a bunch of properties of limits.

極限の様々な特性を紹介します。

And we're not going to prove it rigorously here.

ここで厳密なことは証明しません。

In order to have the rigorous proof of these properties,

-これらの特性の厳密な証明には

we need a rigorous definition of what a limit is.

極限の厳密な定義が必要です。

And we're not doing that in this tutorial,

このビデオではなく、後に

we'll do that in the tutorial on the epsilon delta

イプシロン-デルタ定義に関するビデオで行います。

definition of limits.

ここで紹介する特性は、かなり直感的なものです。

But most of these should be fairly intuitive.

極限の問題を簡素化するため

And they are very helpful for simplifying limit problems

将来、便利な特性です。

in the future.

それではいくつかの関数の極限、

So let's say we know that the limit of some function

f(x) で、xがcに近づくと、L に等しいとしましょう。

f of x, as x approaches c, is equal to capital L.

そして

And let's say that we also know that the limit

他の関数 g(x)、 x がcにアプローチすると

of some other function, let's say g of x, as x approaches c,

Mに等しいです。

is equal to capital M.

それでは、

Now given that, what would be the limit of f

xがcにアプローチすると、f(x) ＋ g(x) は何でしょう？

of x plus g of x as x approaches c?

これを視覚的に見ることができます。

Well-- and you could look at this visually,

2 つの任意の関数のグラフを見ると

if you look at the graphs of two arbitrary functions,

本質的に、これら 2 つの機能を加算すると

you would essentially just add those two functions--

これと同じになることは明らかでしょう-

it'll be pretty clear that this is going to be equal to--

ここでは、厳格な証明を やっていません。

and once again, I'm not doing a rigorous proof,

このビデオでは、単に特性の紹介をします。

I'm just really giving you the properties here--

これは、xがcにアプローチ した f(x) の極限に

this is going to be the limit of f of x as x approaches c,

xがcにアプローチ した g(x) の極限の合計です。

plus the limit of g of x as x approaches c.

それは、これです。

Which is equal to, well this right over here

いいですか？

is-- let me do that in that same color--

これは、Lで、

this right here is just equal to L.

これは、Mで

It's going to be equal to L plus M. This right over here

L＋Mになります。

is equal to M.

これはしばしば加算の性質と呼ばれます

Not too difficult.

または極限の合計の性質です。

This is often called the sum rule, or the sum property,

非常に似たようなことで

of limits.

f(x)ー g(x) で、xがcのアプローチする際

And we could come up with a very similar one with differences.

これは、 Lー M になります。

The limit as x approaches c of f of x minus g of x,

xがcに近づくf(x) の極限から

is just going to be L minus M. It's just

xがcに近づく g(x) の極限を

the limit of f of x as x approaches

引くと、

c, minus the limit of g of x as x approaches c.

L ーMです。

So it's just going to be L minus M.

それは差の異質と呼ばれる

And we also often call it the difference

または極限の差の性質です。

rule, or the difference property, of limits.

これら

And these once again, are very, very, hopefully, reasonably

直感的です

intuitive.

関数の乗算を取る場合はどうなりますか。

Now what happens if you take the product of the functions?

xがcに近づくf(x) ＊g(x) の極限は何ですか？

The limit of f of x times g of x as x approaches c.

これも同じようにでき、

Well lucky for us, this is going to be

xがcのアプローチ する f(x)の極限に xがcにアプローチするg(x) の極限を掛けます。

equal to the limit of f of x as x approaches

これらは、直感的に理解できる性質です。

c, times the limit of g of x, as x approaches c.

だからこの場合は

Lucky for us, this is kind of a fairly intuitive property

L＊Mと同じです。

of limits.

いいですか？

So in this case, this is just going

L＊Mです。

to be equal to, this is L times M. This is just

同じことが、関数でなく定数を使用した際もいえます。

going to be L times M. Same thing,

極限のみを扱う場合

if instead of having a function here, we had a constant.

（同じ色を使います。）

So if we just had the limit-- let

k ＊ f(x) の極限で、

me do it in that same color-- the limit of k times

k は単なる定数です。

f of x, as x approaches c, where k is just some constant.

これは、k に掛ける

This is going to be the same thing as k times the limit

xがcに近づくf (x) の極限に等しく、

of f of x as x approaches c.

これは、

And that is just equal to L. So this whole thing

この全体のLに掛けるkと

simplifies to k times L.

等しく

And we can do the same thing with difference.

k＊Lです。

This is often called the constant multiple property.

差でも同じことを行うことができます-

We can do the same thing with differences.

これは、定数倍の性質です。

So if we have the limit as x approaches

差でも同じことを行うことができます

c of f of x divided by g of x.

x がcのアプローチするf（x）／g（x）の極限は

This is the exact same thing as the limit

x がcのアプローチするf（x）／g（x）の極限は

of f of x as x approaches c, divided

xがcにアプローチする f(x) の極限を

by the limit of g of x as x approaches c.

xがcにアプローチする g(x) の極限で

Which is going to be equal to-- I think you get it now--

割ると、同じです。

this is going to be equal to L over M.

いいですか？

And finally-- this is sometimes called the quotient property--

これは、L／ M に等しくなります。

finally we'll look at the exponent property.

そして最後に 指数の性質

So if I have the limit of-- let me

累乗の性質を見てみましょう

write it this way-- of f of x to some power.

ここで

And actually, let me even write it

ある関数の累乗

as a fractional power, to the r over s

ある関数の累乗

power, where both r and s are integers, then the limit of f

f(x) のある累乗が

of x to the r over s power as x approaches c,

あるとします。

is going to be the exact same thing as the limit of f

分数の指数で、

of x as x approaches c raised to the r over s power.

r／sとしましょう。

Once again, when r and s are both integers, and s

r と s の両方の整数が-

is not equal to 0.

f(x) ＾r ／s の

Otherwise this exponent would not make much sense.

xがc に近づくときの極限は

And this is the same thing as L to the r over s power.

xがcに近づく f(x) の緑源を

So this is equal to L to the r over s power.

r／s乗したのものと同じです。

So using these, we can actually find

ここでは、rと s 両方が整数です。

the limit of many, many, many things.

s が 0 では、ないと限ります。

And what's neat about it is the property of limits kind of

いいですか？

are the things that you would naturally want to do.

これは同じです。

And if you graph some of these functions,

これは、

it actually turns out to be quite intuitive.

L＾（r／s）と同じです。