I described vector coordinates,

たとえば，そこでは2つの数の組合せと 2次元ベクトルが対応していました

where's this back and forth between, for example, pairs of numbers and two-dimensional vectors.

多くの人はベクトルの座標を よく理解できたのではないでしょうか

Now, I imagine that vector coordinates were already familiar to a lot of you,

しかし，この座標についてもうひとつ 興味深い考え方があります

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates,

線型代数の中心となるものです

which is pretty central to linear algebra.

ベクトルを表す1組の数 たとえば (3, -2) があるとします

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, like [3, -2],

それぞれの座標を スカラーとして考えてください

I want you to think about each coordinate as a scalar,

つまり，それぞれの座標がベクトルを 伸縮させたりすると考えるのです

meaning, think about how each one stretches or squishes vectors,

x-y座標系では，2つの特別なベクトルがあります

In the xy-coordinate system, there are two very special vectors:

1つは，右方向を指し，長さが1のベクトルです ｉ ベクトルと呼ばれる，x軸方向の単位ベクトルです

the one pointing to the right with length 1, commonly called "i-hat", or the unit vector

もう1つは，上方向を指し，長さが1のベクトルです ｊ ベクトルと呼ばれる

in the x-direction,

y軸方向の単位ベクトルです

and the one pointing straight up, with length 1, commonly called "j-hat",

ベクトルのx座標を ｉ ベクトルをスケーリングする スカラーと考えます． ｉ ベクトルを3倍に伸ばすのです

or the unit vector in the y-direction.

また，ベクトルのy座標を ｊ ベクトルをスケーリングする スカラーと考えます． ｊ ベクトルを反転し2倍に伸ばすのです

Now, think of the x-coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat, stretching

この意味において，座標が表すベクトルは スケーリングされた2つのベクトルの和になるのです

it by a factor of 3,

これは，驚くほど大切な考え方です スケーリングされた2つのベクトルの和と見るのです

and the y-coordinate as a scalar that scales j-hat, flipping it and stretching it by a

これら2つのベクトル， ｉ ベクトルと ｊ ベクトルには 特別な名前あります

factor of 2.

ともに，座標系の「基底ベクトル」と呼ばれます

In this sense, the vectors that these coordinates describe is the sum of two scaled vectors.

これは，座標をそれぞれスカラーと考えるとき

That's a surprisingly important concept, this idea of adding together two scaled vectors.

基底ベクトルは，実際にスカラーによって スケーリングされることを意味します

Those two vectors, i-hat and j-hat, have a special name, by the way.

もっと厳密な定義がありますが それはあとで説明します

Together, they're called the basis of a coordinate system

私たちの座標系をこれら2つの 特別な基底ベクトルで捉えることにより

What this means, basically, is that when you think about coordinates as scalars,

とても興味深い，そして微妙なことが 浮かび上がってきます

the basis vectors are what those scalars actually, you know, scale.

異なる基底ベクトルをとることで，まったく合理的な 新しい座標系を得られるかもしれないのです

There's also a more technical definition, but I'll get to that later.

たとえば，右上を指すベクトルと

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors,

右下を指すベクトルがあるとします

it raises a pretty interesting, and subtle, point:

これらのベクトルをスケーリングする 2つのスカラーを選び

We could've chosen different basis vectors, and gotten a completely reasonable, new coordinate

スケーリングしたベクトルを足して 得られるベクトルについて考えてみましょう

system.

スカラーの選び方を変えることで どんな2次元ベクトルが得られるでしょう？

For example, take some vector pointing up and to the right, along with

答えは，すべての2次元ベクトルが得られる，です

some other vector pointing down and to the right, in some way.

なぜ得られるのか，じっくり考えてみるとよいでしょう

Take a moment to think about all the different vectors that you can get by choosing two scalars,

このような新しい基底ベクトルを用いてもなお 数の組合せと2次元ベクトルの間を

using each one to scale one of the vectors, then adding together what you get.

行き来することができます

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

しかし，その関係は より標準的な基底ベクトル ｉ ベクトルと ｊ ベクトルを

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

用いたときの関係とは，はっきり異なります

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

異なる座標系の間の正確な関係は あとで説明しますが

A new pair of basis vectors like this still gives us a valid way to go back and forth

今は，数値的にベクトルを表すとき

between

基底ベクトルの選び方によって その関係は変わる，と理解しておいてください

pairs of numbers and two-dimensional vectors,

このように，2つのベクトルを スケーリングして足し合わせたものを

but the association is definitely different from the one that you get

ベクトルの「線型結合」といいます

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

どこから「線型」という言葉が出てきたのでしょう？ どのようにこれが「線」と関係しているのでしょう？

This is something I'll go into much more detail on later, describing the exact relationship

語源ではありませんが 私の好きな考え方は

between

もし，1つのスカラーを固定し もう1つのスカラーを自由に変化させると

different coordinate systems, but for right now, I just want you to appreciate the fact

足し合わせたベクトルの終点は 直線を描く，というものです

that

両方のスカラーが自由に変化して得られる すべてのベクトルを考えると

any time we describe vectors numerically, it depends on an implicit choice of what basis

2つのことが起こりえます

vectors we're using.

ほとんどの場合，ベクトルの組合せで 平面内のすべての点を示すことができます

So any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

すべての2次元ベクトルが得られるのです

it's called a linear combination of those two vectors.

しかし，2つのベクトルが 同じ直線上に並ぶ不運な場合

Where does this word "linear" come from?

足し合わせたベクトルの終点は 原点を通るただ1つの直線上に制限されます

Why does this have anything to do with lines?

実際，厳密には3つ目の可能性もあります

Well, this isn't the etymology, but one way I like to think about it is that

両方のベクトルが0の場合です このときは，原点から動けません

if you fix one of those scalars, and let the other one change its value freely,

さらにいくつか用語があります

the tip of the resulting vector draws a straight line.

与えられた1組のベクトルの線型結合で得られる すべてのベクトルの集まりを

Now, if you let both scalars range freely, and consider every possible vector that you

ベクトルの「スパン」といいます

can get,

この用語から捉えなおすと

there are two things that can happen:

ほとんどの2次元ベクトルのスパンは 2次元空間のすべてのベクトルになります

For most pairs of vectors, you'll be able to reach every possible point in the plane;

しかしベクトルが同じ直線上に並ぶとき スパンは直線上に終点があるすべてのベクトルになります

every two-dimensional vector is within your grasp.

線型代数は，ベクトルのたし算と定数倍のまわりで 展開される，と言ったことを覚えていますか？

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up,

2つのベクトルのスパンは 基本的に，こう尋ねることと同じです

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the

「たった2つの基本的なベクトル操作 （ベクトルのたし算と定数倍）

origin.

だけで得られるあらゆるベクトルとは？」

Actually, technically there's a third possibility too:

ここで，しばしばベクトルが点として 考えられることについて話しましょう

both your vectors could be zero, in which case you'd just be stuck at the origin.

1つの直線上にあらゆるベクトルがあると 考えると，とても混み合います

Here's some more terminology:

平面上にあらゆる2次元ベクトルがあると 考えると，さらに混み合います

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given

そのため，このようなベクトルの集まりを扱うときは

pair of vectors

それぞれのベクトルを 空間内の点として表すのが普通です

is called the span of those two vectors.

原点を始点とするベクトルの終点が その点と考えてください

So, restating what we just saw in this lingo,

このように，直線上に終点がある あらゆるベクトルを考えるときは

the span of most pairs of 2-D vectors is all vectors of 2-D space,

その直線のみを考えましょう

but when they line up, their span is all vectors whose tip sits on a certain line.

同じく，あらゆる2次元ベクトルを考えるときは

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication?

それぞれの終点が点であると考えましょう

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

つまり，無限に広い平面である 2次元空間を考えるとき

"What are all the possible vectors you can reach using only these two fundamental operations,

そこから矢印は取り除きます

vector addition and scalar multiplication?"

一般に，1つのベクトルそのものを 考えるときは「矢印」として

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

ベクトルの集まりを考えるときは 「点」として考えるのがよいでしょう

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

ほとんどのベクトルによるスパンは

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once, filling

無限に広い平面全体，2次元空間になりますが

up the plane.

もしベクトルが直線上に並ぶと スパンはただの直線になります

So when dealing with collections of vectors like this,

スパンの考え方は，3次元空間のベクトルでは さらにおもしろくなります

it's common to represent each one with just a point in space.

たとえば，3次元空間内で 違う方向を指す2つのベクトルがあるとします

The point at the tip of that vector, where, as usual, I want you thinking about that vector

これらのスパンは何を意味するのでしょう？

with its tail on the origin.

これらのスパンは，2つのベクトルの あらゆる線型結合の集まりになります

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain

つまり，それぞれのベクトルをスケーリングして 足し合わせて得られる，あらゆるベクトルです

line,

線型結合をつくる2つのスカラーを変化させることは 異なる2つのツマミを回すとみることもできます

just think about the line itself.

スケーリングした2つのベクトルを 足し合わせて，その終点を追うのです

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

その終点は，1枚の平面上を動きます 平面は3次元空間の原点を通ります

conceptualize each one as the point where its tip sits.

この平面が，2つのベクトルのスパンです

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite, flat sheet of two-dimensional

より正確には，平面上に終点のある あらゆるベクトルの集まりが2つのベクトルのスパンです

space itself,

美しいイメージではないですか？

leaving the arrows out of it.

では，もし3つ目のベクトルを加え それら3つのベクトルのスパンを考えたらどうでしょう？

In general, if you're thinking about a vector on its own, think of it as an arrow,

3つのベクトルの線型結合は 2つの時とほとんど同じように定義されます

and if you're dealing with a collection of vectors, it's convenient to think of them

3つの異なるスカラーを選び 各ベクトルをスケーリングし，足し合わせます

all as points.

そしてまた，これらベクトルのスパンは あらゆる線型結合の集まりとなります

So, for our span example, the span of most pairs of vectors ends up being

ここで，2つの異なることが起こりえます

the entire infinite sheet of two-dimensional space,

もし，3つ目のベクトルが はじめ2つのベクトルのスパン内にある場合

but if they line up, their span is just a line.

そのスパンは変わりません 平面上に閉じ込められる感じです

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional

言いかえると，スケーリングされた 3つ目のベクトルを加えても

space.

新しいベクトルにはならないのです

For example, if you take two vectors, in 3-D space, that are not pointing in the same direction,

しかし，もし3つ目のベクトルをランダムに選ぶと それがはじめ2つのベクトルのスパン内に あることはほとんどありません

what does it mean to take their span?

そして，異なる方向を指しているため

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two

あらゆる3次元ベクトルとなることができます

vectors, meaning

これについて，私の好きな考え方はこうです 新たな3つ目のベクトルをスケーリングすることで

all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way, and then adding

はじめ2つのベクトルのスパン平面が動き 空間内をすべて掃くことができるのです

them together.

また，自由に変えられる3つのスカラーを用いて

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the

3次元空間内のすべてを 指すことができる，とも考えられます

linear combination,

3つ目のベクトルが はじめ2つのベクトルのスパン内にある場合

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

または，2つのベクトルが 同じ直線上に並んでいる場合

That tip will trace out some kind of flat sheet, cutting through the origin of three-dimensional

少なくとも1つのベクトルは余分である つまり，スパンには何も加わらない

space.

ということを表す用語が欲しいですね

This flat sheet is the span of the two vectors,

いくつかベクトルがあり，スパンを小さくせずに あるベクトルを取り除けるとき

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet

それらのベクトルは 「線型従属である」といいます

is the span of your two vectors.

あるベクトルをほかの ベクトルの線型結合として表せる

Isn't that a beautiful mental image?

とも言いかえられます すでにスパン内にあるからです

So what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

一方，もしそれぞれのベクトルが スパンに新たな次元を加えるなら

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two;

それらは「線型独立である」といいます

you'll choose three different scalars, scale each of those vectors, and then add them all

では，これらの用語と いくつかのイメージとともに

together.

クイズを残しておきます

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

基底ベクトルの厳密な定義は 「空間を張る線型独立なベクトルの集まり」です

Two different things could happen here:

はじめに基底ベクトルを表した方法と

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

「スパン」「線型独立」という用語の理解を合わせて

then the span doesn't change; you're sort of trapped on that same flat sheet.

なぜこの（厳密な）定義が 意味をなすのか考えてみましょう

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination

次のビデオでは，行列と変換について話します ではまた！

doesn't really give you access to any new vectors.

But if you just randomly choose a third vector, it's almost certainly not sitting on the span

of those first two.

Then, since it's pointing in a separate direction,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

it moves around that span sheet of the first two, sweeping it through all of space.

Another way to think about it is that you're making full use of the three, freely-changing

scalars that

you have at your disposal to access the full three dimensions of space.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

or the case where two vectors happen to line up,

we want some terminology to describe the fact that

at least one of these vectors

is redundant—not adding anything to our span.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing

the span,

the relevant terminology is to say that they are

"linearly dependent".

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as

a linear combination of the others since it's already in the span of the others.

On the other hand, if each vector really does add another dimension to the span,

they're said to be "linearly independent".

So with all of that terminology, and hopefully with some good mental images to go with it,

let me leave you with puzzle before we go.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that

span that space.

Now, given how I described a basis earlier,

and given your current understanding of the words "span" and "linearly independent",

think about why this definition would make sense.

In the next video, I'll get into matrices and transforming space.

See you then!