yet again, because they make you go every single day.

というのも，大人達がそうするように しむけるからです．毎日，毎日．

And you're learning about, I don't know,

そしてあなたが習っているのは -- 何かわかりませんが．

the sums of infinite series.

無限級数の和でしょうか．

That's a high school topic, right?

これは高校のトピックです，そうでしょう?

Which is odd, because it's a cool topic.

これはちょっと変です． なぜならこれはクールなトピックだからです．

But they somehow manage to ruin it anyway.

しかしともかく大人達はどうにかして これを台無しにすることに成功します．

So I guess that's why they allow infinite serieses

だから多分,無限級数についての話がカリキュラムに 入ることを許されたのでしょう．

in the curriculum.

よくわかる理由からあなたには気晴らしが必要なので，

So, in a quite understandable need for distraction,

ノートにいたずら書きをしながら

you're doodling and thinking more

今の授業のトピックよりも，

about what the plural of series should

級数(series)の複数形は何だろうかと考えたりします．

be than about the topic at hand.

"Serieses," "seriese," "seriesen," それとも "serii?"

Serieses, serises, seriesen, seri?

それともこの単語には単数形しかなくて変化しない?

Or is it that the singular should be changed?

1つの "serie," それとも "serus," あるいは "serum?"

One serie, or seris, or serum?

これではまるで "sheep(羊)" の単数が "shoop" でなくてはいけないみたいです．

Just like the singular of sheep should be shoop.

しかし 1/2 +1/4 +1/8 +1/16 が続いていくとそれが

But the whole concept of things like 1/2

1 に近づくというような考え全体は

plus 1/4 plus 1/8 plus 1/16, and so on approaches 1

象が一列になっている様子を書くのにとても便利です．

is useful if, say, you want to draw a line of elephants, each

それぞれの象は次の象のしっぽをつかんでいます．

holding the tail of the next one.

普通の象，若い象，

Normal elephant, young elephant, baby elephant,

ベイビー象，犬サイズの象，子犬サイズの象．．．

dog-sized elephant, puppy-sized elephant,

ミスター・タスクス(訳注:あるコミックの登場者)さん， そしてさらにもっと．．．

all the way down to Mr. Tusks, and beyond.

これは少なくともちょっとは素敵です．

Which is at least a tiny bit awesome

それはこの線の上には，無限の数の象がいて，

because you can get an infinite number of elephants in a line

それでもこのノートの1ページに おさまっているからです．

and still have it fit across a single notebook page.

しかしこの場合には質問があるでしょう．たとえば，

But there's questions, like what if you started

「もし『らくだ』だったらどうなんでしょう． そのらくだが

with a camel, which, being smaller than an elephant,

象よりも小さかったら，

only goes across a third of the page.

ページの1/3位しかいかないでしょうか?」

How big should the next camel be in order

ページの端までいくには，

to properly approach the end of the page?

次のらくだはどのくらい大きくなくては いけないでしょうか?

Certainly you could calculate an answer to this question,

もちろんあなたはこの質問の答えを 計算することができます．

and it's cool that that's possible.

それが計算できるというのはクールですね．

But I'm not really interested in doing calculations.

でも実は私はそんなに計算することに 興味があるわけではありません．

So we'll come back to camels.

らくだに戻りましょう．

Here's a fractal.

これはフラクタルです．

You start with these circles in a circle,

ここにある円からはじめます．

and then keep drawing the biggest circle that

円の中に，

fits in the spaces between.

大きい円を書き続けます．

This is called an Apollonian Gasket.

それはこの間の空間にはまります．

And you can choose a different starting set of circles,

これは「アポロニウスのガスケット」と言います．

and it still works nicely.

違う円から始めることもできます．

It's well known in some circles because it

それでもやっぱり上手くいきます．

has some very interesting properties involving

これはある種の人々にはよく知られています．

the relative curvature of the circles, which is neat,

というのも，円の相対曲率などの，

and all.

それはなかなかすてきなものですが，

But it also looks cool and suggests an awesome doodle

とても面白い性質があるからです．

game.

しかしまた，見た目もクールですし，

Step 1, draw any shape.

すごいいたずら書きゲームができます．

Step 2, draw the biggest circle you can within this shape.

ステップ1:

Step 3, draw the biggest circle you can in the space left.

何でもいいので形を描きます．

Step 4, see step 3.

ステップ2:

As long as there is space left over after the first circle,

その形の中に描ける最大の円を描きます．

meaning don't start with a circle,

ステップ3:

this method turns any shape into a fractal.

形の中に残った所に描ける

You can do this with triangles.

最大の円を描きます．

You can do this with stars.

ステップ4:

And don't forget to embellish.

ステップ3に戻ります．

You can do this with elephants, or snakes, or a profile of one

最初の円を描いた後に残ったスペースがある限り，

of your friends.

つまり，円で始めなくても，

I choose Abraham Lincoln.

この方法はどんな形でもフラクタルにしてしまいます．

Awesome.

これを3角形ですることもできます．

OK, but what about other shapes besides circles?

星でもできます．飾りつけを忘れずに!

For example, equilateral triangles, say,

象でもできます．蛇でも，

filling this other triangle, which works because the filler

あなたの友達の横顔でもできます．

triangles are the opposite orientation to the outside

私はアブラハム・リンカーンにしました!

triangles, and orientation matters.

これはすごい．

This yields our friend, Sierpinski's triangle,

OK, しかし円以外の他の形ではどうなんでしょうか．

which, by the way, you can also make out of Abraham Lincoln.

たとえば，正3角形は?

But triangles seem to work beautifully in this case.

これで他の3角形を埋めます．これは上手くいきます．

But that's a special case.

というのも埋めている3角形は，外側の3角形の

And the problem with triangles is

逆方向を向いているからです． (そして方向は重要です．)

that they don't always fit snugly.

これは私達の友人「シェルピンスキーの3角形」です．

For example, with this blobby shape,

ところで，それはアブラハム・リンカーンでも できます．

the biggest equilateral triangle has this lonely hanging corner.

しかし3角形はこの場合美しくおさまります．

And sure, you don't have to let that stop you,

しかし特別な場合があります．

and it's a fun doodle game.

そしてそれが3角形では問題です．

But I think it lacks some of the beauty of the circle game.

3角形はいつも気持ちよくおさまるわけではありません．

Or what if you could change the orientation of the triangle

たとえば，この泡のような形では，

to get the biggest possible one?

最大の正3角形にはこの寂しい離れた角があります．

What if you didn't have to keep it equilateral?

そしてもちろん，これでこの楽しい落書きゲーム

Well, for polygonal shapes, the game

をやめる必要はありません．

runs out pretty quickly, so that's no good.

しかしこの場合には円でのゲームにあった美しさが 何か欠けている気がします．

But in curvy, complicated shapes, the process

または，最大のものを描くために，3角形の方向を

itself becomes difficult.

変更することができたらどうでしょうか?

How do you find the biggest triangle?

あるいは，もう正3角形に限らないことに したらどうでしょうか?

It's not always obvious which triangle has more area,

そうですね．多角形の場合，

especially when you're starting shape is not very well defined.

このゲームはとても早く終わってしまいます． ですからあまり良くありません．

This is an interesting sort of question

しかし曲がった，複雑な形の時，

because there is a correct answer,

このプロセスそのものが難しくなります．

but if you were going to write a computer program that

どうやったら一番大きな3角形を みつけられるでしょうか?

filled a given shape with another shape,

どの3角形が一番面積が大きいのかは そんなに明らかではありません．

following even the simpler version of the rules,

特に形がよく定義されていないような 形から始める場合はそうです．

you might need to learn some computational geometry.

これはある意味興味ある質問です．

And certainly, we can move beyond triangles

なぜなら正しい答えが「ある」からです．

to squares, or even elephants.

しかしもしあなたが与えられた形で 他の形を埋めるような

But the circle is great because it's just

コンピュータのプログラムを書く時には，

so fantastically round.

たとえ簡単なバージョンのルールに従う時でも

Oh, just a quick little side doodle challenge.

何か計算機科学を勉強する必要があるでしょう．

A circle can be defined by three points.

あなたが3角形や4角形を越えて，

So draw three, arbitrary points, and then try

あるいは象を越えていくことに 私は確信を持っています．

and find the circle they belong to.

しかし円はすばらしいです．なぜなら，

So one of the things that intrigues me about the circle

それは単にすばらしく丸いからです．

game is that, whenever you have one of these sorts of corners,

では，ちょっとした脇道のだらだらチャレンジです:

you know there's going to be an infinite number of circles

円は3点から定義できます．

heading down into it.

では3つの任意の点を描いて，そして

Thing is, for every one of those infinite circles,

それを通る円をみつけましょう．

you create a few more little corners

さて，円のゲームで私が面白いと思うのは，

that are going to need an infinite number of circles.

このような「コーナー」のようなものがある時です．

And for every one of those, and so on.

こういうものがあると，

You just get an incredible number

無限の円がその先にできることがわかるでしょう．

of circles breeding more circles.

つまり，これらの無限の円のそれぞれに対して，

And you can see just how dense infinity can be.

さらに小さなコーナーが作られます．

Though the astounding thing is that this kind of infinity

それらは皆無限の円が必要になります．

is still the smallest, countable kind of infinity.

そしてまたこれらの全てに．．．と続きます．

And there are kinds of infinity that are just mind bogglingly

信じられない数の円がさらに円を 生むことがわかるでしょう．

infiniter.

そしてあなたはいかに無限が密なのかを 見ることができるでしょう．

But wait, here's an interesting thing.

それでも，驚異的なことはこのような無限が，

If you call this distance 1 arbitrary length unit, then

一番小さな可算無限でしかないということです． そして，

this distance plus this, dot, dot, dot,

もっと度肝を抜くようなさらに 無限の無限があることです．

is an infinite series that approaches 1.

しかしちょっと待って，ここに興味深いことがあります:

And this is another, different, series that still approaches 1.

もしあなたがこの距離 を「ある任意の単位長さ」 とするとしたら，

And here's another, and another.

この距離たす「これ」点点点．．．

And as long as the outside shape is well defined,

は「1」に近づく無限数列です．

so will the series be.

そしてここには他の，それもまた1に近づく 違った数列があります．

But if you want the simple kind of series, where each circle's

そしてここにも，ここにも．

diameter is a certain percentage of the one before it,

外側の形さえちゃんと定義されていれば，

you get straight lines.

その数列も同様にちゃんと定義されます．

Which makes sense if you know how

しかしもし「簡単な」種類の数列が欲しければ，

the slope of a straight line is defined.

それぞれの円の直径が

This is good because it suggests a wonderful, mathematical,

前の円のあるパーセンテージのものを 使うことができます．

and doodle-able way to solve our camel problem,

するとそれは直線になります． もしあなたが直線の傾きが

with no calculations necessary.

どう定義されているかを知っていれば， それは当然ですね．

If instead of camels, we had circles,

これはいいです．なぜならそれは「素敵」で，

we could make the right infinite series

数学的で，計算せずに，だらだら書きの方法で

just by drawing an angle that ends where the page does

らくだの問題を解く方法を示唆しているからです．

and filling it up.

らくだの代わりに，円があります．

Replace circles with camels and, voila,

右に無限の数列を単に角を書くことで 作ることができます．

infinite Saharan caravan fading into the distance.

それはこのページの端で終わります． そしてその中を埋めましょう．

No numbers necessary.

円をらくだで置きかえれば，ほら!

Well, I have an infinite amount of information

無限のサハラキャラバン，

I'd like to share with you in this last sentence.

はるか彼方に消えていく，

[VOICE SPEEDS UP]

数を全然使う必要がありません!