では平面上とは異なる角度となります

次のセクションでは、微分積分学を紹介します。

The study of changes contains calculus which involves integrals and differentials which

微分積分学は、微分と積分の学問で

looks at area spanned out by functions or the behaviour of gradients of functions.

関数の勾配や、関数で囲まれている領域を考察します。

And vector calculus looks at the same things for vectors.

そして、ベクトル解析は、微積分をベクトルに適用します。

Here we also find a bunch of other areas like dynamical systems which looks at systems that

またこれらは、多岐にわたる分野で使用され、例えば、力学系では

evolve in time from one state to another, like fluid flows or things with feedback loops

流体のようなある状態から別の状態へと時間によって変化していくシステムや

生態系のようなフィードバックを繰り返すシステムを考察します。

And chaos theory which studies dynamical systems that are very sensitive to initial conditions.

そして力学系の研究であるカオス理論では、初期状態の変化によって非常に敏感に変化する現象について扱います。

Finally complex analysis looks at the properties of functions with complex numbers.

最後に複素関数論では、複素数の関数の性質を研究します。

At this point it is worth mentioning that everything here is a lot more interrelated

この時点で言及しておくことがいいでしょうが、これまで紹介させていただいた分野は、私が紹介したよりもさらに相互関連があり、

In reality this map should look like more of a web tying together all the different

実際のところ、この地図はもっと蜘蛛の巣のようなものに仕上がる必要があるかもしれません。

subjects but you can only do so much on a two dimensional plane so I have laid them

しかし、二次元的な表面上での表現が扱いやすいので、そのような図にしました。

Okay we'll start with physics, which uses just about everything on the left hand side

さて、応用数学の分野の紹介という事で、物理学から始めましょう。物理学ではここまでに紹介した方法を広く使用しています。

Mathematical and theoretical physics has a very close relationship with pure maths.

数理物理学および理論物理学は、純粋数学との間に、非常に密接な関係があります

Mathematics is also used in the other natural sciences with mathematical chemistry and biomathematics

また数学は、数理化学と数理生物学のように、他の自然科学でも使われています。

which look at loads of stuff from modelling molecules to evolutionary biology.

それらの分野では、分子モデリングから進化生物学までの多くの課題について研究しています。

Mathematics is also used extensively in engineering, building things has taken a lot of maths since

数学は工学でも非常に広く使われています。ものづくりには多くの数学が利用されており

古代エジプトやバビロニアの時代から、すでに利用されていました。

Very complex electrical systems like aeroplanes or the power grid use methods in dynamical

飛行機や送電システムのような、非常に複雑な電気システムでは、

制御理論と呼ばれる力学系の手法を用いています。

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The Map of Mathematics

stuff

bunch

negative

consistent