does the little preposition 'on' make?  

は、前置詞の「上」がどうなっているのでしょうか？

Quite a lot! Let's have a look together.

かなりの数！一緒に見てみましょう。

'My own' or 'your own' after a verb means that  

動詞の後に「私のもの」や「あなたのもの」があるということは

we 'do something to or for ourselves'

己のために

instead of somebody else 'doing it to or for us'.

誰かが「私たちのために」やってくれるのではなく。

'I like the idea of growing my own vegetables.'

"自分で野菜を育てるのが好き

'Have you ever cut your own hair?'

自分の髪を切ったことは？

Obviously, you can change 'my' or 'your'

明らかに、'私の'または'あなたの'を変更することができます。

for any other possessive adjective.

他の所有格の形容詞の場合は

'On my own' or 'on your own' means exactly the same as 'alone'.

'On my own'や'on your own'は「一人で」と全く同じ意味です。

'I don't think I could live on my own.'

"一人では生きていけないと思う

'Have you ever been on holiday on your own?'

"一人で休暇を取ったことがあるのか？

Again, you can change 'my' or 'your' for any other possessive adjective.

ここでも、'my'や'your'を他の所有格の形容詞に変えることができます。

In these cases, you could also say 'by myself' or 'by yourself'

このような場合は、「自分で」「自分で」と言うこともできます。

using the reflexive pronoun with exactly the same meaning!

ぴょんぴょん

'Have you ever cut your own hair?'

自分の髪を切ったことは？