Since ancient times, mankind has hotly debated

数学は発見されたのか はたまた発明されたのかについて

whether mathematics was discovered or invented.

古来から 人々は熱く議論してきました

Did we create mathematical concepts to help us understand the universe around us,

私達は 私達をとりまく宇宙を理解するために 数学的概念を作り出したのでしょうか

or is math the native language of the universe itself,

それとも数学は私たちが真理を 発見してもしなくても存在する

existing whether we find its truths or not?

宇宙それ自体の母国語なのでしょうか

Are numbers, polygons and equations truly real,

数字 多角形や方程式は 本当に実在するのでしょうか

or merely ethereal representations of some theoretical ideal?

はたまた 理論的な理想形の エーテル的表現にすぎないのでしょうか

The independent reality of math has some ancient advocates.

祖先の中には 数学の実在を唱えていた人々がいました

The Pythagoreans of 5th Century Greece believed numbers were both

５世紀ギリシャのピタゴラス学派は

living entities and universal principles.

数字は生き物であり 普遍的原理であると信じていました

They called the number one, "the monad," the generator of all other numbers

彼等は数字の１を”モナド（単子）” つまり他すべての数字を生み出す生成元であり

and source of all creation.

全創造物の起源であるとみなしていました

Numbers were active agents in nature.

数字は自然の中では生ける力でした

Plato argued mathematical concepts were concrete

プラトンは 数学的概念は 私達の知識とは関係なく 具体的であり

and as real as the universe itself, regardless of our knowledge of them.

宇宙それ自体と同じくらい 現実的であると主張しました

Euclid, the father of geometry, believed nature itself

幾何学者の父 ユークリッドは自然それ自体は

was the physical manifestation of mathematical laws.

数学的法則の物質的表現であると 考えていました

Others argue that while numbers may or may not exist physically,

数字が物質的には存在するかもしれないし しないかもしれない一方で

mathematical statements definitely don't.

数学的命題は確実に存在しないと 主張した人々もいました

Their truth values are based on rules that humans created.

彼等が真実であると価値をおくものは 人間がつくったルールに基づいています

Mathematics is thus an invented logic exercise,

なので 数学は 人間の意識的な思考の外では存在せず

with no existence outside mankind's conscious thought,

脳によって識別されたパターンに基づいた抽象的な関係性を表す言語であり

a language of abstract relationships based on patterns discerned by brains,

混沌から便利だが人工的な秩序を発明するために これらのパターンを利用するようできた

built to use those patterns to invent useful but artificial order from chaos.

つまり人間によって発明された 論理的思考運動なのです

One proponent of this sort of idea was Leopold Kronecker,

この種の考えを主張した１人に レオポルト・クロネッカーがいます

a professor of mathematics in 19th century Germany.

19世紀ドイツの数学教授です

His belief is summed up in his famous statement:

彼の信念は有名な文章にまとまっています

"God created the natural numbers, all else is the work of man."

神は自然数をつくり 他すべては人間がつくったものです

During mathematician David Hilbert's lifetime,

数学者デイビット・ヒルバートの時代には

there was a push to establish mathematics as a logical construct.

論理的構造として数学を確立していくという 風潮がありました

Hilbert attempted to axiomatize all of mathematics,

ヒルバートは ユークリッドが 幾何学にそうしたように

as Euclid had done with geometry.

数学の全てを公理化しようと試みました

He and others who attempted this saw mathematics as a deeply philosophical game

彼やこれを試みようとした他の人たちは 数学は奥深い哲学的ゲームであると考えました

but a game nonetheless.

ゲームにすぎないことに変わりないのですが

Henri Poincaré, one of the father's of non-Euclidean geometry,

非ユークリッド幾何学者の父の１人である アンリ・ポアンカレは

believed that the existence of non-Euclidean geometry,

平らではない双曲面や楕円面を扱って

dealing with the non-flat surfaces of hyperbolic and elliptical curvatures,

平面における幾何学を長年扱ってきた

proved that Euclidean geometry, the long standing geometry of flat surfaces,

ユークリッド幾何学が普遍的真理ではなく

was not a universal truth,

一つのゲームルールを使った一つの結果である

but rather one outcome of using one particular set of game rules.

ということを証明しました

But in 1960, Nobel Physics laureate Eugene Wigner

しかし1960年 ノーベル物理学賞を受賞した ユージン・ウィグナーは

coined the phrase, "the unreasonable effectiveness of mathematics,"

「数学の不合理な効力」という言葉を 生み出しました

pushing strongly for the idea that mathematics is real

この言葉は数学は実在し

and discovered by people.

人々によって発見されたのだという考えを 強く主張しています

Wigner pointed out that many purely mathematical theories

ウィグナーは 物理的な現象を表現するという観点を持たず

developed in a vacuum, often with no view towards describing any physical phenomena,

いわば”真空”の中で発展した 多くの純数学的理論は

have proven decades or even centuries later,

宇宙がどのように機能しているかを

to be the framework necessary to explain

説明するのに必要な枠組みであると

how the universe has been working all along.

何十年もしくは何世紀も後に証明したと 指摘しました

For instance, the number theory of British mathematician Gottfried Hardy,

例えば イギリスの数学者 ゴットフリード・ハーディ

who had boasted that none of his work would ever be found useful

彼は研究のどれも 現実世界のあらゆる現象を表現するのに

in describing any phenomena in the real world,

役には立たないだろうと 豪語したのですが

helped establish cryptography.

彼は暗号化法を確立するのに貢献しました

Another piece of his purely theoretical work

もう１つの彼の純理論的研究の一部は

became known as the Hardy-Weinberg law in genetics,

ハーディー・ワインベルグの 遺伝法則として知られ

and won a Nobel prize.

ノーベル賞を受賞しました

And Fibonacci stumbled upon his famous sequence

そしてフィボナッチはウサギの繁殖の様子を見て

while looking at the growth of an idealized rabbit population.

有名な数列を思いつきました

Mankind later found the sequence everywhere in nature,

人間は後に ヒマワリの種や花びらの並びから

from sunflower seeds and flower petal arrangements,

パイナップルの構造 さらに肺における気管支の分岐まで

to the structure of a pineapple,

自然界のあらゆる場所に

even the branching of bronchi in the lungs.

その数列を見つけました

Or there's the non-Euclidean work of Bernhard Riemann in the 1850s,

1850年代 非ユークリッド幾何学者である ベルンハルト・リーマンの研究がありました

which Einstein used in the model for general relativity a century later.

その研究は１世紀後に アインシュタインが 一般相対性理論のモデルとして使ったものです

Here's an even bigger jump:

さらには大きな飛躍の例があります

mathematical knot theory, first developed around 1771

位置幾何学を表現するために 1771年に初めて考案された

to describe the geometry of position,

数学的結び目理論は20世紀後半には

was used in the late 20th century to explain how DNA unravels itself

DNAが 複製過程の中でどのように 自然にほどけるのかを

during the replication process.

説明するために使われたのです

It may even provide key explanations for string theory.

それはストリング理論にも 重要な説明であるかもしれません

Some of the most influential mathematicians and scientists

人間の歴史の中で 最も大きな影響力を持つ 数学者や科学者は

of all of human history have chimed in on the issue as well,

しばしば驚くべき方法で

often in surprising ways.

発明を他の問題ともまた一致させていきます

So, is mathematics an invention or a discovery?

だから 数学は発明なのでしょうか それとも発見なのでしょうか

Artificial construct or universal truth?

人工的な構築物なのでしょうか　 それとも普遍的真理なのでしょうか

Human product or natural, possibly divine, creation?

人間の産物なのでしょうか　それとも 自然のまたは神の創作物なのでしょうか

These questions are so deep the debate often becomes spiritual in nature.

これらの問いはとても奥深いので 議論は精神的な性質のものになってしまいます

The answer might depend on the specific concept being looked at,

答えは 注目している具体的な概念によるのでしょうが

but it can all feel like a distorted zen koan.

それは歪んだ禅考案のようなものに感じます

If there's a number of trees in a forest, but no one's there to count them,

もし数多くの木が森にあり 誰もその数を数えなかったとしたら

does that number exist?

その数は存在するのでしょうか