are out strolling when they're caught by a fox.

一匹のキツネに出くわしました

Seeing how happy they are, he decides that,

二人がいかにも仲良しに見えたので

instead of simply eating them,

いきなり食べてしまうのではなく

he'll put their friendship to the test with a cruel dilemma.

ジレンマ (板挟み) の状況を作り 二人の友情を試すことにしました

He'll ask each gingerbread man whether he'd opt to Spare or Sacrifice the other.

そこで 一人ずつに 二人のうち どちらを犠牲にするか聞きました

They can discuss,

二人は 話し合うことはできても

but neither will know what the other chose until their decisions are locked in.

相手の選択を 最後まで知ることはできません

If both choose to spare the other, the fox will eat just one of each of their limbs;

キツネは 両方が 自分の犠牲を選べば 二人とも手か足を１本ずつ食べ

if one chooses to spare while the other sacrifices,

片方が自分の犠牲を選び もう片方が相手の犠牲を選んだら

the sparer will be fully eaten,

自分の犠牲を選んだ方を丸ごと食べ

while the traitor will run away with all his limbs intact.

相手の犠牲を選んだ方は 逃がしてやろうと思いました

Finally, if both choose to sacrifice, the fox will eat 3 limbs from each.

そして 両方とも相手の犠牲を選べば 二人から手足を３本ずつ食べるつもりでした

In game theory, this scenario is called the “Prisoner's Dilemma.”

ゲーム理論では これを 「囚人のジレンマ」と呼んでいます

To figure out how these gingerbread men will act in their perfect rationality,

二人のクッキーが 合理的な判断のもと どう行動するかを分析するために

we can map the outcomes of each decision.

それぞれの選択を表にまとめてみましょう

The rows represent Crispy's choices, and the columns are Chewy's.

横列はクリスピーの選択 縦列はチューイの選択です

Meanwhile, the numbers in each cell

各セルに

represent the outcomes of their decisions,

選択によって残る手足の数が 書かれています

as measured in the number of limbs each would keep:

選択によって残る手足の数が 書かれています

So do we expect their friendship to last the game?

はたして 二人の友情は続くのでしょうか？

First, let's consider Chewy's options.

まず チューイの選択を見てみましょう

If Crispy spares him, Chewy can run away scot-free by sacrificing Crispy.

二人とも クリスピーの犠牲を選択すれば チューイは４本無傷で逃げることができます

But if Crispy sacrifices him,

クリスピーもチューイも

Chewy can keep one of his limbs if he also sacrifices Crispy.

相手の犠牲を選択すれば 手足は1本だけ残ります

No matter what Crispy decides,

つまり クリスピーがどっちを選択しても

Chewy always experiences the best outcome by choosing to sacrifice his companion.

クリスピーの犠牲を選択すれば チューイに最善の結果となるわけです

The same is true for Crispy.

クリスピーの場合も同じです

This is the standard conclusion of the Prisoner's Dilemma:

このように「囚人のジレンマ」は

the two characters will betray one another.

お互いを裏切るのが 標準的な結末です

Their strategy to unconditionally sacrifice their companion

迷わず相手を犠牲にするこの状況を

is what game theorists call the “Nash Equilibrium,"

ゲーム理論家は 「ナッシュ均衡」と呼びます

meaning that neither can gain by deviating from it.

この均衡が崩れると どちらにも得ではありません

Crispy and Chewy act accordingly

二人とも自己に合理的な選択をした結果

and the smug fox runs off with a belly full of gingerbread,

卑劣なキツネは クッキーで満腹

leaving the two former friends with just one leg to stand on.

残されるのは　 手足1本ずつの 元親友どうしです

Normally, this is where the story would end,

通常 お話はここで終わるのですが

but a wizard happened to be watching the whole mess unfold.

たまたま一人の魔法使いが この騒ぎを 一部始終見ていました

He tells Crispy and Chewy that, as punishment for betraying each other,

そして 二人にお互いを裏切った罰として

they're doomed to repeat this dilemma for the rest of their lives,

一生 ジレンマを繰り返す 魔法をかけました

starting with all four limbs at each sunrise.

毎朝 日の出とともに ４本の手足がそろい １日が始まります

Now what happens?

さて 何が起こるでしょうか？

This is called an Infinite Prisoner's Dilemma, and it's a literal game changer.

これは「繰り返し囚人のジレンマ」と言い 全く逆の結末を迎えます

That's because the gingerbread men can now use their future decisions

なぜなら 未来の選択を

as bargaining chips for the present ones.

交渉の切り札として 利用することができるからです

Consider this strategy: both agree to spare each other every day.

例えば 二人で毎日 自分を犠牲にしようと決めたのに

If one ever chooses to sacrifice,

一人が裏切って 相手の犠牲を選択したら

the other will retaliate by choosing “sacrifice” for the rest of eternity.

もう一人は 翌日から永遠に 裏切り返してくるでしょう

So is that enough to get these poor sentient baked goods

では このかわいそうな二人が 協力するよう

to agree to cooperate?

言い聞かせるだけで十分でしょうか

To figure that out, we have to factor in another consideration:

この答えを出すために 違う角度から考える必要があります

the gingerbread men probably care about the future

二人はおそらく 今

less than they care about the present.

未来のことより 今日の心配だけしているはずです

In other words, they might discount

少し難しく言えば

how much they care about their future limbs by some number,

未来の心配は ある数値の分 減って行くはずです

which we'll call delta.

その数値は δ (デルタ) と言います

This is similar to the idea of inflation eroding the value of money.

これはお金の価値を損なわせる インフレの概念に似ています

If delta is one half,

例えば δ が２分の１の場合

on day one they care about day 2 limbs half as much as day 1 limbs,

初日の選択時の 手足の数の心配量は ２日目が１日目の半分

day 3 limbs 1 quarter as much as day 1 limbs, and so on.

３日目が１日目の４分の１です

A delta of 0 means that they don't care about their future limbs at all,

δ が０の場合 未来のことを心配していないことを意味し

so they'll repeat their initial choice of mutual sacrifice endlessly.

二人は 永遠に相手の犠牲を— つまり 最初の選択を繰り返します

But as delta approaches 1, they'll do anything possible

δ が１の場合は 毎日 ３本の手足を失わないように

to avoid the pain of infinite triple limb consumption,

苦渋の選択でもするでしょう

which means they'll choose to spare each other.

つまり 自分の犠牲を選択するのです

At some point in between they could go either way.

ある特定の時点を境に 二人にとって 得か損かに分かれます

We can find out where that point is

どの時点かは

by writing the infinite series that represents each strategy,

それぞれのケースの計算式を 書き出すことでわかります

setting them equal to each other, and solving for delta.

二人の利得を等しくし δ の数値を求めます

That yields 1/3, meaning that as long as Crispy and Chewy care about tomorrow

答えは δ が３分の１— つまり

at least 1/3 as much as today,

二人の翌日の心配量が 今日の時点で 少なくとも３分の１あれば

it's optimal for them to spare and cooperate forever.

互いに協力し 自分の犠牲を選び続けるという 最善策をとるのです

This analysis isn't unique to cookies and wizards;

この分析は クッキーと魔法使いの話に限りません

we see it play out in real-life situations

通商交渉や 国際政治などの現場でも

like trade negotiations and international politics.

よくあることです

Rational leaders must assume that the decisions they make today

理性ある指導者なら 自らの決定が 敵陣の決定に影響を与えることを

will impact those of their adversaries tomorrow.

想定しておかなければなりません

Selfishness may win out in the short-term, but with the proper incentives,

利己的行動は 適切なインセンティブがあれば 短期的には得かもしれませんが

peaceful cooperation is not only possible, but demonstrably and mathematically ideal.

平和的協力は 単に可能であるだけでなく 論証的にも数学的にも最善なのです

As for the gingerbread men, their eternity may be pretty crumby,

二人のクッキーの友情は 時に崩れることもあるでしょう

but so long as they go out on a limb,

しかし １本の手足で生きる決意があれば

their friendship will never again be half-baked.

簡単に粉々になることはないでしょう