Which is correct -- a dozen eggs is? Or a dozen eggs are?

１ダースの卵は単数でしょうか？ それとも複数？

I remember being in elementary school,

小学校で先生が

and my teachers making a big deal about the unit.

単位について長々と教えてくれました

And I never really got that, until one day I was in the grocery store,

その場では理解できませんでした

and I wanted to buy an apple, but I couldn't buy one apple.

ある日 スーパーでリンゴを１個買おうとしたら

I had to buy a whole bag of apples.

袋単位でしか売っていませんでした

So I did. I bought one bag of apples,

そこで１袋を買い

I took it home, I took one apple out of the bag, and I cut it up.

家で１つ取り出して切りました

And then I ate one slice.

そして１切れ食べました

One bag, one apple, one slice.

１袋 １個 １切れ どれが本当の「１」でしょう？

Which of these is the real one?

１袋 １個 １切れ どれが本当の「１」でしょう？

Well, they all are, of course, and that's what my elementary teachers were trying to tell me.

もちろん全てです それが先生の教えでした

Because this is the important idea behind

これは整数 小数 分数の背後にある

whole number place value, decimal place value and fractions.

重要な考え方です

Our whole number system depends on being able to change what we count as one.

記数法は 「１」の中身を 変えることで成り立っています

Our whole number system depends on being able to change units.

記数法は単位の切り替えで 成り立っているのです

There are two ways to change units.

単位を変える方法は２つあります

We can compose, and we can partition.

構成と分割です

When we compose units,

単位を構成する際には

we take a bunch of things and we put them together to make a bigger thing,

たくさんのものを集め 大きな塊としてまとめます

like a dozen eggs.

たくさんのものを集め 大きな塊としてまとめます

We take 12 eggs, put them together to make a group,

12個の卵を １つにまとめて

and we call that group a dozen.

そのまとまりを１ダースと呼びます

A dozen eggs is a composed unit.

卵１ダースは構成単位です

Other examples of composed units include

他にも例はあります

a deck of cards, a pair of shoes, a jazz quartet

トランプ１組 靴１足 ジャズ・カルテット１つ

and, of course, Barbie and Ken make a couple.

バービーとケンの カップルも１組です

But think about a loaf of bread.

ではパン１斤は？

That's not a composed unit,

１斤は「構成単位」ではありません

because we don't get a whole bunch of slices from a whole bunch of different bakeries

いろいろなパンを寄せ集めても

and put them together to make a loaf.

１斤にはならないからです

No, we start with a loaf of bread and we cut it into smaller pieces

初めに１斤のパンがあって 切り分けたものが食パンです

called slices, so each slice of bread is a partitioned unit.

つまり食パン１枚は「分割単位」です

Other examples of partitioned units include

分割単位の例は他に

a square of a chocolate bar, a section of an orange

板チョコ１片 オレンジ１カット

and a slice of pizza.

ピザ１切れなどがあります

The important thing about units is that once we've made a new unit,

重要なのは 新しい単位を定義したら

we can treat it just like we did the old unit.

元の単位と同様に扱えるということです

We can compose composed units, and we can partition partitioned units.

構成単位を構成することもできれば 分割単位を分割することもできます

Think about toaster pastries.

ビスケットを 思い浮かべてください

They come in packs of two,

２枚が１パックにまとめられ

and then those packs get put together in sets of four

さらに４パックがまとめられ

to make a box.

１箱になります

So when I buy one box of toaster pastries,

ビスケットを１箱 買ったときには

am I buying one thing,

１つのものを買っているのでしょうか？

four things, or eight things?

それとも４つ？８つ？

It depends on the unit.

それは単位によります

One box, four packs, eight pastries.

１箱 ４パック ８枚

And when I share a slice of pizza with a friend,

ピザ１切れを分け合うときも

we have to cut it into two smaller pieces.

切って２切れにしなければなりません

So a box of toaster pastries

ビスケット１箱は

is composed of composed units,

構成単位で構成されており

and when I split a slice of pizza,

ピザ１切れを分けるときは

I'm partitioning a partitioned unit.

分割単位を分割しているのです

But what does that have to do with math?

これが数学とどう関係するのでしょう？

In math, everything is certain.

数学では全てが明確です

Two plus two equals four, and one is just one.

２＋２は４ １は１です

But that's not really right.

しかし 実はそうとは限りません

One isn't always one.

１は常に１ではありません

Here's why: We start counting at one,

理由はこうです — １から始めて

and we count up to nine -- one, two, three, four, five, six, seven, eight, nine.

９まで数え上げます — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

And then we get to 10, and in order to write 10,

すると10にたどり着きます

we write a one and a zero.

10は１と０です

That one means that we have one group,

１は１つの塊があることを意味します

and the zero helps us remember that it means one group, not one thing.

０があることで 「１つ」でなく 「１塊」だと分かります

But 10, just like one,

しかし10も

just like a dozen eggs, just like an egg,

１や 卵１ダースや 卵１個のように

10 is a unit.

１つの単位なのです

And 10 tens make 100.

10が10個集まると100です

So when I think about 100, it's like the box of toaster pastries.

ビスケットの箱のようですね

Is 100 one thing,

100は１つのものでしょうか

10 things

それとも10個のもの？

or 100 things?

はたまた100個？

And that depends on what one is,

その答えは１が何であるか

it depends on what the unit is.

単位が何であるかによります

So think about all the times in math when you write the number one.

数学では「１」に気をつけてください

No matter what place that one is in,

１がどの位置にあるか

no matter how many things that one represents,

１がいくつのまとまりを表すのか

one is.

「１」とは何であるのかを