The whole white model is a short rate model, and we're going to discuss partly what that is to begin with, but then also look at the details of this modeling framework.

白のモデル全体はショートレートモデルであり、まずはそれが何なのかを部分的に説明し、このモデリングの枠組みの詳細を見ていく。

So let's get started.

では、始めよう。

First of all, we want to describe what a short rate is and an introduction to short rate models in general.

まず最初に、ショート・レートとは何か、そしてショート・レート・モデル一般について説明したい。

We can think of short rates as the continuously compounded and annualized interest rate at which an entity can borrow money for an infinitesimally short period of time.

ショート・レートとは、企業が限りなく短い期間だけお金を借りることができる、連続複利・年率換算された金利と考えることができる。

Now that's a bit abstract, so we have that illustrated here by means of an equation.

少し抽象的なので、ここでは方程式を使って説明しよう。

We have some price of a risk-free asset at the time t plus delta t, and that can be expressed as the price at the initial time point, Pt, times this factor here.

t時点の無リスク資産の価格にデルタtを加えたものがあり、これは最初の時点の価格Ptにこの係数をかけたものとして表すことができる。

And this is an exponential of the short rate, Rt, times the time interval delta t.

そしてこれは、ショート・レートRtに時間間隔Δtを掛けた指数である。

So the short rate tells us how much this value gain is going to be over some short time interval if we invest in a risk-free asset.

つまり、ショート・レートは、無リスク資産に投資した場合、ある短い時間間隔の間にどれくらいの値上がり益があるかを教えてくれる。

And it is what's called continuously compounded, since these interest rate payments happen all the time.

そして、こうした金利の支払いは常に起こるので、いわゆる継続複利である。

It is not like in some other models where you have interest rate payments at some sort of frequency, but this compounds continuously.

他のモデルのように、ある一定の頻度で金利の支払いがあるのではなく、これは継続的に複利計算される。

And it is annualized in the sense that we need to express our interest rate in terms of some time interval.

そして、金利をある時間間隔で表現する必要があるという意味で年率換算される。

We would say you get 10% per year, for example, or 10% per week, or something like that.

例えば、年間10％とか、週10％とか、そんな感じだ。

It's annualized, so we always talk about years when we talk about these interest rates.

年率換算だから、金利の話をするときはいつも年単位で話すんだ。

So a short rate model then describes the future evolution of these short rates by generating a term structure.

そこで、短期金利モデルは、期間構造を生成することによって、これらの短期金利の将来の推移を記述する。

So the short rates would vary over time.

つまり、ショートのレートは時間とともに変化する。

You can see that Rt here has a time index to it, so the rates are not constant in the market.

ここでのRtには時間指標があり、市場においてレートが一定でないことがわかる。

And the short rate models describe how this Rt varies over time.

そしてショートレートモデルは、このRtが時間とともにどのように変化するかを説明する。

So with that, let's focus on the whole wide model now.

それでは、ワイドモデル全体に焦点を当てよう。

This model implies a mean reverting and normally distributed assumption on the interest rates.

このモデルは、金利の平均回帰と正規分布の仮定を意味する。

And this gives us lognormal bond prices as a consequence.

その結果、対数正規の債券価格が得られる。

We can see the stochastic differential equation that summarizes the whole wide model in this slide.

このスライドでは、広いモデル全体を要約する確率微分方程式を見ることができる。

And we can see that Drt, so the difference in the rate, is given by this drift term here plus some Brownian motion.

そして、Drt、つまりレートの差は、このドリフト項とブラウン運動によって与えられることがわかる。

And the drift term has two components.

ドリフトには2つの要素がある。

First we have a theta of t here, and then we have a constant alpha times the rate itself.

まず、ここではtのシータがあり、次にレートそのものの定数α倍がある。

Now this theta is, as you can see, a function of time.

さて、このシータはご覧の通り、時間の関数である。

And this is chosen explicitly so that the model fits with the term structure that is being observed in the market right now.

そしてこれは、モデルが現在市場で観察されている期間構造と適合するように、明示的に選択されている。

And that way you can calibrate this model to be accurate to the kind of term structures that are existing currently.

そうすることで、このモデルを現在存在するような期間構造に正確に適合させることができる。

And then what the model gives you is a way to extrapolate, based on the current term structure, what they are going to be in the future.

そして、このモデルが与えてくれるのは、現在の期間構造に基づいて、将来それらがどうなるかを推定する方法である。

The second part of this drift term is alpha Rt.

このドリフト項の第2部分はアルファRtである。

And alpha is a mean reversion parameter.

そしてアルファは平均回帰パラメータである。

So it tells us how fast we are going to revert to the mean value of this process.

つまり、このプロセスの平均値に戻る速さを示しているのだ。

It is typically left as a user input and can, for example, be estimated from historical data.

これは通常、ユーザー入力として残され、例えば過去のデータから推定することができる。

The last part of this equation is sigma that you can see here, which is the volatility parameter.

この方程式の最後の部分が、ここにあるシグマで、これはボラティリティ・パラメーターである。

And it is determined by a calibration to a set of caplets and swaptions that are tradable in the market.

そして、市場で取引可能なカプレットとスワップションのセットに対するキャリブレーションによって決定される。

So that is also something that would be derived from market data.

つまり、それもまた市場データから導き出されるものなのだ。

And, as we said in the beginning, theta is something that is being explicitly chosen so that this model matches the term structures that are existing in the market right now.

そして、冒頭で述べたように、テータは、このモデルが現在市場に存在する期間構造と一致するように、明示的に選択されているものである。

And that gives us essentially this expression, can be derived for what theta should be.

そして、シータがどうあるべきかについて、本質的にこの式を導き出すことができる。

And so plugging this into theta would give you essentially a model that fits the current term structure.

そして、これをシータに差し込むと、基本的に現在の期間構造に適合するモデルが得られる。

And it uses the instantaneous forward rate at time 0 for the maturity t here as a component of this value.

そして、この値の構成要素として、満期tの時刻0の瞬時フォワード・レートを使用する。

So that is where the market values themselves actually make it into the model.

そこで、市場価値そのものをモデルに取り入れるのだ。

So that is fair enough.

だから、それは十分にフェアだ。

We can see here an example of a realized process of the Holowite model.

ここに、ホロワイト・モデルの実現プロセスの一例を見ることができる。

So we can see here the short rate, which is what the model ultimately predicts over time.

つまり、ここでは短期金利を見ることができる。

And we can see a time in years on the x-axis here.

X軸は年単位で表示されている。

And as we extrapolate, something happens to this rate and it follows some sort of behavior that is stochastic in nature.

そして、外挿するにつれて、この率に何かが起こり、ある種の確率的な振る舞いをするようになる。

We can see the parameters that have been used for this evaluation here.

この評価に使われたパラメータはこちらで見ることができる。

And this particular trajectory that we are analyzing now is going to be used for some of the comparisons coming up in the preceding slides.

そして、今分析しているこの特定の軌道は、前のスライドで出てくるいくつかの比較に使われる予定だ。

Nevertheless, what you need in terms of parameterization are the parameters alpha and sigma that we discussed before.

とはいえ、パラメータ化という点で必要なのは、前に説明したアルファとシグマというパラメータだ。

You also need how long you want to predict.

また、どれくらいの期間を予測したいかも必要だ。

So in this case, big T is 2 and the number of points that you want to simulate as well.

つまり、この場合、大きなTは2であり、同様にシミュレーションしたいポイントの数である。

In addition to that, you need a yield curve or some sort of future rates or forward rates to actually plug into the model to calibrate the theta.

それに加えて、イールドカーブや将来金利、フォワードレートが必要だ。

And this is based on a zero or a zero yield curve.

そしてこれは、ゼロまたはゼロのイールドカーブに基づいている。

So that is an introduction to the Holowite model.

これがホロワイト・モデルの紹介だ。

And if we look at some of the mathematical properties of the stochastic differential equation that we saw in the last slide, we can note the following.

前回のスライドで見た確率微分方程式の数学的性質をいくつか見てみると、次のようになる。

So firstly, this can be integrated.

だからまず、これを統合することができる。

It can be integrated and solved for, which means that R of T can be explicitly derived to be the following value here.

これは積分して解くことができ、つまりTのRはここで次のような値になることが明示的に導き出される。

So this is R of T expressed in terms of an earlier time s.

つまり、これはTのRを以前の時間sで表現したものである。

And this time s doesn't necessarily have to be, I mean, we can pick this to be zero if we want.

この時間sは必ずしもゼロである必要はない。

But also if we have another time, sort of halfway through, we want to extrapolate based on that, we can do so as well.

しかし、また別の機会に、ある意味、中途半端な時間に、それに基づいて推定したいことがあれば、そうすることもできる。

And we introduced a new term beta in this expression.

そして、この表現に新しい用語ベータを導入した。

And that is explained here what that expression is.

そして、その表現が何であるかは、ここで説明されている。

And with this derivation, which we won't go over in detail, you essentially arrive at a normal distribution.

詳細は省くが、この導出により、基本的に正規分布に到達する。

So that's something we commented on in the last slide, that the Holowite framework gives normal distributions for the short rates.

ホロワイト・フレームワークはショート・レートを正規分布にする。

And we can see the mean and variance of this normal distribution outlined here.

そして、この正規分布の平均と分散の概略をここで見ることができる。

Now what this means is if we're standing at the starting point, let's say, and we want to estimate what the short rate is going to be in one year, that's going to be normally distributed across or around some mean.

これが何を意味するかというと、例えばスタート地点に立って、1年後のショート・レートがどうなるかを推定したい場合、それはある平均値を横切るか、あるいはその前後に正規分布することになる。

We don't have the mean plotted here, but let's say the mean is up here, and then you would have some variance outside of that.

ここでは平均をプロットしていないが、平均がこの上にあり、その外側に分散があるとする。

And so you could estimate a given point in this yield curve or in this short rate curve, if you wanted to.

そうすれば、イールド・カーブやショート・レート・カーブのあるポイントを推定することができる。

In order to make this a bit more tangible, we're going to assume that theta is a constant.

これをもう少し具体的にするために、シータを定数と仮定する。

So I said before that you would calibrate theta based on market parameters, and that would ultimately be a function of time.

だから私は、市場のパラメーターに基づいてセータを調整し、それは最終的には時間の関数になると前述した。

But to make some of these properties a bit more analytical, we're going to set it to be constant for a second.

しかし、これらのプロパティのいくつかをもう少し分析的にするために、ちょっと一定に設定してみる。

We can see that if it's constant, the expression for r of t becomes a bit more simple.

これが一定であれば、tのrの式はもう少し単純になることがわかる。

It becomes the following.

次のようになる。

And just like before, this would be normally distributed.

そして先ほどと同じように、これは正規分布となる。

And if we compare or if we now generate the expected value of the rate at a given time, and also the variance of this, we would get these two expressions.

そして、ある時間におけるレートの期待値とその分散を比較すると、次の2つの式が得られる。

Now these are a bit more approachable than the ones we saw on the last slide here.

前回のスライドで見たものよりも、もう少し親しみやすい。

Also, I made the change that rather than extrapolating from another time s, I simply set them to be zero in this example.

また、別の時間から外挿するのではなく、この例では単純にゼロとするよう変更した。

So we can see the variance predicated on, well, the filtration at zero.

つまり、濾過がゼロであることを前提とした分散を見ることができる。

If you don't know what that is, never mind, but nevertheless, we don't extrapolate based on another time point.

それが何なのかわからないなら、気にしないでほしい。

We just take the starting point as our baseline.

スタート地点を基準にするだけだ。

And we can see these two analytical expressions here, and I've plotted the corresponding curves in these two figures.

この2つの解析式と、それに対応する曲線をプロットしたのがこの2つの図だ。

So if we begin by analyzing the expected value, you can see that down here, essentially, is the starting value.

つまり、期待値の分析から始めると、基本的にはこの下がスタート値であることがわかる。

And unsurprisingly, as we let t approach zero, r of t converges to r of zero.

そして当然のことながら、tがゼロに近づくにつれて、tのrはゼロのrに収束する。

I mean, that's the starting point value we use for this model, so we would expect that to converge.

つまり、それがこのモデルで使う出発点の値だから、収束すると期待しているんだ。

In this case, r of zero is a small value here, so that's why we're close to zero.

この場合、rがゼロというのはここでは小さな値だから、ゼロに近いわけだ。

And as we then let t tend to infinity, if we allow theta to be constant or set it to be constant, what's going to happen with the convergence is that the expected value here is going to approach sigma over alpha.

そしてtが無限大になるにつれて、θを一定にするか、一定にすると、収束に何が起こるかというと、期待値がαよりもσに近づくということだ。

That's going to be the long-term mean of this process.

それがこのプロセスの長期的な平均になるだろう。

And now depending on what these two parameters are, so depending on how volatile your model is calibrated to be, and then also depending on the mean inversion parameter here, you're going to get some sort of stable equilibrium for the mean of this process.

そして今、この2つのパラメーターが何であるかに応じて、つまりモデルがどの程度揮発性であるかに応じてキャリブレーションされ、さらにここでの平均逆変換パラメーターに応じて、このプロセスの平均についてある種の安定した均衡が得られることになる。

Now, if we look at the variance, there are two points that I want to raise.

さて、バリアンスを見てみると、2点ほど指摘したいことがある。

First of all, we have a limit similar to what we have for the expectation value, and that is in this case sigma squared over two alpha.

まず第一に、期待値の場合と同じような極限がある。

What this means is that as t goes to infinity, so as we look infinitely far into the future, we don't get more and more uncertainty beyond a certain point.

これは何を意味するかというと、tが無限大になるにつれて、つまり無限に遠い未来を見るにつれて、ある点を超えるとますます不確実性が増すわけではないということだ。

So let's say we're comparing, I mean, 25 years here to let's say 50 years in the future.

つまり、25年後と50年後を比較するとしよう。

There would not be a significant difference in how much uncertainty we have in the rate over those time periods.

これらの期間において、レートの不確実性に大きな違いはないだろう。

So after a while, due to the convergence behavior of this model, the rates don't just explode in variability.

そのため、しばらくすると、このモデルの収束挙動により、レートが爆発的に変動することはない。

So that's a good thing.

だから、それはいいことなんだ。

We can see also that in the beginning here, we have some form of slope of this curve in variance.

また、このカーブの最初の方では、分散に何らかの傾きがあることもわかる。

So as we're very close to zero, the variance is zero of the rate.

つまり、ゼロに非常に近いので、分散はレートのゼロとなる。

We can sort of see that intuitively as well, because if we are at time zero, we know exactly what the rate is going to be because we can measure it, and it's directly implied from the market, so we don't have any uncertainty, but uncertainty grows with time.

というのも、時点がゼロであれば、レートを測定することができるため、レートがいくらになるかを正確に知ることができ、市場から直接インプリメントされるため、不確実性はない。

And how fast it grows with time is given by the tangent here, and we can see that if we go through time at the starting point, then that will come out to be sigma squared.

そして、時間と共にどれだけ速く成長するかは、ここでのタンジェントで与えられる。出発点から時間を経ると、シグマの2乗になることがわかる。

So that's how fast the uncertainty grows in the beginning.

つまり、最初のうちはそれだけ不確定要素が大きくなるということだ。

Okay, so now we looked at some analytical properties of this.

さて、ここでいくつかの分析的特性を見た。

Let's actually see what term structures we get as a consequence.

結果としてどのような期間構造になるのか、実際に見てみよう。

So we have a graph here of different term structures, and by taking the weighted average of interest rates that prevailed over any one period, we can obtain the effective interest rate for that specific period.

つまり、ここにさまざまな期間構造のグラフがあり、ある期間の金利の加重平均を取ることで、その期間の実効金利を求めることができる。

And if we plot these over time, that's how we obtain a yield curve.

これを時系列でプロットすると、イールド・カーブが得られる。

So we can see a number of different yield curves here, and they look a bit different depending on when we start to analyze these, because they are ultimately dependent on the short rate, and because the short rate varies over time, so will these yield curves.

なぜなら、イールドカーブは最終的に短期金利に依存しており、短期金利が時間とともに変化するため、イールドカーブも変化するからである。

And with the trajectory of the whole white model that we saw in the beginning, these are essentially the different yield curves you would get for different points in time.

そして、冒頭で見たホワイト・モデル全体の軌跡では、これらは基本的に異なる時点における異なるイールド・カーブである。

So we have the initial yield curve here, then we have the yield curve after 6 months, and we have the yield curve after 12 months, and so on.

最初のイールドカーブ、6ヵ月後のイールドカーブ、12ヵ月後のイールドカーブ、といった具合だ。

And depending on which instantiation, which time point you start looking at the yield curve, it's going to look slightly different.

そして、どのインスタンス化、どの時点からイールドカーブを見るかによって、イールドカーブの見え方は微妙に違ってくる。

So that's the first point, I would say.

それが最初のポイントだ。

And we can see that there is some variability between the curves as well, which seems to be at around 10% of the value or so.

そして、カーブ間にも多少のばらつきがあることがわかる。

And one more thing to notice, as the time to maturity here grows very large, these yield curves tend to converge.

そしてもうひとつ、満期までの期間が非常に長くなるにつれて、これらのイールド・カーブは収束する傾向にある。

And this is expected if we think about it, because we have mean reverting behavior exhibited by the whole white model, and so we would expect these rates to converge over long time periods to essentially the same value.

というのも、ホワイトモデル全体で平均回帰的な振る舞いが見られるからだ。

And as such, the yield of a zero-coupon bond in that case would come out to be the same value as well.

そのため、ゼロ・クーポン債の利回りも同じ値になる。

And it is the yield that we are plotting on the y-axis here.

そして、このY軸にプロットしているのが収量である。

Okay, so I spoke about the variance between these curves, and let's look at the actual expression for this variance as well.

さて、これらの曲線間の分散について話したが、この分散の実際の式も見てみよう。

So we can see here the volatility term structure, and that is given by the expression here.

つまり、ボラティリティの期間構造を見ることができる。

Now there is one thing that is very noticeable about this, and it is that the graphs that we are plotting here, these plots are essentially of this volatility term structure for the instantiations of the model that we discussed before.

このグラフは、基本的に、前に説明したモデルのインスタンスに対するボラティリティの期間構造をプロットしたものである。

We can see that these are the same, regardless of what time period we are considering, or rather regardless of what starting point we are considering.

どの時代を考えても、いや、どの出発点を考えても、これらは同じであることがわかる。

And the reason for that is that this expression here of the volatility term structure only depends on big T minus small t.

その理由は、このボラティリティの期間構造の式は、大きなTから小さなtを引いたものにしか依存しないからである。

It doesn't depend on small t explicitly, and so there is no dependence on when we actually start to analyze this.

小さなtには明示的に依存しないので、実際に分析を始める時期にも依存しない。

And so we could see that the volatilities of this term structure sort of narrow in on itself, as explained by the graph that we can see here, where the spot rate volatility goes to, well, becomes smaller over time.

そして、この期間構造のボラティリティは、ここにあるグラフで説明できるように、それ自体が狭まっていくのがわかる。

Okay, we have some limits here as well for the volatility term structure, and we can see that as we get to the starting point, so as big T minus small t goes to zero, this volatility term structure goes to sigma.

さて、ここでもボラティリティの期間構造についていくつかの限界があります。出発点に近づくにつれて、つまり大きなTから小さなtを引いた値がゼロになるにつれて、このボラティリティの期間構造はシグマになることがわかります。

And the sigma value that we have in these parameters is 0.01, and you can see also that the spot rate volatility here goes to 0.01 in this limit.

そして、これらのパラメーターに設定したシグマ値は0.01であり、スポット・レートのボラティリティがこのリミットで0.01になることもおわかりいただけるだろう。

And as we let t go to infinity, the expression for this goes to zero, and that's also observed by this sort of tapering off or exponential decay of the volatility term structure.

tを無限大にすると、この式はゼロになり、ボラティリティの期間構造の先細りや指数関数的な減衰も観察される。

Okay, cool.

オーケー、クールだ。

So then I also wanted to speak quickly about the bond pricing under the whole-white model, specifically for a zero-coupon bond.

ゼロ・クーポン債の場合です。

So after a lot of analytical calculations, you can arrive at the following price for a zero-coupon bond under the whole-white model.

そこで、分析的な計算を重ねた結果、全白モデルの下でのゼロ・クーポン債の価格は次のようになる。

And we're not going to go over the calculations, but what I want to highlight is that the distribution of this is going to be log-normal.

計算は省くが、注目したいのはこの分布が対数正規分布になるということだ。

So the rates in the whole-white model are normal, and as a consequence, the bond prices are going to be log-normal.

つまり、全白モデルの金利は正規分布であり、その結果、債券価格は対数正規分布になる。

And we can see in the graph down here, the zero price for a zero-coupon bond with nominal $1 over, well, as a function of the time to maturity.

下のグラフは、ゼロ・クーポン債のゼロ・プライス、名目1ドル、満期までの時間の関数である。

So naturally, as the time to maturity increases, the prices of these are going to decrease, because we're getting paid $1 at some point in the future, and the longer away that is, the more we're going to discount it.

つまり、満期までの期間が長くなれば、当然、これらの価格は下がることになる。なぜなら、将来のある時点で1ドルの支払いを受けるのだから、それが長引けば長引くほど、割引率は高くなる。

And we can see the different instantiations here that we saw before as well, but now reflected in terms of their effect on the zero price for a nominal of $1.

そして、前にも見たさまざまなインスタンス化が、名目1ドルに対するゼロ価格への影響という点で反映されているのがわかる。

And we have some variability between these, not too much though.

そして、これらの間には多少のばらつきがある。

So one thing that's important to note is if you calibrate a model like this to, well, market parameters, the level of sophistication that you need is quite dependent on the application.

そこで一つ注意しなければならないのは、このようなモデルを市場パラメータに適合させる場合、どの程度の精巧さが必要になるかは用途によってかなり異なるということだ。

For a lot of applications, a quite simplistic model might do, because ultimately, the variance in terms of bond prices is not going to be very big under normal market conditions.

多くの用途では、極めて単純化されたモデルで十分かもしれない。最終的には、通常の市場環境では債券価格の変動はそれほど大きくはならないからだ。

Nevertheless, if you need that extra granularity, a sophisticated model like the whole-white model might be, well, appropriate.