They are used in bridges, antenna towers, cranes, even in parts of the International Space Station.

橋、アンテナタワー、クレーン、さらには国際宇宙ステーションの一部にも使用されている。

And for good reason.

それには理由がある。

They allow us to create strong structures while using materials in a very efficient and cost-effective way.

これによって、非常に効率的で費用対効果の高い方法で材料を使用しながら、強固な構造体を作ることができる。

So, what exactly is a truss?

では、トラスとはいったい何なのか？

It is essentially a rigid structure made up of a collection of straight members.

基本的には、直線的な部材の集合体からなる剛構造である。

But that's not a complete definition.

しかし、それは完全な定義ではない。

There are two important assumptions we need to be able to make for a structure to be considered as a truss.

構造物をトラスとみなすためには、2つの重要な前提が必要だ。

First, we need to be able to assume that all of the joints in the structure can be represented by a pinned connection, meaning that members are free to rotate at the joints.

まず、構造体のすべての接合部がピン結合で表現できる、つまり接合部で部材が自由に回転できると仮定できるようにする必要がある。

The members of a truss are often rigidly connected using what is known as a gusset plate.

トラスの部材は多くの場合、ガセット・プレートと呼ばれるものを使って剛接合されている。

But if the center lines of all the members at a joint intersect at the same point, like they do here, it's reasonable to assume that the joint behaves like a pinned connection.

しかし、ジョイントのすべての部材の中心線が今回のように同じ点で交差している場合、ジョイントはピンで固定されたコネクションのように動作すると考えるのが妥当だ。

The second assumption we need to be able to make is that loads are only ever applied at joints of the truss.

二つ目の仮定は、荷重はトラスの継ぎ目にしかかからないということです。

We never have loads acting in the middle of a member, for example.

例えば、メンバーの真ん中でロードが行動することはない。

Because all joints are pinned, the members cannot carry bending moments.

すべてのジョイントがピン止めされているため、部材は曲げモーメントを受けることができない。

They can only carry axial loads.

アキシャル荷重しかかけられない。

This simplifies the analysis of a truss significantly.

これにより、トラスの解析が大幅に簡素化される。

Each member has to be in equilibrium, so the forces acting at each end of a member must be equal and opposite.

各部材は平衡状態になければならないので、部材の両端に作用する力は等しく、反対でなければならない。

Each member is either in tension or in compression.

各部材は引張状態か圧縮状態のどちらかである。

These assumptions are what differentiate a truss from a frame.

これらの前提が、トラスとフレームを区別するものである。

Unlike trusses, frames don't necessarily have pinned joints, and so members can carry bending moments.

トラスとは異なり、フレームは必ずしもピン接合ではないため、部材が曲げモーメントを受ける可能性がある。

A frame can also have loads applied directly to its members.

フレームは、その部材に直接荷重を加えることもできる。

The base shape of a truss is three members connected to form a triangle.

トラスの基本形は、3つの部材を三角形に連結したものである。

If a load is applied, the angles of the triangle won't be able to change if the length of each of the members stays the same.

荷重がかかった場合、各部材の長さが同じであれば、三角形の角度は変化しない。

This means that the triangle is a very stable shape which won't deform when loads are applied to it, and so it is a great base from which to build a larger structure.

つまり、三角形は荷重が加わっても変形しない非常に安定した形状であり、より大きな構造物を作る際のベースとして最適なのだ。

Joining four members together does not form a stable structure.

4人のメンバーをつなぎ合わせても、安定した構造にはならない。

The angles between members can change without any change in the length of the members, and so using a four-sided shape as the base for building a truss would be a terrible choice.

部材間の角度は、部材の長さを変えることなく変えることができるため、トラスを作るためのベースとして4角形の形状を使うのは、とんでもない選択である。

An easy way to stabilize this configuration is to add a diagonal bracing member to split it into triangles.

この構成を安定させる簡単な方法は、斜めのブレース部材を追加して三角形に分割することだ。

We can start with our triangle and build it out to form a structure.

私たちは三角形から始めて、それを積み上げて構造を形成することができる。

There are a lot of different ways to build a truss, but there are some particularly popular truss designs that you will see again and again, and so they are referred to by specific names.

トラスの組み方にはさまざまな方法があるが、特に人気のあるトラスのデザインは何度も目にするため、特定の名前で呼ばれている。

The one shown here is a Fink roof truss, but there are many more as you can see here.

ここに写っているのはフィンクのルーフ・トラスだが、他にもたくさんある。

Later on in this video, I'll cover how these different designs carry loads in different ways.

このビデオの後半で、これらの異なるデザインがどのように異なる方法で荷重を運ぶかを取り上げる。

The members of these trusses are all located in the same plane.

これらのトラスの部材はすべて同じ平面に配置されている。

These are called planar trusses, and we can analyze them as two-dimensional structures.

これらは平面トラスと呼ばれ、2次元構造として解析することができる。

Even seemingly three-dimensional structures can often be analyzed as planar trusses.

一見3次元に見える構造でも、平面トラスとして解析できることが多い。

Take a look at this bridge for example.

例えば、この橋を見てみよう。

The loads are transmitted from the horizontal floor beams to the two vertical trusses on each side of the bridge.

荷重は水平床梁から橋の両側にある2本の垂直トラスに伝わる。

Each of these trusses only carries loads acting in its plane, and so we can analyze it as a two-dimensional structure.

これらのトラスはそれぞれ、その平面に作用する荷重を受けるだけなので、2次元構造として解析することができる。

To be able to design or analyze a truss, we need to be able to determine the force in each of its members.

トラスを設計したり解析したりするためには、各部材にかかる力を求める必要がある。

This allows us to check that the member can carry the loads without failing, or gives us the information we need to select the best cross-section for each of the members.

これにより、部材が破損することなく荷重を支えることができるかどうかをチェックしたり、各部材に最適な断面を選択するために必要な情報を得ることができる。

There are two main methods we can use to do this, the method of joints, and the method of sections.

これには主に2つの方法がある。ジョイントの方法とセクションの方法だ。

Let's look at the method of joints first, using the Fink roof truss we saw earlier.

先ほどのフィンクの屋根トラスを使って、まず接合方法を見てみよう。

The method is really simple.

方法は実に簡単だ。

First, you draw a free body diagram, showing all of the external loads acting on the truss, and you use the three equilibrium equations to calculate the reaction forces.

まず、トラスに作用するすべての外部荷重を示す自由体ダイアグラムを描き、3つの平衡方程式を使って反力を計算します。

Then, you draw a free body diagram for every single joint, and work through them one by one to solve the unknown forces acting at each Since all of the joints are pinned connections, there are no moments, and so you only need to consider equilibrium of the horizontal and vertical forces.

ジョイントはすべてピンで固定されているため、モーメントは発生せず、水平力と垂直力のつり合いだけを考えればよい。

Remember that we are calculating the forces acting at each joint, not the forces in the member.

各ジョイントに作用する力を計算するのであって、部材に作用する力を計算するのではないことを忘れないでください。

If a member is in tension, the internal forces will be acting to make the member longer.

部材が引っ張られている場合、内力は部材を長くするように作用する。

For every action, there is an equal and opposite reaction, which means that a member in tension will be exerting a force on the joint which is acting away from the joint.

すべての作用には、等しく反対の反作用がある。つまり、緊張状態にある部材は、関節から離れる方向に作用する力を関節に及ぼすことになる。

For members in compression, the force will be acting towards the joint.

圧縮されている部材の場合、力は接合部に向かって作用する。

Let's work through an example for a slightly simpler truss.

もう少し単純なトラスの例を見てみよう。

First, let's draw the free body diagram and determine the reaction forces using our three equilibrium equations.

まず、自由体図を描き、3つの平衡方程式を使って反力を求めよう。

Taking equilibrium of the horizontal forces, the horizontal force at joint A must be equal to zero, because it is the only force in the horizontal direction.

水平方向の力の均衡をとると、ジョイントAにおける水平方向の力はゼロに等しくなければならない。

Taking equilibrium of the vertical forces, the reaction forces at joints A and E must sum up to 20 kilonewtons.

鉛直力を平衡とすると、ジョイントAとEの反力は合計20キロニュートンでなければならない。

Both joints are located at the same distance from joint C, so taking equilibrium of the moments acting about joint C, we can calculate that they both equal 10 kilonewtons.

両ジョイントはジョイントCから同じ距離にあるので、ジョイントCに作用するモーメントの平衡をとると、両者は10キロニュートンに等しいと計算できる。

Now, let's determine the forces acting on each joint.

では、各関節に作用する力を求めてみよう。

Since we don't know yet which members are in tension and which are in compression, it's easiest to just assume that all of the members are in tension, and so we'll draw the internal forces as pointing away from each joint.

どの部材が引っ張られ、どの部材が圧縮されているかはまだわからないので、すべての部材が引っ張られていると仮定するのが最も簡単である。

If we end up with negative values for these forces, it just means that we guessed wrong, and the member is actually in compression.

これらの力が負の値になった場合は、推測が間違っていたことを意味し、部材は実際には圧縮されていることになる。

Now we can work through each of the joints, starting with joint A.

では、ジョイントAから順番に、各ジョイントに取り組んでいこう。

Analyzing trusses involves a lot of resolving forces to different angles, so if you want to be good at it, you're going to need to remember your trigonometry.

トラスの解析には、力をさまざまな角度に分解することが多く含まれるので、得意になりたければ三角法を覚えておく必要がある。

Here's a quick reminder.

ここでちょっと思い出してほしい。

Back to our joint.

我々のジョイントに戻る。

All we have to do is apply the equilibrium equations to determine the forces acting on each joint.

あとは平衡方程式を適用して、各関節に作用する力を決めるだけだ。

Taking equilibrium of the vertical forces, the 10 kilonewton reaction force must balance the vertical component of the force FAB, and so we can calculate FAB as negative 10 divided by sine of the angle of 60 degrees.

鉛直方向の力の均衡を考えると、10キロニュートンの反力はFABの鉛直方向成分と釣り合わなければならないので、FABはマイナス10÷角度60度の正弦で計算できる。

Taking equilibrium of the horizontal forces, we get that the force FAC must balance the horizontal component of the force FAB, and so is equal to 5.8 kilonewtons.

水平方向の力の均衡をとると、力FACは力FABの水平方向の成分と釣り合わなければならないので、5.8キロニュートンに等しい。

That's all of the forces acting on joint A calculated.

これが関節Aに作用するすべての力の計算だ。

The force in each member is constant, and so we now also know the forces acting on the joints at the other ends of these two members.

それぞれの部材にかかる力は一定なので、この2つの部材のもう一方の端にあるジョイントに作用する力もわかる。

We can repeat the process for joint B.

ジョイントBについてもこのプロセスを繰り返せばよい。

We can start by considering equilibrium of the vertical forces, which allows us to calculate the force FBC.

垂直方向の力の均衡を考えることから始めれば、力FBCを計算することができる。

And then we can consider equilibrium of the horizontal forces, to calculate FBD.

そして、水平力の均衡を考慮し、FBDを計算することができる。

We then need to work through all of the remaining joints, but we can save a bit of time by noticing that the truss and the applied loads have an axis of symmetry, and so the forces on the other side of the truss must be identical.

しかし、トラスと加えられた荷重は対称軸を持っているため、トラスの反対側にかかる力は同一でなければならないことに気づけば、少し時間を節約できる。

That gives us all of the forces at the joints.

これで関節にかかるすべての力がわかる。

We can show which members are in tension, and which are in compression, like this.

このように、どの部材が引張で、どの部材が圧縮かを示すことができる。

One thing you'll notice as you analyze trusses is that some members don't carry any loads at all.

トラスを解析していくうちに気づくことのひとつに、荷重をまったく負担しない部材があるということだ。

We call these zero force members.

私たちはこれをゼロフォースメンバーと呼んでいる。

There are two main configurations where we have zero force members.

ゼロフォースメンバーがいる場合、主に2つのコンフィギュレーションがある。

The first is where we have three members connected at a single joint, and two of the members are aligned.

1つ目は、3つの部材が1つのジョイントで接続されており、そのうちの2つの部材が整列している場合だ。

Here, only one member has a component in the vertical direction, and so to maintain equilibrium of forces at the joint in the vertical direction, the force in this member must be zero.

ここで、垂直方向の成分を持つ部材は1つだけであるため、ジョイント部の垂直方向の力の均衡を保つためには、この部材の力はゼロでなければならない。

The second configuration is when we have only two members connected at a joint, and the members are not aligned.

2つ目の構成は、2つの部材がジョイントで接続されているだけの場合で、部材は整列していない。

Only one member has a component in the vertical direction, and so both must be zero force members.

垂直方向に成分を持つ部材は1つだけなので、両方ともゼロフォース部材でなければならない。

By the way, this is true regardless of how the members are oriented, because we can rotate the orientation of the coordinate system we are using to apply the equilibrium equations.

ちなみに、これは部材の向きに関係なく言えることで、平衡方程式を適用するために使用する座標系の向きを回転させることができるからだ。

These two configurations only contain zero force members if there are no external loads acting at the joints.

これらの2つの構成は、接合部に作用する外部荷重がない場合にのみ、ゼロフォース部材を含む。

If we have external loads, there will be components in the vertical direction, and so these will not be zero force members.

外部荷重がある場合、鉛直方向にも荷重がかかるので、ゼロフォース部材にはならない。

Let's look at an example.

例を見てみよう。

At this joint here, we have two connected members.

このジョイントでは、2人のメンバーがつながっている。

The members are not collinear, and there are no external loads, so they must be zero force members.

部材は平行ではなく、外部からの荷重もないので、ゼロフォース部材でなければならない。

And at this joint, we have three members, of which two are collinear.

そして、この関節には3つの部材があり、そのうち2つは平行に並んでいる。

The vertical member must be a zero force member.

垂直部材はゼロフォース部材でなければならない。

We can remove these members, and so have a much easier starting point for solving the truss.

これらの部材を取り除けば、トラスを解決するための出発点はもっと簡単になる。

You'll notice that we haven't removed the two members at this joint.

この継ぎ目の2つの部材を外していないことにお気づきだろう。

That is because there is an external load acting here, and so these can't be zero force members.

というのも、ここには外部からの荷重が作用しており、ゼロフォースメンバーではありえないからだ。

You might be wondering why anyone would bother including zero force members in a truss if they carry no loads.

トラスにゼロフォース部材は荷重を与えないのに、なぜわざわざゼロフォース部材を入れるのか不思議に思うかもしれない。

They are definitely not useless.

決して役に立たないわけではない。

They are usually included to provide stability, for example to prevent buckling of long members which are under compression.

これらは通常、圧縮下にある長い部材の座屈を防ぐなど、安定性を提供するために含まれる。

Or they may be used to make sure that unexpected loads won't cause the structure to fail.

あるいは、予期せぬ荷重が構造物の破損を引き起こさないようにするために使われることもある。

We've covered the method of joints.

ジョイントの方法については、これまで取り上げてきた。

Let's look at the other method we can use to solve trusses, which is the method of sections.

トラスを解くのに使えるもうひとつの方法、断面法を見てみよう。

The first step is the same as the method of joints.

最初のステップは、ジョイントの方法と同じである。

We draw the free body diagram, and use the equilibrium equations to solve the reaction forces.

自由体図を描き、平衡方程式を使って反力を解く。

Next, we make an imaginary cut through the members of interest in our truss, and we draw the internal forces in the cut members.

次に、トラスの対象部材を仮想的に切断し、切断した部材の内力を描きます。

The internal and external forces must be in equilibrium, and so we can apply the equilibrium equations to solve the internal forces.

内力と外力は平衡でなければならないので、平衡方程式を適用して内力を解くことができる。

When choosing how to cut your truss, remember that we only have three equilibrium equations.

トラスの切り方を選ぶときは、平衡方程式が3つしかないことを思い出してほしい。

If you cut through too many members, you will have too many unknowns and not enough equations.

あまりに多くのメンバーを切り捨てると、未知数が多すぎて方程式が足りなくなる。

You can choose which side of the cut you want to assess.

カットのどちら側を評価したいかを選ぶことができる。

The left side looks easier to solve because there are less forces.

左側は力が少ないので解きやすそうに見える。

But we could have chosen to solve the right side instead.

しかし、その代わりに右側を解くこともできた。

The method of sections is best used when you have a truss which has a lot of members, but you are only interested in the loading in a few specific members.

セクション法は、多くの部材を持つトラスで、特定の部材の荷重にしか興味がない場合に最適です。

Let's look at an example.

例を見てみよう。

We need to determine the internal forces in these three members.

これら3つの部材の内部力を決定する必要がある。

First, let's draw the free body diagram and apply the equilibrium equations to calculate the reaction forces.

まず、自由体図を描き、平衡方程式を適用して反力を計算してみよう。

The horizontal reaction force at joint A is the only force acting in the horizontal direction, so it must be equal to zero.

ジョイントAの水平反力は、水平方向に作用する唯一の力なので、ゼロに等しくなければならない。

By considering equilibrium of forces in the vertical direction and equilibrium of the moments acting about joint A, we can figure out that F A is equal to 19, and F H is equal to 21.

垂直方向の力のつり合いと、関節Aに作用するモーメントのつり合いを考えれば、F Aは19に等しく、F Hは21に等しいことがわかる。

Next, let's make our imaginary cut through members F D, F E, and G E, and draw the internal forces.

次に、部材F D、F E、G Eを仮想的に切断し、内力を描いてみよう。

Like we did earlier for the method of joints, we will assume that all unknown forces are tensile.

先ほどのジョイントの方法と同じように、未知の力はすべて引っ張りだと仮定する。

Next, we just need to apply the equilibrium equations.

次に、均衡方程式を適用する必要がある。

The force in member F E is the only unknown force with a component in the vertical direction, so that's a good place to start.

部材F Eの力は、垂直方向に成分を持つ唯一の未知の力である。

The diagonal members are all at 45 degree angles, so by considering equilibrium in the vertical direction, we get that the force in member F E is equal to 12.7 kN.

対角の部材はすべて45度の角度をなしているので、鉛直方向のつり合いを考えれば、部材F Eにかかる力は12.7kNに等しいことがわかる。

Now, let's consider equilibrium of moments acting about joint F.

ここで、関節Fに作用するモーメントの均衡を考えてみよう。

This is a good joint to choose because three of the five forces in this free body diagram have a line of action passing through F, and so only the force in member G E and the 21 kN reaction force generate a moment about this joint.

というのも、この自由体ダイアグラムの5つの力のうち3つがFを通る作用線を持っており、このジョイントにモーメントを発生させるのは、部材G Eの力と21kNの反力だけだからである。

Both forces are located at a force in member G E is equal to 21 kN.

どちらの力も、部材Gにかかる力Eは21kNに等しい。

Finally, we can take equilibrium in the horizontal direction to calculate that the force in member F D is equal to negative 30 kN.

最後に、水平方向のつり合いから、部材F Dにかかる力はマイナス30kNに等しいと計算できる。

And that's it, we've calculated the internal forces in the three members we were interested in.

これで、私たちが興味を持っている3つのメンバーの内部力を計算したことになる。

One member is in compression, and two are in tension.

1つの部材は圧縮状態にあり、2つの部材は引張状態にある。

If it is possible to determine the reaction forces and the members of a truss by applying the equilibrium equations, the truss is said to be statically determinate.

平衡方程式を適用してトラスの反力と部材を決定できる場合、そのトラスは静的に決定されていると言われる。

Real life structures sometimes contain more members than are needed for the structure to be stable, as this makes them safer.

現実の構造物には、構造物を安定させるために必要な以上の部材が含まれていることがある。

This means we may not be able to apply the method of joints or the method of sections, because we have too many unknowns and not enough equilibrium equations, either to determine the reaction forces, or to determine the internal forces within the truss.

つまり、反力を決定するにも、トラス内の内力を決定するにも、未知数が多すぎて十分な平衡方程式がないため、接合部法や断面法を適用できない可能性がある。

These trusses are said to be statically indeterminate, and would need to be solved using other methods like the force method or the displacement method, which I won't get into in this video.

このようなトラスは静的に不確定と言われ、力法や変位法など他の方法を用いて解く必要がある。

Now that we know how to calculate the loads in a truss, let's explore some of the differences between truss designs.

トラスの荷重を計算する方法がわかったところで、トラス設計の違いをいくつか探ってみましょう。

Here we have three different bridge trusses, the Howe, Pratt, and Warren trusses.

ここでは、ハウ・トラス、プラット・トラス、ウォーレン・トラスという3つの異なる橋梁トラスがある。

These trusses were all patented in the 1840s, at a time when new bridge designs were being developed to accommodate the expansion of the railroad industry.

これらのトラスはすべて1840年代に特許を取得したもので、当時は鉄道産業の拡大に合わせて新しい橋梁設計が開発されていた時期だった。

They were typically constructed from a combination of wood and iron.

通常、木と鉄の組み合わせで作られていた。

We can learn a lot about truss design by figuring out which members are in tension and which are in compression.

どの部材が引っ張られ、どの部材が圧縮されているかを把握することで、トラス設計について多くのことを学ぶことができる。

Let's start with the Howe truss.

ハウ・トラスから始めよう。

We can see that its vertical members are in tension, and its diagonal members are in compression.

垂直方向の部材は引っ張られ、斜めの部材は圧縮されていることがわかる。

Members in compression usually need to be thicker than members in tension, to reduce the risk of buckling.

圧縮される部材は、座屈のリスクを減らすため、通常、引張られる部材よりも厚くする必要がある。

This means that the Howe truss isn't very cost effective, since the diagonal members, which need to be thicker, are quite long.

つまり、ハウ・トラスは、太くする必要がある対角線部材がかなり長いため、費用対効果があまり高くないのだ。

The Pratt truss addresses this issue.

プラット・トラスはこの問題を解決する。

Its vertical members are mostly in compression, and its inner diagonal members are in tension.

垂直部材のほとんどは圧縮され、内側の斜め部材は引張られている。

This is more cost effective than the Howe truss, since the longer diagonal members can be thinner.

これは、長い対角線部材を薄くできるため、ハウ・トラスよりも費用対効果が高い。

Longer members are also more susceptible to buckling under compressive loading than shorter ones.

また、長い部材は短い部材に比べて、圧縮荷重を受けたときに座屈しやすい。

So it's a good idea for long members to be in tension.

だから、ロングメンバーが緊張感を持つのはいいことだ。

The design of the Warren truss was based on equilateral triangles.

ワーレントラスの設計は正三角形に基づいていた。

The fact that all of the members are the same length is an advantage for construction, and it uses less members overall than the Howe and Pratt trusses, so it is more efficient.

すべての部材が同じ長さであることは施工上の利点であり、ハウやプラット・トラスよりも全体として使用する部材が少ないため、効率的である。

The diagonal members alternate between tension and compression, so it does have some quite long members in compression.

斜めの部材は引っ張りと圧縮を交互に繰り返すので、圧縮時にはかなり長い部材がある。

It can also be interesting to observe how the loading in members changes as a load moves across a bridge.

また、荷重が橋を横切るにつれて部材の荷重がどのように変化するかを観察するのも興味深い。

In this simplified model of a load moving across the Pratt bridge, we can see that some members alternate between tension and compression, and so will need to be designed accordingly.

プラット橋を横切る荷重の単純化されたモデルを見ると、引張と圧縮を交互に繰り返す部材があり、それに応じて設計する必要があることがわかる。

The three-dimensional bridge we looked at earlier could be assessed as a collection of structures, and sometimes a truss will need to be assessed in three dimensions.

先に見た3次元の橋は、構造物の集合体として評価することもできるし、トラスを3次元で評価する必要がある場合もある。

This type of truss is called a space truss.

このタイプのトラスはスペース・トラスと呼ばれる。

These can be analyzed in essentially the same way as planar trusses, using the method of joints and the method of sections.