And why is it so important in mathematics?

そして、なぜそれが数学において重要なのでしょう？

Proofs provide a solid foundation for mathematicians, logicians, statisticians, economists, architects, engineers, and many others to build and test their theories on.

証明は、数学者、論理学者、統計学者、経済学者、建築家、エンジニア、その他多くの人々が理論を構築し、検証するための強固な基盤を提供するものです。

And they're just plain awesome!

そして、シンプルにすごいんです！

Let me start at the beginning.

まずは最初から始めましょう。

I'll introduce you to a fellow named Euclid, as in, "Here's looking at you, Clid."

ユークリッドという人を紹介します。「君の瞳に乾杯,　クリッド」という感じで。

He lived in Greece about 2,300 years ago, and he's considered by many to be the father of geometry.

彼は約2300年前にギリシャに住んでおり、多くの人が幾何学の父とみなしています。

So, if you've been wondering where to send your geometry fan mail, Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

幾何学のファンレターをどこに送ろうかと迷っているなら、アレクサンドリアのユークリッドが証明の礼を言うべき人物です。

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics, but he revolutionized the way in which it is written, presented, and thought about.

ユークリッドは多くの数学を発明・発見したわけではなく、数学の記述・表現・考察の方法に革命をもたらしました。

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

ユークリッドは、ゲームのルールを確立することで、数学の形式化に着手しました。

These rules of the game are called axioms.

このゲームのルールは公理と呼ばれます。

Once you have the rules, Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

ユークリッドは、一度ルールが与えられたら、それを使って自分が正しいと思うことを証明しなければならないと言っています。

If you can't, then your theorem or idea might be false.

もしできないなら、その定理やアイデアは間違っているかもしれません。

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it might be false, too.

そして、もしあなたの定理が間違いであれば、その定理を使った後の定理も間違いである可能性があります。

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

梁の位置を一つ間違えると、家全体が倒れるようなものです。

So, that's all that proofs are:

これが証明というものです。

Using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

ある定理が正しいことを、確立されたルールを使って疑いなく証明すること。

Then, you use those theorems like blocks to build mathematics.

そして、その定理をブロックのように使って、数学を構築していくのです。

Let's check out an example.

例を見てみましょう。

Say I want to prove that these two triangles are the same size and shape.

この2つの三角形が同じ大きさ、同じ形であることを証明したいとします。

In other words, they are congruent.

つまり、両者は合同であるということです。

Well, one way to do that is to write a proof that shows that all three sides of one triangle are congruent to all three sides of the other triangle.

そのためには、ある三角形の3辺がもう一方の三角形の3辺と合同であることを示す証明を書けばいいのです。

So, how do we prove it?

では、どのように証明するのでしょうか？

First, I'll write down what we know.

まず、わかっていることを書きます。

We know that point M is the midpoint of AB.

点MはABの中点であることがわかっています。

We also know that sides AC and BC are already congruent.

また、辺ACと辺BCはすでに合同であることも分かっています。

Now, let's see, what does the midpoint tell us?

さて、それでは、中点は何を教えてくれるのでしょうか？

Luckily, I know the definition of midpoint.

幸いなことに、私は中点の定義を知っています。

It is basically the point in the middle.

中点は基本的には真ん中にある点です。

What this means is that AM and BM are the same length, since M is the exact middle of AB.

これはどういうことかというと、MはABのちょうど真ん中なので、AMとBMは同じ長さであるということです。

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

つまり、それぞれの三角形の底辺は合同です。

I'll put that as step two.

それをステップ2とします。

Great! So far, I have two pairs of sides that are congruent.

いいですね！ここまでで、合同である2組の辺ができました。

The last one is easy.

最後は簡単です。

The third side of the left triangle is CM, and the third side of the right triangle is, well, also CM.

左の三角形の3番目の辺はCMで、右の三角形の3番目の辺もCMです。

They share the same side; of course it's congruent to itself!

同じ辺を共有しているので、もちろん合同です!

This is called the reflexive property⏤everything is congruent to itself.

これを反射的性質といいます、すべては自分自身と合同です。

I'll put this as step three.

これをステップ3とします。

Ta-da! You've just proven that all three sides of the left triangle are congruent to all three sides of the right triangle.

ジャーン! 左の三角形の3辺はすべて、右の三角形の3辺と合同であることが証明されました。

Plus, the two triangles are congruent because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

さらに、三角形の三辺の合同定理により、2つの三角形は合同です。

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

証明が終わったら、ユークリッドがしたように、私もやってみたいことがあります。

He marked the end of a proof with the letters QED.

彼は、証明の最後にQED (証明終了) の文字で印をつけました。

It's Latin for "quod erat demonstrandum", which translates literally to "what was to be proven".

これはラテン語で「quod erat demonstrandum」、直訳すると「証明されるべきもの」という意味です。

But I just think of it as "look what I just did!"

でも私は「見て、私がやったんだぞ」と思うだけなんですが。

I can hear what you're thinking,

あなたの気持ちはわかります。

"Why should I study proofs?"

「なんで証明を勉強しなくちゃいけないの？」

One reason is that they could allow you to win any argument.

その理由のひとつは、どんな議論にも勝てるようになる可能性があるからです。

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time used to keep a copy of Euclid's "Elements" on his bedside table to keep his mind in shape.

米国の偉大なリーダー、リンカーンは、ユークリッドの本『元素』を枕元に置いて、頭の回転をよくしていたそうです。

Another reason is, you can make a million dollars.

もう一つの理由は、100万ドルを稼ぐことができるからです。

You heard me, one million dollars.

聞きましたか、100万ドルです。

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories that it calls "the millennium problems".

これは、マサチューセッツのクレイ数学研究所が「ミレニアム問題」と呼ぶ、多くの証明されていない理論の一つを証明した者に支払う対価です。

A couple of these have been solved in the '90s and 2000s.

90年代から2000年代にかけて、そのうちのいくつかが解決しています。

But beyond money and arguments, proofs are everywhere.

しかし、お金や議論を超えて、証明はいたるところで使われます。

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

証明は建築、アート、コンピュータ・プログラミング、インターネット・セキュリティなどを支えています。

If no one understood or could generate a proof, we could not advance these essential parts of our world.

もし、誰も理解できなかったり、証明を生成できない場合、この世界の本質的な部分を前進させることはできません。

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

そして最後に、私たちは「論より証拠」という言葉を理解しています。

And pudding is delicious. QED.

そして、プリンはおいしいです。証明終了。