We asked everyone: given a range of integers from 0 to 100, guess the whole number closest to ⅔ of the average of all numbers guessed.

0から100までの整数を1つ思い浮かべてください。1人1人が選んだ整数を平均し、その値の2/3に最も近い整数は何でしょうか。

So if the average of all guesses is 60, the correct guess will be 40.

つまり、全員が思い浮かべた整数の平均値が60だとすれば、このゲームの正しい解答は40となります。

What number do you think was the correct guess at ⅔ of the average?

平均値の2/3を予想するわけですが、答えは何だと思いますか？

Let's see if we can try and reason our way to the answer.

論理的に答えを導き出せるか、挑戦してみましょう。

This game is played under conditions known to game theorists as common knowledge.

このゲームは、ゲーム理論家の間では一般常識として知られている条件の下、行われています。

Not only does every player have the same information, they also know that everyone else does, and that everyone else knows that everyone else does, and so on, infinitely.

1人1人が同じ情報を持っており、さらに、皆が同じ情報を持っているとことを知っています。そしてその皆が、全員同じ情報を持っていることを知っている、というループが無限に続くのです。

Now, the highest possible average would occur if every person guessed 100.

最大の平均値は、全員が100を思い浮かべた場合です。

In that case, ⅔ of the average would be 66.66.

その場合、平均値の2/3は66.66ですね。

Since everyone can figure this out, it wouldn't make sense to guess anything higher than 67.

これは誰にとっても明らかですね。そのため、67より大きい数字を解答とするのは、非論理的です。

If everyone playing comes to this same conclusion, no one will guess higher than 67.

全員がこの結論にたどり着けば、67より大きい数を重い浮かべる人はいなくなります。

Now 67 is the new highest possible average, so no reasonable guess should be higher than ⅔ of that, which is 44.

そこで、次に67が、最大の平均値となります。すると、67の2/3、つまり44より大きな数字では論理にかないません。

This logic can be extended further and further.

この論理は、このままずっと拡大していくことが可能です。

With each step, the highest possible logical answer keeps getting smaller.

そして次第に、論理的な解答の最大値は、小さくなっていきます。

So it would seem sensible to guess the lowest number possible.

つまり、最小の数字を思い浮かべるのが良さそうですね。

And indeed, if everyone chose zero, the game would reach what's known as a Nash Equilibrium.

実際、全員が0を選んだとすれば、「ナッシュ均衡」として知られる状態に至ります。

This is a state where every player has chosen the best possible strategy for themselves given everyone else playing, and no individual player can benefit by choosing differently.

これは、プレイヤー全員が、自らにとって最良の戦略を選択し、他のオプションを選んでも、利益がない状態です。

But, that's not what happens in the real world.

しかし、実際の世界では、そういう風にはなりません。

People, as it turns out, either aren't perfectly rational, or don't expect each other to be perfectly rational.

結局、人は合理的ではないのです。もしくは、互いに、100%の合理性を期待してはいないのです。

Or, perhaps, it's some combination of the two.

ひょっとすると、この2つが両方当てはまるのかもしれません。

When this game is played in real-world settings, the average tends to be somewhere between 20 and 35.

実際の世界でこのゲームを実践してみると、平均値は20から35になる傾向にあります。

Danish newspaper Politiken ran the game with over 19,000 readers participating, resulting in an average of roughly 22, making the correct answer 14.

デンマークのポリテケン紙は、19,000人超の読者を対象に、このゲームを行いました。その結果、予想された数字の平均値は約22で、ゲームの解答は14となりました。

For our audience, the average was 31.3.

このビデオの視聴者を対象にしてみたところ、平均値は31.1でした。

So if you guessed 21 as ⅔ of the average, well done.

平均値の2/3は21だ、と予想したあなた、正解です。

Economic game theorists have a way of modeling this interplay between rationality and practicality called k-level reasoning.

経済ゲーム理論家らは、この合理性と実用性の相互作用をモデル化し、レベルK理論と呼んでいます。

K stands for the number of times a cycle of reasoning is repeated.

Kは、論理的思考のサイクルが繰り返される回数を表現しています。

A person playing at k-level 0 would approach our game naively, guessing a number at random without thinking about the other players.

レベル0の状態でプレイする人は、ゲームへのアプローチが単純で、他のプレイヤーのことを考えず、ランダムに数字を予想します。

At k-level 1, a player would assume everyone else was playing at level 0, resulting in an average of 50, and thus guess 33.

レベル1の人は、他のプレイヤーは全員レベル0の状態だと考えます。そのため、平均値は50となり、つまり解答は33となります。

At k-level 2, they'd assume that everyone else was playing at level 1, leading them to guess 22.

レベル2では、他のプレイヤーは全員レベル1の状態だと考えます。そして、22を解答とします。

It would take 12 k-levels to reach 0.

解答が0に到達するまでに、12のレベルを要します。

The evidence suggests that most people stop at 1 or 2 k-levels.

大半の人は、レベル1か2でストップすると示されています。

And that's useful to know, because k-level thinking comes into play in high-stakes situations.

これは知っておくと便利なんですよ。なぜならレベルKの思考は、高リスク高リターンの状況でも作用するからです。

For example, stock traders evaluate stocks not only based on earnings reports, but also on the value that others place on those numbers.

例えば株式売買人は、収益報告だけでなく、他の人々が株式にどのような価値を置くかによって、株式を評価します。

And during penalty kicks in soccer, both the shooter and the goalie decide whether to go right or left based on what they think the other person is thinking.

サッカーのペナルティキックでは、ボールをキックする選手とキーパーは両方、相手がどう考えているかを予想し、右に出るか左に出るかを決めます。

Goalies often memorize the patterns of their opponents ahead of time, but penalty shooters know that and can plan accordingly.

キーパーはあらかじめ、対戦相手の傾向を記憶しておくことがよくあります。しかし、ペナルティキックをする選手もそのことを知っているので、準備することが可能です。

In each case, participants must weigh their own understanding of the best course of action against how well they think other participants understand the situation.

いずれの場合も、当事者たちは、自らが考える最善の行動を一方に、そして、相手がいかに状況を理解しているかを予測してもう一方に置き、それらを比べ合わせないといけないのです。

But 1 or 2 k-levels is by no means a hard and fast rule— simply being conscious of this tendency can make people adjust their expectations.

でも、レベル1やレベル2といったKレベルは、決して厳格なルールではありません。ただ、この傾向を意識しておくことで、予想を調節できるのです。

For instance, what would happen if people played the ⅔ game after understanding the difference between the most logical approach and the most common?

例えば、最も論理的なアプローチと、最も一般的なアプローチの違いを理解したうえで、2/3を予想するゲームをプレイしたらどうなるでしょうか？

Submit your own guess at what ⅔ of the new average will be by using the form below, and we'll find out.

では改めて、平均値の2/3は何だと思いますか？下のコメント欄で教えてください。答えがどうなるか、見てみましょう。

Want more game theory? How about this?

ゲーム理論をもっと知りたいですか？こちらはどうでしょう？

Why are so many gas stations built across the street from each other?

非常に多くのガソリンスタンドが、道沿いに向かい合っているのはなぜでしょうか？

Find out the answer in this video.

その答えは、こちらのビデオをご覧ください。