Infinite series is one of the most fascinating subjects in mathematics.

無限級数は数学の中で最も魅力的な科目の一つです。

But before we talk about infinite series, I would like to ask a question about infinity.

しかし、無限大系列の話をする前に、無限大について質問したいと思います。

What do you get when you add an infinite number of things?

無限に足し算すると何が出てくるの？

A.V. Geekman, do you have an answer up that sleeve of yours?

A.V.オタクマン、その袖に答えがあるのか？

Well, the more things you add up, the bigger the answer gets.

まあ、足し算すればするほど答えは大きくなる。

So if you were to add up an infinite number of things

だから、無限に足し算するとしたら

you would always get an infinitely large answer.

あなたは常に無限に大きな答えを得るでしょう。

Are you sure about that A.V.?

本当にA.V.なのか？

Well, no matter what size the things are

まあ、どんな大きさのものでも

an infinite number of them will always be infinity.

無限の数があれば必ず無限大になる

For example, an infinite number of "ones" is infinity times one, or infinity.

例えば、無限大の数の" ones"は、無限大の1倍、つまり無限大です。

An infinite number of one-halves is infinity times one-half.

無限にある1/2は、無限にある1/2の倍の1/2です。

One half of infinity is still infinity.

無限大の1/2はまだ無限大です。

Even an infinite number of one-billionths is one-billionth of infinity

無限の十億分の一も無限の十億分の一

which is still infinity!

まだまだ無限大です

Ah ha!

あはは！

That's extremely perceptive of you A.V.

それは非常に鋭いですね、A.V.

It is true that an infinite number of anything, no matter how small, is still infinitely large.

どんなに小さくても無限にあるものは無限にあるのは事実です。

So, another question to you.

それで、もう一つ質問があります。

Is it possible to add an infinite number of things and get a finite number?

無限のものを足して有限のものを得ることは可能なのでしょうか？

Well, based upon our previous discussion, I would say not.

前に話し合ったことを踏まえれば、そうではないと思います。

Well then, you would be wrong!

ならば、それは間違いだ！

Oh really?

そうなんですか？

Now A.V., as you pointed out

ご指摘の通り、Ａ.Ｖ.

if you add an infinite number of anything, no matter how small

幾ら何でも足し算すれば

the sum is still infinite.

和はまだ無限大です。

But what if the things you add get progressively smaller?

でも、追加したものがどんどん小さくなっていくのはどうなんだろう？

I ... don't know.

私は......わかりません。

All right then!

わかったよ！

Let's add an infinite number of things, where each thing is one-half of the previous thing.

それぞれのものが前のものの2分の1になるような無限の数を足してみましょう。

Let's say, for example, that you walk halfway to the wall.

例えば、壁に向かって半歩歩いたとします。

Then you walk half of the remaining distance

残りの距離の半分を歩く

then half of that distance

その半分の距離

and half of that distance, and so on.

と、その距離の半分くらいの距離であることがわかります。

No matter how many times you keep doing that, you will still never quite reach the wall.

何度やっても壁には届かない。

So it IS possible to add an infinite number of things and get a finite number!

ということは、無限の数を足して有限の数を得ることはIS可能なのですね!

Now you're cooking with gas!

今はガスで料理をしているのか!

I'll give you one more example.

もう一つ例を挙げてみます。

Let's take the fraction nine-tenths

10分の9の分数をとってみましょう。

which you can write as the decimal number zero point nine.

これは、10進数の0点9と書くことができます。

Now let's add nine-hundredths

では、900分の9を足してみましょう。

and nine-thousandths

九千分の一

and so on.

といったようなことを言っています。

As you can see, we can keep doing this as long as you like

ご覧のように、好きなことをしていれば続けられます。

but you will never get a number bigger than one.

と言っても、１よりも大きな数字は出ないでしょう。

We say the "limit" of this series of additions is one.

私たちは、この一連の加算の"limit"は1つであると言います。

So, let's talk about what a series is.

では、シリーズとは何かという話をしましょう。

A series is just a list of things added together.

シリーズというのは、ただの物を足し合わせただけのものです。

These things can be numbers

こういったものは数になることがあります

or they can be expressions or formulas which create numbers.

または、数値を作成する式や数式にすることができます。

Let's call these cute little things that are added together "terms".

Let'sは、一緒に追加された"term"これらのかわいい小さなものを呼び出します。

So a series is just a sum of terms.

だから、系列はただの項の和に過ぎない。

Now, if I wanted you to add a bunch of terms for me

今、私のためにたくさんの用語を追加して欲しかったら

I might write down all of the terms in a list.

箇条書きで書いてみようかな。

That list of terms is called a "sequence"

その用語のリストは、"sequence&quotと呼ばれています。

and when you add all the terms in a sequence together, it is called a "series".

と、一緒にシーケンスのすべての用語を追加すると、それは"series"と呼ばれています。

Now, what if the sequence has a very large number of terms?

さて、配列に非常に多くの項がある場合はどうでしょうか？

In fact, what if the sequence is infinite?

実際には、無限に続く場合はどうなのでしょうか？

It might be easier to come up with a formula for creating the terms

用語を作成するための公式を考えた方が簡単かもしれません。

instead of having to list each one.

それぞれをリストアップするのではなく

Now wouldn't that be a good idea?

さて、それは良いアイデアではないでしょうか？

Wonderful!

素晴らしい！

Now, being the good perceptive professor that you are

さて、あなたのような鋭い教授は

you might have noticed there was a pattern to the terms I wrote on your list.

あなたのリストに書いた用語には パターンがあることに気づいたかもしれない

If we number the terms one, two, three, etc. then each term is just twice that number.

1,2,3,などと番号をつけると、それぞれの項はその2倍の数になります。

So we can specify this sequence by writing a formula.

そこで、このシーケンスを数式を書くことで指定することができます。

This formula says that each term

この式によると、各項は

which we will call "a" numbered with a little subscript "n"

これは、私たちが"a"と呼ぶように、小さな添え字"n&quotと番号が付けられています。

which tells us which term in the sequence it is

これはシーケンスのどの項であるかを教えてくれます。

is just two times n.

はちょうどNの2倍です。

So for instance, the twentieth term, "a" sub twenty

だから、例えば、20番目の用語、"a"サブ20

is just two times twenty, or forty.

は２０のちょうど２倍、４０のちょうど２倍です。

Now isn't that easier than listing every term?

全ての用語をリストアップするよりも簡単ではないでしょうか？

Of course, we could make the formula for creating terms as complicated as we like

もちろん、用語作成の公式を好きなように複雑にしてもいいのですが

such as

のような

or

或いは

or even something really complicated!

とか、本当に複雑なものまで！？

But the point is, if we can come up with a formula for creating the terms in the sequence

しかし、ポイントは、順序の中で用語を作成するための公式を思いつくことができれば

we can write the sequence in a very compact form and save a lot of paper.

シーケンスを非常にコンパクトに書くことができ、多くの紙を節約することができます。

Thank you for showing the class how to write an infinite sequence, Professor Ethylene

エチレン先生、無限列の書き方を授業で教えていただきありがとうございます。

but weren't you going to explain to the class about infinite series?

でも、無限級数について授業で説明するつもりはなかったんですか？

Well thank you Professor Von Schmohawk for reminding me of that fact.

フォン・シュモホーク教授に感謝しますその事実を思い出させてくれて

As I mentioned, a "series" is just the terms of a "sequence" added together.

私が述べたように、"series"は、単に"sequence"の用語を一緒に追加したものです。

Now, there is a nice way to write a series

さて、素敵なシリーズの書き方があります。

using what we mathematicians call "summation notation".

我々数学者が"summation notation"と呼ぶものを使用しています。

Here is the summation notation for the first five terms in the sequence

以下は、シーケンスの最初の5つの項の和の表記法です。

which I wrote down for the good Professor Von Schmohawk.

私はフォン・シュモホーク教授のために書き留めました

The "summation symbol" is the capital Greek letter "sigma".

It indicates that the term to the right

右側の用語が

is added over and over again

が何度も何度も追加されます。

each time, using a different value of n.

毎に、異なる値の n を使用しています。

In this case, n starts at one.

この場合、ｎは１から始まります。

This value of n is then used to calculate the first term of the series.

そして、このｎの値を用いて、系列の第１項を計算します。

Since n is one 2n is equal to two times one

ｎは１なので２ｎは２倍の１に等しい

or two.

2つかな。

So two is the first term in the series.

だから2は第1期なんですよね。

Then we increase n by one, and do it again.

そして、nを1つ増やして、またやります。

This calculates the second term of the series.

これは系列の第2項を計算します。

We keep doing this until n finally reaches the value at the top of the summation symbol.

これを n が最終的に和記号の先頭の値に達するまで続けます。

So this summation notation is another way of writing these five terms added together.

ですから、この和算記法は、この5つの用語を足し合わせた別の書き方です。

The sum of the terms is thirty

条件の合計は30

so this finite series is equal to thirty.

なので、この有限級数は30に等しい。

What if instead of stopping when n equals five, we went on forever?

nが5になったら止まるのではなく、永遠に続くとしたら？

In this case, instead of the five at the top, we would put a little infinity sign.

この場合は、先頭の5の代わりに、少しだけ無限大の記号を入れます。

This would then be an "infinite" series.

これはその後、"infinite"系列になるでしょう。

Now we would keep adding terms forever.

今は永遠に用語を追加し続けるだろう。

In this series the terms get bigger and bigger, so the sum is obviously infinite.

この系列では項がどんどん大きくなっていくので、和は明らかに無限大です。

But even if the terms were all the same number, the sum would still be infinite.

しかし、項がすべて同じ数だったとしても、和は無限大になってしまう。

Take for example an infinite series where all the terms are the number one

例えば，すべての項が数1である無限級数を考えてみましょう．

or one-half.

または2分の1。

In fact, adding any number that's not zero an infinite number of times gives you infinity.

実際、ゼロでない数字を無限に足していくと、無限大になります。

So as long as the terms grow or stay the same

だから、用語が成長している限り、または同じままである限り

an infinite number of them will always sum up to infinity.

無限にあるものは必ず合計して無限になります。

But what would happen if each term was smaller than the previous term?

しかし、各タームが前期よりも小さくなっていたらどうなるのでしょうか？

Let's take an infinite series of the terms one over two to the nth power.

2の上の1項の無限級数をn乗にしてみましょう。

In this series the first term is one over two to the first power, or one-half.

このシリーズでは、第1項は2乗に1オーバー、つまり2分の1になります。

The second term is one over two squared, or one-fourth.

2期は2乗1オーバー、つまり4分の1です。

The third term is one over two cubed, or one-eighth,

第3期は、2つの立方体の上に1つ、つまり8分の1の大きさのものを指します。

and so on.

といったようなことを言っています。

Let's draw a picture of what happens when we add the terms in this series.

このシリーズの用語を足していくとどうなるのか、絵を描いてみましょう。

Start by drawing a square with a length and height of one

長さと高さが1つの正方形を描くことから始めます。

so that the square has an area of one.

となるように、正方形の面積が1になるようにします。

Now, the first term of our series is one-half

さて、シリーズ第1期は2分の1です。

so draw a rectangle with an area of half of the square

矩の半分の面積の長方形を描く

and place it in the square.

と広場に置きます。

Now the second term of the series is one-fourth.

これで2期は4分の1になりました。

Let's draw a square with an area of half of the rectangle

矩形の半分の面積の正方形を描いてみましょう。

and place it in the square.

と広場に置きます。

The third term of our series is one-eighth

シリーズ第3期は8分の1

so let's draw a rectangle with an area of half of the previous square

ということで、前の正方形の半分の面積の長方形を描いてみましょう。

and place it in the square.

と広場に置きます。

This process can be repeated forever without overflowing the square.

この処理を永遠に繰り返すことで、四角にはみ出さずに済みます。

As the little squares and rectangles continue to add up

小さな四角や長方形がどんどん増えていくと

their total area becomes closer and closer to the area of the big square.

彼らの総面積は、より大きな正方形の面積に近くなります。

The combined area of the terms gets closer and closer to one.

用語の結合領域がどんどん近づいていきます。

If you could add an infinite number of these terms, the total area would be exactly one.

これらの項を無限に足すことができれば、面積の合計はきっちり1になります。

So we say that this series "converges" to one.

なので、この系列は " converges" to one と言います。

In other words, this series is "convergent".

言い換えれば、このシリーズは"convergent"です。

Convergent series are very useful.

収束級数はとても便利です。

Some numbers like pi can only be calculated by using convergent infinite series.

円周率のように、収束無限級数を使わないと計算できない数字もあります。

Here are the first few terms of an infinite series which can be used to calculate pi.

ここでは、πの計算に使用できる無限級数の最初の数項を示します。

Of course we can't actually add an infinite number of terms

もちろん、実際には無限の項を追加することはできません。

unless we had an infinite amount of time.

無限の時間がない限りは

However, we can make our answer as accurate as we like by simply adding enough terms.

しかし、用語を十分に追加するだけで、自分たちの答えを正確なものにすることができます。

But will all series converge as long as each term is smaller than the previous one?

しかし、各項が前の項よりも小さい限り、すべての系列は収束するのでしょうか？

Well, let's try a series with the terms one over n.

では、nの上に1をかけてシリーズ化してみましょう。

Now, the first term in this series is one divided by one

さて、このシリーズの第1項は、1を1で割ったものです。

or one.

または1つ。

The second term is one divided by two, or one-half.

2期とは、1を2で割ったもの、つまり2分の1のことです。

The third term is one-third, and so on.

3期は3分の1などとなっています。

Each term is smaller than the previous term.

各タームは前のタームよりも小さくなっています。

But it turns out that this series does NOT converge.

しかし、この系列は収束しないことがわかりました。

Even though the terms get smaller and smaller, they will still add up to infinity.

条件がどんどん小さくなっていっても、無限大に足し算していく。

We say that this series "diverges".

私たちは、このシリーズ"diverges"と言います。

Perhaps it seems strange that some series with decreasing terms converge to a number

おそらく、減少項を持ついくつかの系列が数に収束するのは奇妙に思えるかもしれません。

while other series with decreasing terms diverge to infinity.

一方、他の項が減少する系列は無限大に発散する。

It is not always obvious which series will converge or diverge.

どの系列が収束するか発散するかは必ずしも明らかではありません。

Let's take a closer look at this series to see why it never converges.

なぜ収束しないのか、この系列を詳しく見てみましょう。

Let's write down the first few terms of this infinite series.

この無限級数の最初の数項を書いてみましょう。

Now, let's make little stacks equal in height to each term in the series.

では、系列の各項と同じ高さの小さな積み木を作ってみましょう。

Notice that the first term of the series is equal to one-half plus one-half.

系列の第1項が2分の1+2分の1に等しいことに注目してください。

The second term in the series is also one-half.

2期も2分の1になりました。

Now notice that the next two terms, one-third and one-fourth

次の2つの項、3分の1と4分の1に注目してください

are each at least as big as one-fourth.

は、それぞれ少なくとも4分の1の大きさです。

So, if we add them together, their sum will be at least as big as one-fourth plus one-fourth

だから、それらを足し合わせると、その合計は、少なくとも1/4+1/4の大きさになります。

or one-half.

または2分の1。

Now the next four terms, one-fifth, one-sixth, one-seventh, and one-eighth

これで次の4期、5分の1、6分の1、7分の1、8分の1になりました。

are each at least as big as one-eighth.

はそれぞれ少なくとも8分の1の大きさです。

So, if we add them together, their sum will be at least as big as four times one-eighth

だから、それらを足し合わせると、その合計は、少なくとも4倍の8分の1の大きさになります。

or, once again, one-half.

または、もう一度、2分の1。

Likewise, the next eight terms, one-ninth, one-tenth, one-eleventh, one-twelfth, one-thirteenth

同様に、次の８期、１９期、１０期、１８期、１２期、１３期

one-fourteenth, one-fifteenth, and one-sixteenth

十四分の一、十五分の一、十六分の一

are each at least as big as one-sixteenth.

はそれぞれ少なくとも16分の1の大きさです。

So when we add them together, their sum will be bigger than eight times one-sixteenth

だから、それらを足し合わせると、それらの合計は8倍の16分の1よりも大きくなります。

or, once again, one-half.

または、もう一度、2分の1。

Likewise, the sum of the next sixteen terms is bigger than one-half

同様に、次の16項の和は2分の1よりも大きい。

and the sum of the next thirty-two terms is bigger than one-half

となり、次の32項の和は2分の1よりも大きい

and so on.

といったようなことを言っています。

We can keep going on forever, grouping the terms into sums which equal more than one-half.

2分の1以上の和にグループ化して永遠に続けることができます。

So the sum of this infinite series is at least as big as

ということは、この無限級数の和は、少なくとも

the sum of an infinite number of one-halves

一分一秒の和

which is of course, infinite.

もちろん無限大です。

This particular series is called a "harmonic series"

この特定の系列は、"harmonic series&quotと呼ばれています。

because its terms are similar to the harmonics of a musical note.

というのは、その用語が音符の倍音に似ているからです。

Oh, I diverge!

ああ、私は発散する！

Although the harmonic series is interesting

ハーモニック級数は面白いが

it is not very useful because its sum never converges.

は、その和が収束することがないのであまり意味がありません。

Are there any questions?

何か質問はありますか？

Hulk Moosemasher, what is your question?

ハルク・ムーゼマッシャー、質問は？

Professor Ethylene, are infinite series useful?

エチレン教授、無限級数は有用ですか？

Why yes Hulk, infinite series are very useful!

なぜイエスハルク、無限シリーズは非常に便利です

There are many things which can only be calculated by using infinite series.

無限級数でしか計算できないものがたくさんあります。

For example, the ratio of the circumference of a circle to its diameter is pi.

例えば、円の円周と直径の比をπとします。

For many centuries, people measured circles but could never determine exactly

何世紀にもわたって、人々は円を測定してきたが、正確に測定することはできなかった。

what this ratio was to an accuracy of more than a few decimal places.

この比率が小数点以下の数桁以上の精度に対して何だったのか。

But with the help of an infinite series

しかし、無限のシリーズの助けを借りて

we can determine pi to any degree of accuracy we like.

私たちは、好きな程度の精度でπを決定することができます。

The more terms in the series we add, the more accurate our answer gets.

シリーズの用語が増えれば増えるほど、私たちの答えはより正確になります。

Infinite series are also used to calculate trigonometric functions such as sine and cosine

無限級数は、サインやコサインなどの三角関数の計算にも使われます。

which are very useful in determining the angles and lengths of triangles

三角形の角度や長さを決めるのに便利な

as well as exponential functions, logarithms

指数関数、対数と同様に

and many other mathematical functions which are used in engineering, science, and math.

と、工学、科学、数学で使用される多くの数学関数があります。

I hope this answered your questions.

これで質問の答えになったかな？

And remember, just like a ninety degree angle

そして覚えておいてください、ちょうど90度の角度のように

I'm always RIGHT!

私はいつも正しい!