Hey Henry,

Hey Henry。

A while ago you did a video... called "What if the Earth were Hollow?" where you showed

少し前に、「もしも地球が空洞だったら」というビデオを作りました。

how long it would take to fall through the earth. I was simply wondering how that was

どのくらいの時間で地球を突き抜けるのか。私は単純にそれがどうなのかと思っていました

even calculated since the force of gravity would constantly be changing due to the growing

の増加により、重力が常に変化するため、計算ですらできません。

amount of mass above you.

の量は、自分の上にある質量の量です。

Peter

ピーター

Ok, so we've got a hole through the earth, and it goes from the north pole to the south

地球に穴が開いていて、それは北極から南極まで続いています。

pole – that way we don't have to worry about the Coriolis effect from the earth's spinning.

そのため、地球の自転によるコリオリ効果を気にする必要がないのです。

There's also no air in the hole, otherwise you'd reach terminal velocity pretty quickly

また、穴の中には空気が入っていないので、そうでなければすぐに終端速度に達してしまう。

and your trip would be slow and boring. There are a few different ways to figure out how

そして、あなたの旅はゆっくりとしていて退屈なものになるでしょう。を把握するには、いくつかの方法があります。

long it'll take for you to reach the other side.

あの世にたどり着くまでの時間。

One is to jump in, but it'll be faster – and probably a greater chance of survival – if

飛び込むのも一つの方法ですが、より早く、そしておそらくより多くの生存率を得るためには

we calculate using math & physics.

私たちは、数学や物理学を使って計算します。

First, more simplifications: assume the earth is perfectly spherical and has the same density

まず、もっと単純化すると、地球が完全な球体で、同じ密度を持っていると仮定すると

everywhere. It turns out that the gravitational attraction from any spherically symmetric

をどこでも見ることができます。その結果、球対称の任意の場所からの引力が

object is the same as if all its mass were concentrated at the center of that object

は、その物体のすべての質量がその物体の中心に集中しているのと同じです。

– the closer parts attract more than average, the far away parts attract less, but over

- 近いところは平均以上に惹きつけられ、遠いところはあまり惹きつけられませんが、オーバー

the whole sphere it averages out. In a similar vein, if you're _inside_ a spherical shell,

球体全体では平均化されてしまいます。同様に、球体の殻の_内側にいる場合は

then the gravitational pulls from all the different parts cancel out and you experience

そうすると、それぞれのパーツの重力が相殺されて、あなたは

zero effect from the shell.

シェルの効果はゼロ。

This means that, inside the earth, any parts that are farther away from the center than

これは、地球の内部では、中心からの距離が

you are cancel out and have no effect – almost like they've been trimmed off and you're temporarily

あなたは打ち消され、何の効果もありません。まるで切り落とされたかのように、あなたは一時的に

on the surface of a smaller, shaved earth. Since we assumed the same density everywhere,

削られて小さくなった地球の表面ではどこも同じ密度だと仮定したので

the shaved-earth's mass is simply proportional to its volume, which is proportional to its

削り出した地球の質量は、単純に体積に比例し、それは、その

radius cubed. And because it's a sphere we get to pretend all that mass is actually concentrated

の半径を3乗したものです。球体だからこそ、すべての質量が実際に集中しているように見せかけることができるのです。

at a single point in the middle.

真ん中の一点で

So how much does the shaved-earth-point pull on you? Well, the gravitational attraction

では、削られた地球の点はどのくらい引っ張られるのでしょうか？さて、重力による引力は

between two objects is proportional to their masses but inversely proportional to the distance

2つの物体の間の距離は、その質量に比例するが、反比例する。

between them, squared, so we have to divide the mass of the shaved-earth by the square

の間を2乗したものなので、削り節の質量を2乗で割る必要があります。

of the distance you are from the center – which is just the radius of the shaved earth. R

を中心からの距離で表したもので、ちょうど削った地球の半径にあたります。R

cubed divided by r squared is r, so the force on you is simply F equals some constant stuff

を3乗したものをrで割ったものがrなので、あなたにかかる力は単純にFとある一定のものを足したものになります。

times r, your distance from the center.

に、センターからの距離であるrをかけたものです。

Essentially, as you fall the mass beneath you decreases, while the **average gravitational

基本的には、落下すると下にある質量は減少しますが、 **平均重力

pull on you** from any bit of that mass increases, but the mass decreases **more than the average

その質量のどの部分からも引っ張られる力**は増加しますが、質量は平均よりも**減少します。

pull** of gravity increases.

重力の引力**が大きくなります。

So as you approach the earth's center, you go faster and faster but the force pulling

そのため、地球の中心に近づくと、どんどんスピードが上がりますが、引っ張る力は

you towards the middle gets smaller and smaller. Exactly in the middle you experience zero

真ん中に向かってだんだん小さくなっていきます。まさに真ん中では、あなたの経験はゼロ

net force because the earth is pulling you equally in all directions, though since you're

地球がすべての方向に均等に引っ張っているので、正味の力はありません。

going so fast you'll continue to speed towards the other side, gradually slowed by the now

速く走ると、向こう側に向かってスピードが上がり続け、だんだんと減速していきます。

increasing force pulling you back towards the middle. F equals some constant stuff times

中央に向かって引き戻される力の増加。Fはある一定のものの時間に等しい

distance.

の距離になります。

The exact same equation – some constant stuff times a distance – also describes

ある一定のものに距離をかけた全く同じ式でも

a mass on a spring, or simple pendulum, or a cat in a parabola. And from studying _those_

ばねの上の質量、単純な振り子、放物線上の猫などです。そして、それらの研究から

equations we know that **the time taken by the moving object – whatever it is –

の方程式は、「動く物体がかかった時間は、それが何であれ

to go from** one side to the other has a simple formula: pi times the square root of the mass

一方の側から他方の側に行くためには、単純な公式があります：π×質量の平方根

divided by the "constant stuff". In the case of falling through the earth, your mass cancels

を「一定のもの」で割ったものです。地球を通過して落下する場合、あなたの質量は相殺されて

out of the equation so we just need to put in numbers for the density of the earth and

式から外れてしまうので、地球の密度を数字で入れて

the gravitational constant to get the answer - 42 minutes to fall through the earth.

を重力定数として計算すると、地球を通過するのに42分という答えが得られます。

This turns out to be exactly the same as the time it takes to fall _around_ the earth to

これは、地球を一周するのにかかる時間とまったく同じであることがわかりました。

the other side, and it's the number you'll find commonly mentioned on the internet. Even

逆に、インターネットでよく見かける数字でもあります。でも

more surprising, the radius of the earth didn't factor into the time calculation – it predicts

さらに驚いたことに、地球の半径は時間の計算に含まれていませんでした。

you'll take 42 minutes to fall through or orbit around to the other side of ANY sphere

球体の反対側に落ちたり、周回したりするのに42分かかります。

with the same density as the earth.

地球と同じ密度の

But the earth isn't exactly the same density throughout – we know from seismology that

しかし、地球は全体的に同じ密度ではなく、地震学的には

the earth's core is much denser than its mantle and crust. So as you begin to fall, most of

地球のコアは、マントルや地殻よりもはるかに密度が高いのです。そのため、落下し始めると、ほとんどの

the mass is still below you, pulling, so the pull of gravity doesn't decrease as much as

のように、質量がまだ下にあり、引っ張られているので、重力の引力はそれほど減少しません。

our simple model predicted. In fact, the force is actually pretty constant until about halfway

私たちの単純なモデルが予測していた通りです。実際には、半分くらいまでは力はほぼ一定です。

to the center, at which point it starts quickly decreasing as more and more of the earth is

この時点で、地球のより多くの部分が中心に向かっているため、急激に減少し始めます。

"above" you.

"あなたの「上」に。

The calculations here are a bit more annoying because we have to piece together two different

ここでの計算は、2つの異なった

parts – the falling with constant acceleration part, which is easy, and the falling with

パーツは、簡単な「一定の加速度で落下するパーツ」と、「一定の加速度で落下するパーツ」です。

decreasing gravity proportional to your radius part, which is the same thing we did before,

半径部分に比例して重力を減少させることは、以前にやったことと同じです。

except now you're starting out halfway to the middle of the earth with a speed of 17

ただし、今は地球の真ん中に向かって半分の速度17でスタートしています。

thousand miles per hour, instead of on the surface with no speed. Once our mathemagical

速度のない表面ではなく、時速1000マイルである。一度私たちの数学的な

dust settles, we combine the two parts and multiply by two to get the total time back

塵も積もれば山となるで、2つの部分を合わせて2倍すると、トータルの時間が戻ってきます。

to the surface on the other side: 37 minutes.

反対側の表面までの時間は37分。

Of course, this is still just an approximation – slightly more realistic than before, but

もちろん、これはまだ近似値に過ぎず、以前よりも若干現実的になっていますが

far from perfect. If you carefully piece together the time for a falling-through-the-earth trip

完ぺきではありません。地球を突き抜けた旅の時間を丁寧につなぎ合わせると

based on a more detailed density profile of the earth, like maybe the Preliminary Reference

地球のより詳細な密度プロファイルに基づいて、たぶん予備調査のような

Earth Model, you can can be even more precise – 38 minutes and 6 seconds from pole to

地球モデルでは、さらに正確にポールからポールまで38分6秒とすることができます。

pole.

のポールを使用しています。

But either way, if instead of calculating you jumped into the hole at the start of this

しかし、どちらにしても、計算するのではなく、この冒頭の穴に飛び込んだとしたら

video, you still have a long ways to go before reaching the other side of the earth. Safe travels!

の映像を見ると、地球の裏側にたどり着くまでには、まだまだ長い道のりがありそうですね。安全な旅を!